始域に誘導される位相

任意の$B \subset Y$に対して
$$ X \smallsetminus f^{-1}(B) = f^{-1}(Y \smallsetminus B)$$
が成り立つことからしたがう．

任意の$W \in \tau(Z)$に対して
$$ (g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W))$$
が成り立つことからしたがう．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$V \in \tau(Y)$とする．このとき，
$$ g^{-1}(f^{-1}(V)) = (f \circ g)^{-1}(V) \in \tau(Z)$$
が成り立つ．

$X$の位相$\tau(X)$に関して$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$が連続であるとする．このとき，誘導位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(X)) \to (X,f^{-1}(\tau(Y)))$は連続である．
$$ \xymatrix{ {(X,\tau(X))} \ar[r]^{\id_{X}} \ar[dr]_{f} & {(X,f^{-1}(\tau(Y)))} \ar[d]^{f}\\ {} & {(Y,\tau(Y))} }$$

1. \begin{align} \mathrm{cl}_{X}(A) &= \bigcap \{C_{X} \in \tau^{c}(X) \mid A \subset C_{X}\}\\ &= \bigcap \{C \cap X \mid C \in \tau^{c}(Y), A \subset C \cap X\}\\ &= \left(\bigcap \{C \in \tau^{c}(Y) \mid A \subset C\}\right) \cap X\\ &= \mathrm{cl}_{Y}(A) \cap X. \end{align}
2. \begin{align} \mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{Y}(X) &= \left(\bigcup \{U_{X} \in \tau(X) \mid U_{X} \subset A\}\right) \cap \mathrm{int}_{Y}(X)\\ &= \left(\bigcup \{U \cap X \mid U \in \tau(Y), U \cap X \subset A\}\right) \cap \mathrm{int}_{Y}(X)\\ &= \bigcup \{U \cap \mathrm{int}_{Y}(X) \mid U \in \tau(Y), U \cap X \subset A\}\\ &= \bigcup \{U \in \tau(Y) \mid U \subset A\}\\ &= \mathrm{int}_{Y}(A). \end{align}

$$ f|X = f \circ \incl{X}{Y} \colon (X,\tau(Y)|X) \xrightarrow{\incl{X}{Y}} (Y,\tau(Y)) \xrightarrow{f} (Z,\tau(Z))$$
より，$f|X$は連続写像の合成ゆえ連続である．

$$ \incl{Y_{1}}{Y} \circ f|_{X_{1}}^{Y_{1}} = f \circ \incl{X_{1}}{X} \colon (X_{1},\tau(X)|X_{1}) \to (Y,\tau(Y))$$
は連続なので，相対位相$\tau(Y)|Y_{1}$の普遍性より$f|_{X_{1}}^{Y_{1}}$は連続である．

$\incl{f(X)}{Y} \circ f^{f(X)} = f$は連続なので，$f^{f(X)}$は全単射連続写像である．あとは$f^{f(X)}$が開写像（resp. 閉写像）であることを示せばよい．

• $f$が開写像のとき，任意の$U \in \tau(X)$に対して
  $$ f^{f(X)}(U) = f(U) \cap f(X) \in \tau(Y)|f(X)$$
  が成り立つので，$f^{f(X)}$は開写像である．
• $f$が閉写像のとき，任意の$C \in \tau^{c}(X)$に対して
  $$ f^{f(X)}(C) = f(C) \cap f(X) \in \tau^{c}(Y)|f(X)$$
  が成り立つので，$f^{f(X)}$は閉写像である．

• $g$の$X$への余制限を取ればよい．
• 一意性は$\incl{X}{Y}$が単射であることからしたがう．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

仮定より，各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ g \colon (Z,\tau(Z)) \to (X,f_{\lambda}^{-1}(\tau_{\lambda}))$$
は連続である．よって，任意の$U \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(\tau_{\lambda})$に対して，$g^{-1}(U) \in \tau(Z)$が成り立つ．

