距離空間のあいだの固有写像の特徴づけ

(i)$\implies$(ii)

$(x_{n})_{n}$を$X$の点列とする．各$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ F_{n} = \overline{\{x_{k}\ |\ k \geq n\}}$$
とおく．これらは空でない$X$の閉集合であり$F_{n+1} \subset F_{n}$を満たす．したがって$\bigcap F_{n} \neq \varnothing$が成り立つ．そこで$x \in \bigcap F_{n}$を取る．このとき次のようにして$x$に収束する部分列$(x_{n_{k}})_{k}$が得られる：

• $n_{0} := 1$;
• $n_{k} := \min \{m \ |\ m > n_{k-1},\ d(x,x_{m}) < \frac{1}{k}\}\ (k > 0)$.
  • （$x \in F_{n_{k-1}+1}$より$B(x;1/k) \cap \{x_{m}\ |\ m > n_{k-1}\} \neq \varnothing$に注意する．）

(ii)$\implies$(i)

$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の開被覆とする．

まづ
$$ \exists r > 0, \forall x \in X, \exists \lambda(x) \in \Lambda, B(x;r) \subset U_{\lambda(x)}$$
を示す．

• この主張が成り立たないとすると，各$n > 0$に対して$x_{n} \in X$であって$\forall \lambda, B(x_{n};1/n) \not\subset U_{\lambda}$となるものが存在する．
• 仮定より$x_{n} \to \exists x \in X$としてよい．
• このとき$\lambda \in \Lambda$および$r > 0$であって$B(x;r) \subset U_{\lambda}$となるものが存在する．
• $x_{n} \to x$より，$\exists N > 0, \forall n > N, x_{n} \in B(x;r/2)$.
• $n > \max \{N,2/r\}$とすると，
  $$ d(y,x_{n}) < \frac{1}{n} \Rightarrow d(y,x) \leq d(y,x_{n}) + d(x_{n},x) < \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$$
  より$B(x_{n};1/n) \subset B(x;r) \subset U_{\lambda}$を得るが，これは$x_{n}$の定め方に反する．

つぎに
$$ \exists x_{1},\ldots, x_{n} \in X,\ X = \bigcup B(x_{i};r)$$
を示す．

• この主張が成り立たないとすると，つぎのようにして$X$の点列$(x_{n})_{n}$が得られる：
  • $x_{0} \in X$を任意に取る；
  • $n > 0$に対しては$x_{n} \in X \smallsetminus \bigcup_{i = 0}^{n-1} B(x_{i};r)$を任意に取る.
• このとき任意の$n > m$に対して（$x_{n} \notin B(x_{m};r)$より）$d(x_{n},x_{m}) \geq r$が成り立つ．したがって$(x_{n})_{n}$は収束部分列を持ち得ず仮定に反する．

以上より$X = \bigcup U_{\lambda(x_{i})}$となるので$X$はコンパクトである．

(i)$\implies$(ii)

遁走点列$(x_{n})_{n}$が収束部分列$(x_{n_{k}})_{k}$を持ったとする．$x = \lim x_{n_{k}}$とおく．このとき$K := \{x_{n_{k}}\ |\ k \in \mathbb{N}\} \cup \{x\} \subset X$はコンパクトであるが$\{k \ |\ x_{n_{k}} \in K\} = \mathbb{N}$は有限集合ではない．これは$(x_{n})_{n}$が遁走点列であることに矛盾する．

(ii)$\implies$(i)

$K \subset X$をコンパクト集合とする．もし$\{n\ |\ x_{n} \in K\}$が有限集合でないとすると，$(x_{n})_{n}$の部分列$(x_{n_{k}})_{k}$であって$x_{n_{k}} \in K$となるものが得られる．このとき$K$の点列コンパクト性より$(x_{n_{k}})_{k}$は収束部分列を持つがこれは仮定に反する．

(i)$\implies$(ii)

$(x_{n})_{n}$を$X$の遁走点列とする．もし$(f(x_{n}))_{n}$が遁走点列でないとすると，コンパクト集合$K \subset Y$であって$\{n\ |\ f(x_{n}) \in K\} = \{n\ |\ x_{n} \in f^{-1}(K)\}$が無限集合となるものが存在する．ところで仮定より$f^{-1}(K) \subset X$はコンパクト集合であるから，これは$(x_{n})_{n}$が遁走点列であることに反する．

