【Spin幾何】Killingスピノルの積分可能条件

Killingスピノル

　Killingスピノルは${\mathrm{\nabla }}_X\psi =aX\psi$を満たすスピノルですが、まずそれがいつ存在するのかを調べましょう。

　新しい接続を
$${\overline{\mathrm{\nabla }}}_X\psi ={\mathrm{\nabla }}_X\psi -aX\psi$$
で定義すると、Killingスピノルは$\overline{\mathrm{\nabla }}$に関する平行切断となります。従って$\overline{\mathrm{\nabla }}\psi =0$という偏微分方程式の積分可能条件は$\overline{\mathrm{\nabla }}$に関する曲率$\overline{R}$が消えることです。
$$\begin{array}{rl}{\overline{\mathrm{\nabla }}}_X{\overline{\mathrm{\nabla }}}_Y\psi & ={\overline{\mathrm{\nabla }}}_X({\mathrm{\nabla }}_Y\psi -aY\psi )={\mathrm{\nabla }}_X({\mathrm{\nabla }}_Y\psi -aY\psi )-aX({\mathrm{\nabla }}_Y\psi -aY\psi )\\ & ={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Y\psi -a({\mathrm{\nabla }}_{X}Y)\psi -aY{\mathrm{\nabla }}_X\psi -aX{\mathrm{\nabla }}_Y\psi +a^{2}XY\psi \\ {\overline{\mathrm{\nabla }}}_{[X,Y]}\psi & ={\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}\psi -a[X,Y]\psi ={\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}\psi -a{\mathrm{\nabla }}_{X}Y\psi +a{\mathrm{\nabla }}_{Y}X\psi \end{array}$$
より
$$\overline{R}(X,Y)\psi =R(X,Y)\psi +a^2(XY-YX)\psi$$
となります。

　よって積分可能条件$\overline{R}=0$は

となります。

　さらに 曲率作用素とLichnerowiczの公式 の公式１を使うと
$$Ric(Y)\psi =\sum _i{e}_{i}R(e_i,Y)\psi =2a^{2}nY\psi -2a^2\sum _{i}g(Y,e_i)e_i\psi =2a^2(n-1)Y\psi$$
と
$$\begin{array}{rl}\sum _i{e}_{i}Ric(e_i)\psi & =-4a^2(n-1)n\\ R& =4a^{2}n(n-1)\end{array}$$
が得られます。従って、次が得られました。

　定スカラー曲率$R$が正ならKilling数$a$は実数で、$R$が負ならKilling数$a$は純虚数であることも分かりました。

　またリーマン多様体のときはより強く次が成り立ちます。

　$a=0$のとき、$\mathrm{\nabla }\psi =0$となります。これは平行スピノルと呼ばれます。上の命題の証明より次が得られます。