$X$の位相$\tau(X)$に関して
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ f_{\lambda} \colon (X,\tau(X)) \to (X_{\lambda},\tau_{\lambda}):\text{continuous}$$
が成り立つとする．このとき，誘導位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(X)) \to (X,f_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet}))$は連続である．
$$ \xymatrix{ {(X,\tau(X))} \ar[r]^{\id_{X}} \ar[dr]_{f_{\lambda}} & {(X,f_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet}))} \ar[d]^{f_{\lambda}}\\ {} & {(X_{\lambda},\tau_{\lambda})} }$$

• 任意の$(\mu,\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
  $$ f_{\mu,\lambda} \circ f_{\mu} \colon (X,f_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet})) \xrightarrow{f_{\mu}} (X_{\mu},\tau_{\mu}) \xrightarrow{f_{\mu,\lambda}} (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda})$$
  は連続写像の合成ゆえ連続である．よって定理8の系より
  $$ f_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet}) \supset \tau(X)$$
  が成り立つ．
• $\mu \in M$とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
  $$ f_{\mu,\lambda} \circ f_{\mu} \colon (X,\tau(X)) \to (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda})$$
  は連続であるから，誘導位相$\tau_{\mu}$の普遍性より，$f_{\mu} \colon (X,\tau(X)) \to (X_{\mu},\tau_{\mu})$は連続である．よって定理8の系より
  $$ \tau(X) \supset f_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet})$$
  が成り立つ．

• 一意性は補題1.1よりしたがう．
• 写像$\Delta(f_{\bullet}) \colon X \to \prod X_{\bullet}$を
  $$ \forall \lambda \in \Lambda,\ \Delta(f_{\bullet})(x)(\lambda) = f_{\lambda}(x) \in X_{\lambda}$$
  で定める．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
  $$ p_{\lambda} \circ \Delta(f_{\bullet}) = f_{\lambda} \colon (X,\tau(X)) \to (X_{\lambda},\tau_{\lambda}):\text{continuous}$$
  が成り立つ．よって
  $$ \Delta(f_{\bullet}) \colon (X,\tau(X)) \to \left(\prod X_{\bullet},p_{\bullet}^{-1}(\tau_{\bullet})\right)$$
  は連続である．
• $f_{\lambda_{0}} \colon X \to X_{\lambda_{0}}$が位相的埋め込みであるとする．このとき，任意の$x,x' \in X, x \neq x',\,$に対して
  $$ p_{\lambda_{0}}(\Delta(f_{\bullet})(x)) = f_{\lambda_{0}}(x) \neq f_{\lambda_{0}}(x') = p_{\lambda_{0}}(\Delta(f_{\bullet})(x'))$$
  より$\Delta(f_{\bullet})(x) \neq \Delta(f_{\bullet})(x')$が成り立つので，$\Delta(f_{\bullet})$は単射である．あとは全単射連続写像
  $$ f := \Delta(f_{\bullet})^{\Delta(f_{\bullet})(X)} \colon X \to \Delta(f_{\bullet})(X)$$
  が閉写像であることを示せばよい．そこで$C \subset X$を閉集合とする．このとき
  $$ f(C) \stackrel{!}{=} \overline{f(C)} \cap \Delta(f_{\bullet})(X) \in \tau^{c}\left(\prod X_{\bullet}\right)|\Delta(f_{\bullet})(X)$$
  が成り立つことを示す．
  • $f(C) \subset \mathrm{RHS}$は明らか．
  • $f(x) \in \mathrm{RHS}$とする．このとき，$p_{\lambda_{0}} \circ \incl{f(X)}{\prod X_{\bullet}}$の連続性と$f_{0} := f_{\lambda_{0}}^{f_{\lambda_{0}}(X)} \colon X \to f_{\lambda_{0}}(X)$が同相写像であることより
    \begin{align} f_{\lambda_{0}}(x) = p_{\lambda_{0}} \circ \Delta(f_{\bullet})(x) &= p_{\lambda_{0}} \circ \incl{f(X)}{\prod X_{\bullet}}(f(x))\\ &\in p_{\lambda_{0}} \circ \incl{f(X)}{\prod X_{\bullet}}　\left(\overline{f(C)}\right) \cap f_{\lambda_{0}}(X)\\ &\subset \overline{p_{\lambda_{0}} \circ \incl{f(X)}{\prod X_{\bullet}}(f(C))} \cap f_{\lambda_{0}}(X)\\ &= \overline{p_{\lambda_{0}} \circ \Delta(f_{\bullet})(C)} \cap f_{\lambda_{0}}(X)\\ &= \overline{f_{\lambda_{0}}(C)} \cap f_{\lambda_{0}}(X)\\ &= \mathrm{cl}_{f_{\lambda_{0}}(X)}(f_{0}(C))\\ &= f_{0}(\mathrm{cl}_{X}(C)) = f_{0}(C) = f_{\lambda_{0}}(C)\\ \end{align}
    が成り立つので，$f_{\lambda_{0}}$の単射性より$x \in C$を得る．よって$f(x) \in f(C)$が成り立つ．