(ii)$\implies$(i)

$K \subset Y$をコンパクト集合とする．もし$f^{-1}(K) \subset X$が点列コンパクトでないとすると，$f^{-1}(K)$の点列$(x_{n})_{n}$であって収束部分列を持たないものが存在する．このとき補題2より$(x_{n})_{n}$は$X$の遁走点列であるが，$\{n\ |\ f(x_{n}) \in K\} = \mathbb{N}$は有限集合でないので$(f(x_{n}))_{n}$は$Y$の遁走点列ではないことになり，仮定に反する．

(i)$\implies$(ii)

$E > 0$とする．閉球$\overline{B}^{n}(0;E) \subset \mathbb{R}^{n}$は有界閉集合ゆえコンパクトなので，仮定より$f^{-1}\left(\overline{B}^{n}(0;E)\right) \subset \mathbb{R}^{n}$はコンパクト，とくに有界集合である．したがって$D > 0$であって
$$ f^{-1}\left(\overline{B}^{n}(0;E)\right) \subset \overline{B}^{m}(0;D)$$
が成り立つものが存在する．

(ii)$\implies$(i)

$K \subset \mathbb{R}^{n}$をコンパクト集合とする．このとき$K \subset \mathbb{R}^{n}$の有界性より，$E > 0$であって$K \subset \overline{B}^{n}(0;E)$となるものが存在する．また，仮定より$D > 0$であって$f^{-1}\left(\overline{B}^{n}(0;E)\right) \subset \overline{B}^{m}(0;D)$となるものが存在する．

• $\mathbb{R}^{n}$のハウスドルフ性および$f$の連続性より$f^{-1}(K) \subset \mathbb{R}^{m}$は閉集合であり，
• $f^{-1}(K) \subset \overline{B}^{m}(0;D)$より$f^{-1}(K) \subset \mathbb{R}^{m}$は有界集合である．

よって$f^{-1}(K) \subset \mathbb{R}^{m}$はコンパクトである．

(i)$\implies$(ii)

$B \subset Y$を非空有界集合とする．$R = \mathrm{diam}(B) \in \mathbb{R}_{\geq 0}$とおき，$b \in B$を取る．このとき$B \subset K := \overline{B}(b;R)$が成り立つ．有界閉集合$K \subset Y$はコンパクトなので，仮定より$f^{-1}(K) \subset X$はコンパクト，とくに有界集合である．よって$f^{-1}(B) \subset f^{-1}(K)$より，$f^{-1}(B) \subset X$も有界である．

(ii)$\implies$(i)

$K \subset Y$をコンパクト集合とする．このとき$K \subset Y$は有界閉集合であるから，仮定（と$f$の連続性）より$f^{-1}(K) \subset X$は有界閉集合，したがってコンパクトである．

(i)$\implies$(ii)

$x_{0} \in X$とする．任意の$R > 0$に対して$d_{x_{0}}^{-1}([0,R]) = \overline{B}(x_{0};R)$が成り立つので，連続写像$d_{x_{0}}$は固有距離空間のあいだの距離的固有写像であり，したがって固有写像である．

(ii)$\implies$(i)

$B \subset X$を非空有界閉集合とする．$R = \mathrm{diam}(B) \in \mathbb{R}_{\geq 0}$とおき$b \in B$を取ると$B \subset \overline{B}(b;R)$が成り立つ．ところで仮定より$\overline{B}(b;R) = d_{b}^{-1}([0,R])$はコンパクトであるから，その閉部分集合$B$はコンパクトである．

$$ \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) = \{X^{+} \smallsetminus K \mid K \subset X:\text{compact closed}\}$$
とおく．

