距離空間のあいだの固有写像の特徴づけ

(i)$⟹$(ii)

$(x_n{)}_n$を$X$の点列とする．各$n\in \mathbb{N}$に対して
$$F_n=\overline{\{x_k|k\ge n\}}$$
とおく．これらは空でない$X$の閉集合であり$F_{n+1}\subset F_n$を満たす．したがって$\bigcap F_n\ne \varnothing$が成り立つ．そこで$x\in \bigcap F_n$を取る．このとき次のようにして$x$に収束する部分列$(x_{n_k}{)}_k$が得られる：

• $n_0:=1$;
• $n_k:=min\{m|m>n_{k-1},d(x,x_m)<\frac{1}{k}\}(k>0)$.
  • （$x\in F_{n_{k-1}+1}$より$B(x;1/k)\cap \{x_m|m>n_{k-1}\}\ne \varnothing$に注意する．）

(ii)$⟹$(i)

$(U_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を$X$の開被覆とする．

まづ
$$\mathrm{\exists }r>0,\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }\lambda (x)\in \mathrm{\Lambda },B(x;r)\subset U_{\lambda (x)}$$
を示す．

• この主張が成り立たないとすると，各$n>0$に対して$x_n\in X$であって$\mathrm{\forall }\lambda ,B(x_n;1/n)\not\subset U_{\lambda }$となるものが存在する．
• 仮定より$x_n\to \mathrm{\exists }x\in X$としてよい．
• このとき$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$および$r>0$であって$B(x;r)\subset U_{\lambda }$となるものが存在する．
• $x_n\to x$より，$\mathrm{\exists }N>0,\mathrm{\forall }n>N,x_n\in B(x;r/2)$.
• $n>max\{N,2/r\}$とすると，
  $$d(y,x_n)<\frac{1}{n}\Rightarrow d(y,x)\le d(y,x_n)+d(x_n,x)<\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r$$
  より$B(x_n;1/n)\subset B(x;r)\subset U_{\lambda }$を得るが，これは$x_n$の定め方に反する．

つぎに
$$\mathrm{\exists }{x}_1,\dots ,x_n\in X,X=\bigcup B(x_i;r)$$
を示す．

• この主張が成り立たないとすると，つぎのようにして$X$の点列$(x_n{)}_n$が得られる：
  • $x_0\in X$を任意に取る；
  • $n>0$に対しては$x_n\in X\setminus \bigcup _{i=0}^{n-1}B(x_i;r)$を任意に取る.
• このとき任意の$n>m$に対して（$x_n\notin B(x_m;r)$より）$d(x_n,x_m)\ge r$が成り立つ．したがって$(x_n{)}_n$は収束部分列を持ち得ず仮定に反する．

以上より$X=\bigcup U_{\lambda (x_i)}$となるので$X$はコンパクトである．

(i)$⟹$(ii)

遁走点列$(x_n{)}_n$が収束部分列$(x_{n_k}{)}_k$を持ったとする．$x=lim{x}_{n_k}$とおく．このとき$K:=\{x_{n_k}|k\in \mathbb{N}\}\cup \{x\}\subset X$はコンパクトであるが$\{k|x_{n_k}\in K\}=\mathbb{N}$は有限集合ではない．これは$(x_n{)}_n$が遁走点列であることに矛盾する．

(ii)$⟹$(i)

$K\subset X$をコンパクト集合とする．もし$\{n|x_n\in K\}$が有限集合でないとすると，$(x_n{)}_n$の部分列$(x_{n_k}{)}_k$であって$x_{n_k}\in K$となるものが得られる．このとき$K$の点列コンパクト性より$(x_{n_k}{)}_k$は収束部分列を持つがこれは仮定に反する．

(i)$⟹$(ii)

$(x_n{)}_n$を$X$の遁走点列とする．もし$(f(x_n){)}_n$が遁走点列でないとすると，コンパクト集合$K\subset Y$であって$\{n|f(x_n)\in K\}=\{n|x_n\in f^{-1}(K)\}$が無限集合となるものが存在する．ところで仮定より$f^{-1}(K)\subset X$はコンパクト集合であるから，これは$(x_n{)}_n$が遁走点列であることに反する．