• $\prod f_{\bullet} = \Delta((f_{\lambda} \circ p_{X_{\lambda}})_{\lambda \in \Lambda})$とおけばよい．
• 任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
  \begin{align} p_{Z_{\lambda}} \circ \left(\prod g_{\bullet} \circ \prod f_{\bullet}\right) &= g_{\lambda} \circ p_{Y_{\lambda}} \circ \prod f_{\bullet}\\ &= g_{\lambda} \circ f_{\lambda} \circ p_{X_{\lambda}}\\ &= h_{\lambda} \circ p_{X_{\lambda}}\\ &= p_{Z_{\lambda}} \circ \prod h_{\bullet} \end{align}
  が成り立つので，補題1.1より結論を得る．
  $$ \xymatrix{ {\prod X_{\bullet}} \ar[rr]^{\prod f_{\bullet}} \ar@/^2pc/[rrrr]^{\prod h_{\bullet}} \ar[d]_{p_{X_{\lambda}}}& {} & {\prod Y_{\bullet}} \ar[rr]^{\prod g_{\bullet}} \ar[d]_{p_{Y_{\lambda}}} & {} & {\prod Z_{\bullet}} \ar[d]^{p_{Z_{\lambda}}}\\ {X_{\lambda}} \ar[rr]_{f_{\lambda}} \ar@/_2pc/[rrrr]_{h_{\lambda}} & {} & {Y_{\lambda}} \ar[rr]_{g_{\lambda}} & {} & {Z_{\lambda}} }$$