• $\varnothing \in \tau(X) \subset \tau(X^{+})$が成り立つ．
• $X^{+} = X^{+} \smallsetminus \varnothing \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) \subset \tau(X^{+})$が成り立つ．
• $U,V \in \tau(X^{+})$とする．
  • $U,V \in \tau(X)$のとき，$U \cap V \in \tau(X) \subset \tau(X^{+})$が成り立つ．
  • $U = X^{+} \smallsetminus K \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X),\,V \in \tau(X)$のとき，
    $$ U \cap V = V \cap (X \smallsetminus K) \in \tau(X) \subset \tau(X^{+})$$
    が成り立つ．
  • $U = X^{+} \smallsetminus K,\,V = X^{+} \smallsetminus L \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X)$のとき，
    $$ U \cap V = X^{+} \smallsetminus ( K \cup L) \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) \subset \tau(X^{+})$$
    が成り立つ．
• $U_{\lambda} \in \tau(X^{+}),\,\lambda \in \Lambda \neq \varnothing,\,$とする．
  \begin{align} \Lambda_{X} &= \{\lambda \in \Lambda \mid U_{\lambda} \in \tau(X)\},\\ \Lambda^{+}_{\mathrm{cpt}} &= \{\lambda \in \Lambda \mid U_{\lambda} = X^{+} \smallsetminus K_{\lambda} \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X)\} \end{align}
  とおく
  • $\Lambda = \Lambda_{X}$のとき，$\bigcup_{\lambda} U_{\lambda} \in \tau(X) \subset \tau(X^{+})$が成り立つ．
  • $\Lambda = \Lambda^{+}_{\mathrm{cpt}}$のとき，
    $$ \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = X^{+} \smallsetminus \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) \subset \tau(X^{+})$$
    が成り立つ．
  • $\Lambda_{X},\Lambda^{+}_{\mathrm{cpt}} \neq \varnothing$のとき，
    $$ \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = \left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda_{X}} U_{\lambda}\right) \cup \left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda^{+}_{\mathrm{cpt}}} U_{\lambda}\right)$$
    となるので，前段より，
    $$ U \in \tau(X),\ V = X^{+} \smallsetminus K \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) \implies U \cup V \in \tau(X^{+})$$
    を示せば十分である．ところで
    $$ K \smallsetminus U = K \cap (X \smallsetminus U) \subset X$$
    はコンパクト閉集合であるから，
    $$ U \cup (X^{+} \smallsetminus K) = X^{+} \smallsetminus (K \smallsetminus U) \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X) \subset \tau(X^{+})$$
    が成り立つ．

1. $(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X^{+}$の開被覆とする．このとき$\lambda_{0} \in \Lambda$であって$\infty \in U_{\lambda_{0}}$となるものが存在する．明らかに$U_{\lambda_{0}} \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X)$であるから，あるコンパクト閉集合$K \subset X$を用いて$U_{\lambda_{0}} = X^{+} \smallsetminus K$と書ける．いま$(U_{\lambda})_{\lambda}$はコンパクト集合$K \subset X^{+}$の開被覆でもあるから，$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda$であって
   $$ K \subset U_{\lambda_{1}} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n}}$$
   となるものが存在する．よって
   $$ X^{+} = U_{\lambda_{0}} \cup (X^{+} \smallsetminus U_{\lambda_{0}}) = U_{\lambda_{0}} \cup U_{\lambda_{1}} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n}}$$
   が成り立つ．
2. $U \in \tau(X^{+}) \smallsetminus \{\varnothing\}$とする．
   1. $U \in \tau(X)$のとき，$X \cap U = U \neq \varnothing$が成り立つ．
   2. $U = X^{+} \smallsetminus K \in \tau^{+}_{\mathrm{cpt}}(X)$のとき，$X \neq K$より
      $$ X \cap U = X \smallsetminus K \neq \varnothing$$
      が成り立つ．
3. $X \in \tau(X) \subset \tau(X^{+})$より$\{\infty_{X}\} = X^{+} \smallsetminus X \subset X^{+}$は閉集合である．
   1. $X$が$T_{1}$空間であるとする．このとき，各$x \in X \subset X^{+}$に対して$\{x\} \subset X$はコンパクト閉集合であるから$X^{+} \smallsetminus \{x\} \subset X^{+}$は開集合である．
   2. $X^{+}$が$T_{1}$空間であるとすると，その部分空間$X \subset X^{+}$も$T_{1}$空間である．

$(c(X),\iota_{X})$を$X$のハウスドルフな1点コンパクト化とする．$X$がコンパクトであるとすると，$\iota_{X}(X) \subset c(X)$は閉集合であるから
$$ \iota_{X}(X) = \overline{\iota_{X}(X)} = c(X)$$
が成り立つが，これは$c(X) \smallsetminus \iota_{X}(X)$が単集合であることに反する．