(ii)$⟹$(i)

$K\subset Y$をコンパクト集合とする．もし$f^{-1}(K)\subset X$が点列コンパクトでないとすると，$f^{-1}(K)$の点列$(x_n{)}_n$であって収束部分列を持たないものが存在する．このとき補題2より$(x_n{)}_n$は$X$の遁走点列であるが，$\{n|f(x_n)\in K\}=\mathbb{N}$は有限集合でないので$(f(x_n){)}_n$は$Y$の遁走点列ではないことになり，仮定に反する．

(i)$⟹$(ii)

$E>0$とする．閉球${\bar{B}}^n(0;E)\subset {\mathbb{R}}^n$は有界閉集合ゆえコンパクトなので，仮定より$f^{-1}({\bar{B}}^n(0;E))\subset {\mathbb{R}}^n$はコンパクト，とくに有界集合である．したがって$D>0$であって
$$f^{-1}({\bar{B}}^n(0;E))\subset {\bar{B}}^m(0;D)$$
が成り立つものが存在する．

(ii)$⟹$(i)

$K\subset {\mathbb{R}}^n$をコンパクト集合とする．このとき$K\subset {\mathbb{R}}^n$の有界性より，$E>0$であって$K\subset {\bar{B}}^n(0;E)$となるものが存在する．また，仮定より$D>0$であって$f^{-1}({\bar{B}}^n(0;E))\subset {\bar{B}}^m(0;D)$となるものが存在する．

• ${\mathbb{R}}^n$のハウスドルフ性および$f$の連続性より$f^{-1}(K)\subset {\mathbb{R}}^m$は閉集合であり，
• $f^{-1}(K)\subset {\bar{B}}^m(0;D)$より$f^{-1}(K)\subset {\mathbb{R}}^m$は有界集合である．

よって$f^{-1}(K)\subset {\mathbb{R}}^m$はコンパクトである．

(i)$⟹$(ii)

$B\subset Y$を非空有界集合とする．$R=\mathrm{diam}(B)\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$とおき，$b\in B$を取る．このとき$B\subset K:=\bar{B}(b;R)$が成り立つ．有界閉集合$K\subset Y$はコンパクトなので，仮定より$f^{-1}(K)\subset X$はコンパクト，とくに有界集合である．よって$f^{-1}(B)\subset f^{-1}(K)$より，$f^{-1}(B)\subset X$も有界である．

(ii)$⟹$(i)

$K\subset Y$をコンパクト集合とする．このとき$K\subset Y$は有界閉集合であるから，仮定（と$f$の連続性）より$f^{-1}(K)\subset X$は有界閉集合，したがってコンパクトである．

(i)$⟹$(ii)

$x_0\in X$とする．任意の$R>0$に対して$d_{x_0}^{-1}([0,R])=\bar{B}(x_0;R)$が成り立つので，連続写像$d_{x_0}$は固有距離空間のあいだの距離的固有写像であり，したがって固有写像である．

(ii)$⟹$(i)

$B\subset X$を非空有界閉集合とする．$R=\mathrm{diam}(B)\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$とおき$b\in B$を取ると$B\subset \bar{B}(b;R)$が成り立つ．ところで仮定より$\bar{B}(b;R)=d_b^{-1}([0,R])$はコンパクトであるから，その閉部分集合$B$はコンパクトである．

$${\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)=\{X^{+}\setminus K\mid K\subset X:\text{compact closed}\}$$
とおく．