• $X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda},\, Y = \prod_{\mu \in M} Y_{\mu}$とおく．
• $\mu \in M$とする．任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して$p_{\lambda} \colon (X,\tau(X)) \to (X_{\lambda},\tau_{\lambda})$は連続なので，積空間$(Y_{\mu},\tau_{\mu})$の普遍性より，連続写像$p_{\Lambda_{\mu}} \colon (X,\tau(X)) \to (Y_{\mu},\tau_{\mu})$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {X} \ar@{.>}[r]^{p_{\Lambda_{\mu}}} \ar[dr]_{p_{\lambda}} & {Y_{\mu}} \ar[d]^{p^{\mu}_{\lambda}}\\ {} & {X_{\lambda}} }$$
  よって，積空間$(Y,\tau(Y))$の普遍性より，連続写像$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {X} \ar@{.>}[r]^{f} \ar[dr]_{p_{\Lambda_{\mu}}} & {Y} \ar[d]^{p_{Y_{\mu}}}\\ {} & {Y_{\mu}} }$$
• $\lambda \in \Lambda$とする．このとき$\mu(\lambda) \in M$であって$\lambda \in \Lambda_{\mu(\lambda)}$となるものがただ一つ存在する．そこで自然な射影の合成を$f_{\lambda} = p^{\mu(\lambda)}_{\lambda} \circ p_{Y_{\mu(\lambda)}}$とおくと
  $$ f_{\lambda} \colon (Y,\tau(Y)) \xrightarrow{p_{Y_{\mu(\lambda)}}} (Y_{\mu(\lambda)},\tau_{\mu(\lambda)}) \xrightarrow{p^{\mu(\lambda)}_{\lambda}} (X_{\lambda},\tau_{\lambda})$$
  は連続である．よって，積空間$(X,\tau(X))$の普遍性より，連続写像$g \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {Y} \ar@{.>}[r]^{g} \ar[dr]_{f_{\lambda}} & {X} \ar[d]^{p_{\lambda}}\\ {} & {X_{\lambda}} }$$
• いま，任意の$(\mu(\lambda),\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
  $$ p_{\lambda} \circ (g \circ f) = f_{\lambda} \circ f = p^{\mu(\lambda)}_{\lambda} \circ p_{Y_{\mu(\lambda)}} \circ f = p^{\mu(\lambda)}_{\lambda} \circ p_{\Lambda_{\mu(\lambda)}} = p_{\lambda} = p_{\lambda} \circ \id_{X}$$
  が成り立つので，補題1.1より$g \circ f = \id_{X}$を得る．
  $$ \xymatrix{ {X} \ar[r]^{g \circ f} \ar@/^1.5pc/[r]^{\id_{X}} \ar[dr]_{p_{\lambda}} & {\prod X_{\bullet}} \ar[d]^{p_{\lambda}}\\ {} & {X_{\lambda}} }$$
• また，$\mu \in M$とすると，任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
  $$ p^{\mu}_{\lambda} \circ (p_{Y_{\mu}} \circ f \circ g) = p^{\mu}_{\lambda} \circ p_{\Lambda_{\mu}} \circ g = p_{\lambda} \circ g = f_{\lambda} = p^{\mu}_{\lambda} \circ p_{Y_{\mu}}$$
  となるので，補題1.1より$p_{Y_{\mu}} \circ (f \circ g) = p_{Y_{\mu}} = p_{Y_{\mu}} \circ \id_{Y}$が成り立つ．よって$f \circ g = \id_{Y}$を得る．
  $$ \xymatrix{ {Y} \ar[r]^{p_{Y_{\mu}} \circ f \circ g} \ar@/^1.5pc/[r]^{p_{Y_{\mu}}} \ar[dr]_{p^{\mu}_{\lambda} \circ p_{Y_{\mu}}} & {Y_{\mu}} \ar[d]^{p^{\mu}_{\lambda}} & {Y} \ar[r]^{f \circ g} \ar@/^1.5pc/[r]^{\id_{Y}} \ar[dr]_{p_{Y_{\mu}}} & {\prod Y_{\bullet}} \ar[d]^{p_{Y_{\mu}}}\\ {} & {X_{\lambda}} & {} & {Y_{\mu}} }$$

$\Lambda$の分割として$(\{\varphi(\lambda)\})_{\lambda \in \Lambda}$を考えればよい．

$f$が開写像であることを示せばよい．$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda,\, U_{i} \in \tau(X_{\lambda_{i}})$とする．このとき
$$ f(p_{X_{\lambda_{1}}}^{-1}(U_{1}) \cap \cdots \cap p_{X_{\lambda_{n}}}^{-1}(U_{n})) = \bigcap_{i \in [n]} p_{Y_{\lambda_{i}}}^{-1}(f_{\lambda_{i}}(U_{i})) \cap \bigcap_{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\}} p_{Y_{\lambda}}^{-1}(f_{\lambda}(X_{\lambda}))$$
が成り立つ．仮定より有限個の$\lambda \in \Lambda$を除いて$f_{\lambda}(X_{\lambda}) = Y_{\lambda}$が成り立つので，右辺は$\prod Y_{\bullet}$の開集合である．

• 各$\lambda \in \Lambda$に対して，$(X_{\lambda},\tau_{\lambda})$と$(Y_{\varphi(\lambda)},\tau_{\varphi(\lambda)})$との同相を与える写像を$f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\varphi(\lambda)}$とする．
• このとき，命題14より$\prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda} \colon \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to \prod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)}$は全単射連続開写像ゆえ同相写像である．
• $\Lambda$の分割$(\{\varphi^{-1}(\mu)\})_{\mu \in M}$を考えて，定理13より同相$\prod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)} \approx \prod_{\mu \in M} Y_{\mu}$を得る．

包含写像からなる族$\incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} = (\incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}} \colon A_{\lambda} \to X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$と自然な射影からなる族$p_{A_{\bullet}} = (p_{A_{\lambda}} \colon \prod A_{\bullet} \to A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$について，
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ p_{X_{\lambda}} \circ \prod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} = \incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}} \circ p_{A_{\lambda}} \colon \prod A_{\bullet} \to X_{\lambda}$$
が成り立つ．ところで，誘導位相の推移性より，