$Y$を局所コンパクトハウスドルフ空間とし，$U \subset Y$を開集合とする．

$y \in U$とする．仮定より$y \in Y$の相対コンパクト開近傍$V \subset Y$が存在する．局所コンパクトハウスドルフ空間$Y$はとくに$T_{3}$空間なので，$y \in Y$の開近傍$U \cap V$に対して，$y \in Y$の開近傍$W \subset Y$であって$\overline{W} \subset U \cap V$となるものが存在する（ 命題25 ）．このとき
$$ \mathrm{cl}_{U}(W) = \overline{W} \cap U = \overline{W} \subset \overline{V}$$
より，$W \subset U$は$y \in U$の相対コンパクト開近傍である．

(i)$\implies$(ii)

$x \in X$とする．仮定より$x$の相対コンパクト開近傍$U \in \tau(X)$が存在する．このとき，$V := X^{+} \smallsetminus \mathrm{cl}_{X}(U) \in \tau^{+}(X)$は$\infty_{X} \in X^{+}$の開近傍であり$U \cap V = \varnothing$が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$X \subset X^{+}$は局所コンパクトハウスドルフ空間$X^{+}$の開集合ゆえ局所コンパクトハウスドルフである．

存在

写像$f \colon c(X) \to X^{+}$を
$$ f(y) = \begin{cases} (\iota_{X}^{\iota_{X}(X)})^{-1}(y) &, y \in \iota_{X}(X)\\ \infty_{X} &, y \in c(X) \smallsetminus \iota_{X}(X) \end{cases}$$
で定める．

• $f \circ \iota_{X} = \id_{X}^{X^{+}}$が成り立つ．
• $f|\iota_{X}(X) = (\iota_{X}^{\iota_{X}(X)})^{-1}$は連続である．
• あとは各$\infty \in c(X) \smallsetminus \iota_{X}(X)$における連続性を示せばよい．そこで$K \subset X$をコンパクト閉集合とする．このとき，コンパクト集合$\iota_{X}(K) \subset c(X)$は閉集合であるから，
  $$ f^{-1}(X^{+} \smallsetminus K) = c(X) \smallsetminus \iota_{X}(K) \subset c(X)$$
  は$\infty \in c(X)$の開近傍である．

一意性

連続写像$g \colon c(X) \to X^{+}$も$g \circ \iota_{X} = \id_{X}^{X^{+}}$を満たすとする．このとき，ハウスドルフ空間$X^{+}$への連続写像$f,g$は稠密部分集合$\iota_{X}(X) \subset c(X)$上で一致するので$f =g$が成り立つ．

$P = \{p_{0},\ldots,p_{\ell}\},\,X = S^{m} \smallsetminus P$とおく．$c(X) := S^{m}$は，コンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間$X$のハウスドルフなコンパクト化であるから，連続写像$f \colon c(X) \to X^{+}$であって$f|X = \id_{X}^{X^{+}}$なるものがただ一つ存在する．
$$ R(f) = \Delta_{S^{m}} \cup (P \times P)$$
であるから
$$ S^{m}/P = c(X)/R(f) \approx X^{+} = (S^{m} \smallsetminus P)^{+}$$
が成り立つ．

$(c(X),\iota_{X})$を$X$のハウスドルフな1点コンパクト化とする．このとき$c(X)$と$X^{+}$とが同相であることを示せばよい．ところで，$f \colon c(X) \to X^{+}$はコンパクト空間$c(X)$からハウスドルフ空間$X^{+}$への全単射連続写像であるから同相写像である．

(i)$\implies$(ii)

$f^{+}|X = \id_{Y}^{Y^{+}} \circ f$は連続なので，あとは$\infty_{X} \in X^{+}$での連続性を示せばよい．そこで$K_{Y} \subset Y$をコンパクト閉集合とすると，仮定より$f^{-1}(K_{Y}) \subset X$はコンパクト閉集合であるから
$$ (f^{+})^{-1}(Y^{+} \smallsetminus K_{Y}) = X^{+} \smallsetminus f^{-1}(K_{Y})$$
は$\infty_{X} \in X^{+}$の開近傍である．