• $\varnothing \in \tau (X)\subset \tau (X^{+})$が成り立つ．
• $X^{+}=X^{+}\setminus \varnothing \in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)\subset \tau (X^{+})$が成り立つ．
• $U,V\in \tau (X^{+})$とする．
  • $U,V\in \tau (X)$のとき，$U\cap V\in \tau (X)\subset \tau (X^{+})$が成り立つ．
  • $U=X^{+}\setminus K\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X),V\in \tau (X)$のとき，
    $$U\cap V=V\cap (X\setminus K)\in \tau (X)\subset \tau (X^{+})$$
    が成り立つ．
  • $U=X^{+}\setminus K,V=X^{+}\setminus L\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)$のとき，
    $$U\cap V=X^{+}\setminus (K\cup L)\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)\subset \tau (X^{+})$$
    が成り立つ．
• $U_{\lambda }\in \tau (X^{+}),\lambda \in \mathrm{\Lambda }\ne \varnothing ,$とする．
  $$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Lambda }}_X& =\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid U_{\lambda }\in \tau (X)\},\\ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{cpt}}^{+}& =\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid U_{\lambda }=X^{+}\setminus K_{\lambda }\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)\}\end{array}$$
  とおく
  • $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_X$のとき，$\bigcup _{\lambda }{U}_{\lambda }\in \tau (X)\subset \tau (X^{+})$が成り立つ．
  • $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{cpt}}^{+}$のとき，
    $$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }=X^{+}\setminus \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)\subset \tau (X^{+})$$
    が成り立つ．
  • ${\mathrm{\Lambda }}_X,{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{cpt}}^{+}\ne \varnothing$のとき，
    $$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }=\left(\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_X}{U}_{\lambda }\right)\cup \left(\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{cpt}}^{+}}{U}_{\lambda }\right)$$
    となるので，前段より，
    $$U\in \tau (X),V=X^{+}\setminus K\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)⟹U\cup V\in \tau (X^{+})$$
    を示せば十分である．ところで
    $$K\setminus U=K\cap (X\setminus U)\subset X$$
    はコンパクト閉集合であるから，
    $$U\cup (X^{+}\setminus K)=X^{+}\setminus (K\setminus U)\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)\subset \tau (X^{+})$$
    が成り立つ．

1. $(U_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を$X^{+}$の開被覆とする．このとき${\lambda }_0\in \mathrm{\Lambda }$であって$\mathrm{\infty }\in U_{{\lambda }_0}$となるものが存在する．明らかに$U_{{\lambda }_0}\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)$であるから，あるコンパクト閉集合$K\subset X$を用いて$U_{{\lambda }_0}=X^{+}\setminus K$と書ける．いま$(U_{\lambda }{)}_{\lambda }$はコンパクト集合$K\subset X^{+}$の開被覆でもあるから，${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathrm{\Lambda }$であって
   $$K\subset U_{{\lambda }_1}\cup \cdots \cup U_{{\lambda }_n}$$
   となるものが存在する．よって
   $$X^{+}=U_{{\lambda }_0}\cup (X^{+}\setminus U_{{\lambda }_0})=U_{{\lambda }_0}\cup U_{{\lambda }_1}\cup \cdots \cup U_{{\lambda }_n}$$
   が成り立つ．
2. $U\in \tau (X^{+})\setminus \{\varnothing \}$とする．
   1. $U\in \tau (X)$のとき，$X\cap U=U\ne \varnothing$が成り立つ．
   2. $U=X^{+}\setminus K\in {\tau }_{\mathrm{cpt}}^{+}(X)$のとき，$X\ne K$より
      $$X\cap U=X\setminus K\ne \varnothing$$
      が成り立つ．
3. $X\in \tau (X)\subset \tau (X^{+})$より$\{{\mathrm{\infty }}_X\}=X^{+}\setminus X\subset X^{+}$は閉集合である．
   1. $X$が$T_1$空間であるとする．このとき，各$x\in X\subset X^{+}$に対して$\{x\}\subset X$はコンパクト閉集合であるから$X^{+}\setminus \{x\}\subset X^{+}$は開集合である．
   2. $X^{+}$が$T_1$空間であるとすると，その部分空間$X\subset X^{+}$も$T_1$空間である．

$(c(X),{\iota }_X)$を$X$のハウスドルフな1点コンパクト化とする．$X$がコンパクトであるとすると，${\iota }_X(X)\subset c(X)$は閉集合であるから
$${\iota }_X(X)=\overline{{\iota }_X(X)}=c(X)$$
が成り立つが，これは$c(X)\setminus {\iota }_X(X)$が単集合であることに反する．