• 写像族$(p_{X_{\lambda}} \circ \prod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}})_{\lambda \in \Lambda}$による誘導位相は包含写像$\prod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} = \incl{\prod A_{\bullet}}{\prod X_{\bullet}}$による誘導位相，すなわち$\tau_{1}$に一致する；
• 写像族$(\incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}} \circ p_{A_{\lambda}})_{\lambda \in \Lambda}$による誘導位相は写像族$p_{A_{\bullet}}$による誘導位相，すなわち$\tau_{2}$に一致する．

定理12の系より
$$ \prod f_{\bullet} = \prod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}} \circ \prod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}$$
が成り立つ．よって$\prod f_{\bullet}$は位相的埋め込みと同相写像の合成であるから位相的埋め込みである（cf. 命題3.21）．
$$ \xymatrix{ {\prod X_{\bullet}} \ar[rr]^{\prod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}}_{\approx} \ar@/^2.5pc/[rrrr]^{\prod f_{\bullet}} \ar[d]_{p_{X_{\lambda}}}& {} & {\prod f_{\bullet}(X_{\bullet})} \ar[rr]^{\prod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}}}_{\text{top. emb.}} \ar[d]_{p_{f_{\lambda}(X_{\lambda})}} & {} & {\prod Y_{\bullet}} \ar[d]^{p_{Y_{\lambda}}}\\ {X_{\lambda}} \ar[rr]^{f_{\lambda}^{f_{\lambda}(X_{\lambda})}}_{\approx} \ar@/_2.5pc/[rrrr]^{\text{top. emb.}}_{f_{\lambda}} & {} & {f_{\lambda}(X_{\lambda})} \ar[rr]^{\incl{f_{\lambda}(X_{\lambda})}{Y_{\lambda}}}_{\text{top. emb.}} & {} & {Y_{\lambda}} }$$

• 連続写像であることは明らか．
• 任意の有限集合$\{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\} \subset \Lambda$と開集合$U_{i} \in \tau_{\lambda_{i}}$に対して
  $$ p_{\lambda}\left(p_{\lambda_{1}}^{-1}(U_{1}) \cap \cdots \cap p_{\lambda_{n}}^{-1}(U_{n})\right) = \begin{cases} U_{i} &, \lambda = \lambda_{i}\\ X_{\lambda} &, \lambda \notin \{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\}\\ \end{cases} \in \tau_{\lambda}$$
  が成り立つ．よって$p_{\lambda}$は開写像である．

1. 1. 各$\lambda \in \Lambda$に対して$p_{\lambda}$の連続性より
      $$ p_{\lambda}\left(\overline{\prod A_{\bullet}}\right) \subset \overline{p_{\lambda}\left(\prod A_{\bullet}\right)} = \overline{A_{\lambda}}$$
      が成り立つ．よって$\mathrm{LHS} \subset \mathrm{RHS}$が成り立つ．
   2. 各$\lambda \in \Lambda$に対して$a_{\lambda,0} \in A_{\lambda}$を取る．$x \in \mathrm{RHS}$とする．このとき，任意の$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda,\, U_{i} \in \tau_{\lambda_{i}}$であって$x \in U := \bigcap p_{\lambda_{i}}^{-1}(U_{i})$なるものに対して，$p_{\lambda_{i}}(x) \in U_{i} \cap \overline{A_{\lambda_{i}}}$より$U_{i} \cap A_{\lambda_{i}} \neq \varnothing$となるので，$a_{\lambda_{i}} \in U_{i} \cap A_{\lambda_{i}}$が取れる．そこで$a \in \prod X_{\bullet}$を
      $$ a(\lambda) = \begin{cases} a_{\lambda_{i}} &, \lambda = \lambda_{i}\\ a_{\lambda,0} &, \lambda \notin \{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\} \end{cases}$$
      で定めると，$a \in U \cap \prod A_{\bullet} \neq \varnothing$が成り立つ．よって$x \in \mathrm{LHS}$を得る．
2. 各$p_{\lambda}$が開写像であることから
   $$ p_{\lambda}\left(\mathrm{int}\left(\prod A_{\bullet}\right)\right) \subset \mathrm{int}\left(p_{\lambda}\left(\prod A_{\bullet}\right)\right) = \mathrm{int}(A_{\lambda})$$
   が成り立つ．よって
   $$ \mathrm{int}\left(\prod A_{\bullet}\right) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} \mathrm{int}(A_{\lambda})$$
   が成り立つ．
3. 仮定より$\prod_{\lambda \in \Lambda} \mathrm{int}(A_{\lambda}) \subset \prod X_{\bullet}$は$\prod A_{\bullet}$に含まれる開集合なので
   $$ \prod_{\lambda \in \Lambda} \mathrm{int}(A_{\lambda}) \subset \mathrm{int}\left(\prod A_{\bullet}\right)$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