(ii)$\implies$(i)

$K_{Y} \subset Y$をコンパクト集合とする．$Y$のハウスドルフ性より$K_{Y} \subset Y$は閉集合でもあるから，$\infty_{Y} \in Y^{+}$の開近傍$Y^{+} \smallsetminus K_{Y}$に対して，仮定より，コンパクト閉集合$K_{X} \subset X$であって
$$ f^{+}(X^{+} \smallsetminus K_{X}) \subset Y^{+} \smallsetminus K_{Y}$$
となるものが存在する．このとき
$$ f^{-1}(K_{Y}) = (f^{+})^{-1}(K_{Y}) \subset K_{X}$$
が成り立つので，コンパクト集合$K_{X}$の閉集合$f^{-1}(K_{Y})$はコンパクトである．

$f \colon X \to Y$を同相写像とすると，$f$はとくに固有写像であるから
$$ f^{+} \colon X^{+} \to Y^{+}$$
は連続である．逆写像$f^{-1} \colon Y \to X$から定まる連続写像$(f^{-1})^{+} \colon Y^{+} \to X^{+}$が$f^{+}$の逆写像を与える．

$f$が固有写像であること

$K \subset \mathbb{R}^{n}$をコンパクト集合とする．$E > 0$であって$K \subset \overline{B}^{n}(0;E)$となるものが存在する．

1. $D > 0$であって，
   $$ f\left(\mathbb{R}^{m} \smallsetminus \left(P \cup \overline{B}^{m}(0;D)\right)\right) \subset \mathbb{R}^{n} \smallsetminus \overline{B}^{n}(0;E)$$
   となるものが存在する；
2. 各$p_{i} \in P$に対して，$\delta_{i} > 0$であって
   $$ f\left(B^{m}(p_{i};\delta_{i}) \smallsetminus P\right) \subset \mathbb{R}^{n} \smallsetminus \overline{B}^{n}(0;E)$$
   となるものが存在する．したがって
   \begin{align} f^{-1}\left(\overline{B}^{n}(0;E)\right) &\subset \bigcap_{i} (\mathbb{R}^{m} \smallsetminus P) \smallsetminus (B^{m}(p_{i};\delta_{i}) \smallsetminus P)\\ &= \bigcap_{i} \mathbb{R}^{m} \smallsetminus (P \cup B^{m}(p_{i};\delta_{i}))\\ &= \mathbb{R}^{m} \smallsetminus \bigcup_{i} P \cup B^{m}(p_{i};\delta_{i})\\ &= \mathbb{R}^{m} \smallsetminus \bigcup_{i} B^{m}(p_{i};\delta_{i}) \end{align}
   が成り立つ．

よって
$$ f^{-1}(K) \subset f^{-1}\left(\overline{B}^{n}(0;E)\right) \subset \overline{B}^{m}(0;D) \smallsetminus \bigcup_{i} B^{m}(p_{i};\delta_{i})$$
が成り立つので，コンパクト集合$\overline{B}^{m}(0;D) \smallsetminus \bigcup_{i} B^{m}(p_{i};\delta_{i})$の閉集合$f^{-1}(K)$はコンパクトである．

$f$が“拡張”できること

$\# P = \ell$とおく．同相$S^{m} \smallsetminus \{p_{0}\} \approx \mathbb{R}^{m}$に対応して，同相$S^{m} \smallsetminus \{p_{0},p_{1},\ldots,p_{\ell}\} \approx \mathbb{R}^{m} \smallsetminus P$を得る．したがって，連続写像
$$ \tilde{f} \colon S^{m} \to S^{m}/\{p_{0},\ldots,p_{\ell}\} \approx (S^{m} \smallsetminus \{p_{0},\ldots,p_{\ell}\})^{+} \approx (\mathbb{R}^{m} \smallsetminus P)^{+} \xrightarrow{f^{+}} (\mathbb{R}^{n})^{+} \approx S^{n}$$
が定まる．適当に同一視すると
$$ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) &, x \notin \{p_{0},\ldots,p_{\ell}\}\\ \infty &, x \in \{p_{0},\ldots,p_{\ell}\} \end{cases}$$
と書ける．