$Y$を局所コンパクトハウスドルフ空間とし，$U\subset Y$を開集合とする．

$y\in U$とする．仮定より$y\in Y$の相対コンパクト開近傍$V\subset Y$が存在する．局所コンパクトハウスドルフ空間$Y$はとくに$T_3$空間なので，$y\in Y$の開近傍$U\cap V$に対して，$y\in Y$の開近傍$W\subset Y$であって$\bar{W}\subset U\cap V$となるものが存在する（ 命題25 ）．このとき
$${\mathrm{cl}}_U(W)=\bar{W}\cap U=\bar{W}\subset \bar{V}$$
より，$W\subset U$は$y\in U$の相対コンパクト開近傍である．

(i)$⟹$(ii)

$x\in X$とする．仮定より$x$の相対コンパクト開近傍$U\in \tau (X)$が存在する．このとき，$V:=X^{+}\setminus {\mathrm{cl}}_X(U)\in {\tau }^{+}(X)$は${\mathrm{\infty }}_X\in X^{+}$の開近傍であり$U\cap V=\varnothing$が成り立つ．

(ii)$⟹$(i)

$X\subset X^{+}$は局所コンパクトハウスドルフ空間$X^{+}$の開集合ゆえ局所コンパクトハウスドルフである．

存在

写像$f:c(X)\to X^{+}$を
$$f(y)=\{\begin{array}{ll}({\iota }_X^{{\iota }_X(X)}{)}^{-1}(y)& ,y\in {\iota }_X(X)\\ {\mathrm{\infty }}_X& ,y\in c(X)\setminus {\iota }_X(X)\end{array}$$
で定める．

• $f\circ {\iota }_X={\mathrm{id}}_X^{X^{+}}$が成り立つ．
• $f|{\iota }_X(X)=({\iota }_X^{{\iota }_X(X)}{)}^{-1}$は連続である．
• あとは各$\mathrm{\infty }\in c(X)\setminus {\iota }_X(X)$における連続性を示せばよい．そこで$K\subset X$をコンパクト閉集合とする．このとき，コンパクト集合${\iota }_X(K)\subset c(X)$は閉集合であるから，
  $$f^{-1}(X^{+}\setminus K)=c(X)\setminus {\iota }_X(K)\subset c(X)$$
  は$\mathrm{\infty }\in c(X)$の開近傍である．

一意性

連続写像$g:c(X)\to X^{+}$も$g\circ {\iota }_X={\mathrm{id}}_X^{X^{+}}$を満たすとする．このとき，ハウスドルフ空間$X^{+}$への連続写像$f,g$は稠密部分集合${\iota }_X(X)\subset c(X)$上で一致するので$f=g$が成り立つ．

$P=\{p_0,\dots ,p_{\ell }\},X=S^m\setminus P$とおく．$c(X):=S^m$は，コンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間$X$のハウスドルフなコンパクト化であるから，連続写像$f:c(X)\to X^{+}$であって$f|X={\mathrm{id}}_X^{X^{+}}$なるものがただ一つ存在する．
$$R(f)={\mathrm{\Delta }}_{S^m}\cup (P\times P)$$
であるから
$$S^m/P=c(X)/R(f)\approx X^{+}=(S^m\setminus P{)}^{+}$$
が成り立つ．

$(c(X),{\iota }_X)$を$X$のハウスドルフな1点コンパクト化とする．このとき$c(X)$と$X^{+}$とが同相であることを示せばよい．ところで，$f:c(X)\to X^{+}$はコンパクト空間$c(X)$からハウスドルフ空間$X^{+}$への全単射連続写像であるから同相写像である．

(i)$⟹$(ii)

$f^{+}|X={\mathrm{id}}_Y^{Y^{+}}\circ f$は連続なので，あとは${\mathrm{\infty }}_X\in X^{+}$での連続性を示せばよい．そこで$K_Y\subset Y$をコンパクト閉集合とすると，仮定より$f^{-1}(K_Y)\subset X$はコンパクト閉集合であるから
$$(f^{+}{)}^{-1}(Y^{+}\setminus K_Y)=X^{+}\setminus f^{-1}(K_Y)$$
は${\mathrm{\infty }}_X\in X^{+}$の開近傍である．