仮定より
$$ g^{A_{\lambda}} \colon (g^{-1}(A_{\lambda}),\tau(Z)|g^{-1}(A_{\lambda})) \xrightarrow{g^{A_{\lambda}}} (A_{\lambda},\tau(X)|A_{\lambda}) \xrightarrow{\id_{A_{\lambda}}} (A_{\lambda},f_{\lambda}^{-1}(\tau(X_{\lambda}))|A_{\lambda})$$
は連続であるから，$f_{\lambda} \circ g^{A_{\lambda}}$も連続である．

(ii)$\implies$(i)

仮定より，任意の$V \in \tau(X_{\lambda})$に対して
$$ g^{-1}(f_{\lambda}^{-1}(V)) = (f_{\lambda} \circ g^{A_{\lambda}})^{-1}(V) \in \tau(Z)|g^{-1}(A_{\lambda}) \subset \tau(Z)$$
が成り立つので，$g$は連続である．

(i)$\implies$(ii)

$x \in X$とする．このとき，任意の$y \in X \smallsetminus \{x\}$に対して，仮定より$V \in \tau(y,X)$であって$V \subset X \smallsetminus \{x\}$となるものが存在する．よって$X \smallsetminus \{x\} \in \tau(X)$，すなわち$\{x\} \in \tau^{c}(X)$を得る．

(ii)$\implies$(i)

$x,y \in X,\, x \neq y,\,$とする．このとき
$$ U = X \smallsetminus \{y\},\ V = X \smallsetminus \{x\}$$
とおくと，仮定より$U \in \tau(x,X),\,V \in \tau(y,X)$であり
$$ U \cap V \cap \{x,y\} = \varnothing$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$Y$として$X$自身を，$f$として恒等写像$\id_{X} \colon X \to X$を取ればよい．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．仮定より$\{f(x)\} \in \tau^{c}(Y)$であるから，$\{x\} = f^{-1}(\{f(x)\}) \in \tau^{c}(X)$を得る．

(i)$\implies$(ii)

各$\mu \in \Lambda$に対して$x_{\mu,0} \in X_{\mu}$を取る．写像$s_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \prod X_{\bullet}$を
$$ s_{\lambda}(x_{\lambda})(\mu) = \begin{cases} x_{\lambda} &, \mu = \lambda\\ x_{\mu,0} &, \mu \neq \lambda \end{cases}$$
で定める．積位相の普遍性より$s_{\lambda}$は単射連続写像であるから，命題20より$X_{\lambda}$は$T_{1}$空間である．

(ii)$\implies$(i)

$x \in \prod X_{\bullet}$とする．このとき各$X_{\lambda}$の$T_{1}$性より
$$ \{x\} = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} p_{\lambda}^{-1}(\{x_{\lambda}\}) \in \tau^{c}\left(\prod X_{\bullet}\right)$$
が成り立つ．よって補題19より結論を得る．

$Y$のハウスドルフ性より，$V \in \tau(f(x),Y),\,V' \in \tau(f(x'),Y)$であって$V \cap V' = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U = f^{-1}(V),\,U' = f^{-1}(V')$とおくと
$$ U \in \tau(x,X),\ U' \in \tau(x',X),\ U \cap U' = \varnothing$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$Y$として$X$自身を，$f$として恒等写像$\id_{X} \colon X \to X$を取ればよい．

(ii)$\implies$(i)

補題22よりしたがう．

(i)$\implies$(ii)

命題21の証明で定義した単射連続写像$s_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \prod X_{\bullet}$の存在と命題23より$X_{\lambda}$はハウスドルフ空間である．

(ii)$\implies$(i)

$x,y \in \prod X_{\bullet},x \neq y,\,$とする．このとき$\lambda \in \Lambda$であって$p_{\lambda}(x) = x_{\lambda} \neq y_{\lambda} = p_{\lambda}(y)$となるものが存在する．仮定より$X_{\lambda}$はハウスドルフ空間であるから，補題22より$U \in \tau(x,\prod X_{\bullet}), V \in \tau(y,\prod X_{\bullet})$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．

(i)$\implies$(ii)

$x \in X, U \in \tau(x,X)$とする．$F = X \smallsetminus U \in \tau^{c}(X)$とおくと，$x \notin F$より，$V \in \tau(x,X),W \in \tau(F,X)$であって$V \cap W = \varnothing$となるものが存在する．このとき$V \subset X \smallsetminus W \in \tau^{c}(X)$であるから，
$$ \overline{V} \subset \overline{X \smallsetminus W} = X \smallsetminus W \subset X \smallsetminus F = U$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

明らか．

(iii) $\implies$(i)

$x \in X,\,F \in \tau^{c}(X),\,x \notin F$とする．このとき$x \in X \smallsetminus F \in \tau(X)$より，$U_{1},\ldots,U_{n} \in \sigma(x,X)$であって$\bigcap_{i \in [n]} U_{i} \subset X \smallsetminus F$となるものが存在する．仮定より，各$i \in [n]$に対して$V_{i} \in \tau(x,X)$であって$\overline{V_{i}} \subset U_{i}$となるものが存在する．そこで$U = \bigcap_{i \in [n]} V_{i},\, V = X \smallsetminus \bigcap_{i \in [n]} \overline{V_{i}}$とおくと，
$$ U \in \tau(x,X),\ V \in \tau(F,X),\ U \cap V = \varnothing$$
が成り立つ．

1. $a \in A,F_{A} \in \tau^{c}(A), a \notin F_{A}$とする．このとき$F \in \tau^{c}(X)$であって$F_{A} = F \cap A$となるものが存在する（命題4）．$X$の$T_{3}$性と$a \notin F$より，$U \in \tau(a,X),V \in \tau(F,X)$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U_{A} = U \cap A, V_{A} = V \cap A$とおくと
   $$ U_{A} \in \tau(a,A),\ V_{A} \in \tau(F_{A},A),\ U_{A} \cap V_{A} = \varnothing$$
   が成り立つ．
2. 前段と命題20の系よりしたがう．

命題21より$T_{3}$性について示せば十分である．

(i)$\implies$(ii)

命題21の証明で定義した単射連続写像$s_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \prod X_{\bullet}$について，
$$ (p_{\lambda}|s_{\lambda}(X_{\lambda})) \circ s_{\lambda}^{s_{\lambda}(X_{\lambda})} = \id_{X_{\lambda}},\ s_{\lambda}^{s_{\lambda}(X_{\lambda})} \circ (p_{\lambda}|s_{\lambda}(X_{\lambda})) = \id_{s_{\lambda}(X_{\lambda})}$$
が成り立つので，$s_{\lambda}^{s_{\lambda}(X_{\lambda})} \colon X_{\lambda} \to s_{\lambda}(X_{\lambda})$は同相写像である．命題26より$s_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \prod X_{\bullet}$は$T_{3}$空間であるから，$X_{\lambda}$も$T_{3}$空間である．

(ii)$\implies$(i)