(ii)$⟹$(i)

$K_Y\subset Y$をコンパクト集合とする．$Y$のハウスドルフ性より$K_Y\subset Y$は閉集合でもあるから，${\mathrm{\infty }}_Y\in Y^{+}$の開近傍$Y^{+}\setminus K_Y$に対して，仮定より，コンパクト閉集合$K_X\subset X$であって
$$f^{+}(X^{+}\setminus K_X)\subset Y^{+}\setminus K_Y$$
となるものが存在する．このとき
$$f^{-1}(K_Y)=(f^{+}{)}^{-1}(K_Y)\subset K_X$$
が成り立つので，コンパクト集合$K_X$の閉集合$f^{-1}(K_Y)$はコンパクトである．

$f:X\to Y$を同相写像とすると，$f$はとくに固有写像であるから
$$f^{+}:X^{+}\to Y^{+}$$
は連続である．逆写像$f^{-1}:Y\to X$から定まる連続写像$(f^{-1}{)}^{+}:Y^{+}\to X^{+}$が$f^{+}$の逆写像を与える．

$f$が固有写像であること

$K\subset {\mathbb{R}}^n$をコンパクト集合とする．$E>0$であって$K\subset {\bar{B}}^n(0;E)$となるものが存在する．

1. $D>0$であって，
   $$f({\mathbb{R}}^m\setminus (P\cup {\bar{B}}^m(0;D)))\subset {\mathbb{R}}^n\setminus {\bar{B}}^n(0;E)$$
   となるものが存在する；
2. 各$p_i\in P$に対して，${\delta }_i>0$であって
   $$f(B^m(p_i;{\delta }_i)\setminus P)\subset {\mathbb{R}}^n\setminus {\bar{B}}^n(0;E)$$
   となるものが存在する．したがって
   $$\begin{array}{rl}{f}^{-1}({\bar{B}}^n(0;E))& \subset \bigcap _i({\mathbb{R}}^m\setminus P)\setminus (B^m(p_i;{\delta }_i)\setminus P)\\ & =\bigcap _i{\mathbb{R}}^m\setminus (P\cup B^m(p_i;{\delta }_i))\\ & ={\mathbb{R}}^m\setminus \bigcup _{i}P\cup B^m(p_i;{\delta }_i)\\ & ={\mathbb{R}}^m\setminus \bigcup _i{B}^m(p_i;{\delta }_i)\end{array}$$
   が成り立つ．

よって
$$f^{-1}(K)\subset f^{-1}({\bar{B}}^n(0;E))\subset {\bar{B}}^m(0;D)\setminus \bigcup _i{B}^m(p_i;{\delta }_i)$$
が成り立つので，コンパクト集合${\bar{B}}^m(0;D)\setminus \bigcup _i{B}^m(p_i;{\delta }_i)$の閉集合$f^{-1}(K)$はコンパクトである．

$f$が“拡張”できること

$\mathrm{\#}P=\ell$とおく．同相$S^m\setminus \{p_0\}\approx {\mathbb{R}}^m$に対応して，同相$S^m\setminus \{p_0,p_1,\dots ,p_{\ell }\}\approx {\mathbb{R}}^m\setminus P$を得る．したがって，連続写像
$$\tilde{f}:S^m\to S^m/\{p_0,\dots ,p_{\ell }\}\approx (S^m\setminus \{p_0,\dots ,p_{\ell }\}{)}^{+}\approx ({\mathbb{R}}^m\setminus P{)}^{+}\stackrel{f^{+}}{\to }({\mathbb{R}}^n{)}^{+}\approx S^n$$
が定まる．適当に同一視すると
$$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& ,x\notin \{p_0,\dots ,p_{\ell }\}\\ \mathrm{\infty }& ,x\in \{p_0,\dots ,p_{\ell }\}\end{array}$$
と書ける．