$x \in \prod X_{\bullet},\,U \in \sigma(x,\prod X_{\bullet})$とする．積位相の定義より$\sigma(\prod X_{\bullet}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} p_{\lambda}^{-1}(\tau(X_{\lambda}))$であるから，ある$U_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda})$を用いて$U = p_{\lambda}^{-1}(U_{\lambda})$と書ける．いま$X_{\lambda}$は$T_{3}$空間であるから，命題25より$V_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda})$であって$\overline{V_{\lambda}} \subset U_{\lambda}$となるものが存在する．そこで$V = p_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda}) \in \tau(x,\prod X_{\bullet})$とおくと，$p_{\lambda}$の連続性より
$$ \overline{V} = \overline{p_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda})} \subset p_{\lambda}^{-1}(\overline{V_{\lambda}}) \subset p_{\lambda}^{-1}(U_{\lambda}) = U$$
が成り立つ．よって命題25より$\prod X_{\bullet}$は$T_{3}$空間である．

(i)$\implies$(ii)

$C \in \tau^{c}(X),\,U \in \tau(C,X)$とする．$F = X \smallsetminus U \in \tau^{c}(X)$とおくと，$C \cap F = \varnothing$より，$V \in \tau(C,X),\,W \in \tau(F,X)$であって$V \cap W = \varnothing$となるものが存在する．このとき$V \subset X \smallsetminus W \in \tau^{c}(X)$であるから，
$$ \overline{V} \subset \overline{X \smallsetminus W} = X \smallsetminus W \subset X \smallsetminus F = U$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$C,F \in \tau^{c}(X),\,C \cap F = \varnothing,\,$とする．$X \smallsetminus F \in \tau(C,X)$に対して，仮定より$U \in \tau(C,X)$であって$\overline{U} \subset X \smallsetminus F$，すなわち$\overline{U} \cap F = \varnothing$となるものが存在する．

(iii)$\implies$(iv)

$C,F \in \tau^{c}(X),\,C \cap F = \varnothing,\,$とする．仮定より$U \in \tau(C,X)$であって$\overline{U} \cap F = \varnothing$となるものが存在する．交わらない閉集合$\overline{U},F \subset X$に対して，ふたたび仮定より，$V \in \tau(F,X)$であって$\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$となるものが存在する．

(iv)$\implies$(i)

明らか．

1. $C,F \in \tau^{c}(A),\,C \cap F = \varnothing,\,$とする．$A \in \tau^{c}(X)$より$C,F \in \tau^{c}(X)$であるから，$U \in \tau(C,X),\,V \in \tau(F,X)$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U_{A} = U \cap A,\,V_{A} = V \cap A$とおくと，
   $$ U_{A} \in \tau(C,A),\ V_{A} \in \tau(F,A),\ U_{A} \cap V_{A} = \varnothing$$
   が成り立つ．
2. 命題21より各$X_{\lambda}$は$T_{1}$空間である．また，同相
   $$ X_{\lambda} \approx s_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \prod X_{\bullet}$$
   が存在するのだった．ところで各$X_{\mu}$の$T_{1}$性より
   $$ s_{\lambda}(X_{\lambda}) = \bigcap_{\mu \neq \lambda} p_{\mu}^{-1}(\{x_{\mu,0}\}) \subset \prod X_{\bullet}$$
   は閉集合であるから，前段より$s_{\lambda}(X_{\lambda})$は，したがって$X_{\lambda}$は$T_{4}$空間である．

1. こちら を参照されたい．
2. • $X$を局所コンパクトハウスドルフ空間とする．
     • $X$が$T_{1}$空間であることは明らか．
   • $x \in X,\,U \in \tau(x,X)$とする．
   • $x \in X$のコンパクト近傍$K \subset X$を取る．
   • 前段よりコンパクトハウスドルフ空間$K$は正規空間であるから，その閉集合$\{x\}$の開近傍$U \cap K$に対して，$W_{K} \in \tau(x,K)$であって$\mathrm{cl}_{K}(W_{K}) \subset U \cap K$となるものが存在する．
   • 相対位相の定義より$W \in \tau(x,X)$であって$W_{K} = W \cap K$となるものが存在する．
   • そこで$V = W \cap \mathrm{int}(K) \in \tau(x,X)$とおく．
   • ハウスドルフ空間$X$のコンパクト集合$K \subset X$は閉集合であることに注意すると，
     $$ \overline{V} \subset \overline{W \cap K} \cap K = \mathrm{cl}_{K}(W_{K}) \subset U$$
     が成り立つことがわかる．
   • よって命題25より$X$は$T_{3}$空間である．