始域に誘導される位相

任意の$B\subset Y$に対して
$$X\setminus f^{-1}(B)=f^{-1}(Y\setminus B)$$
が成り立つことからしたがう．

任意の$W\in \tau (Z)$に対して
$$(g\circ f{)}^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$$
が成り立つことからしたがう．

(i)$⟹$(ii)

明らか．

(ii)$⟹$(i)

$V\in \tau (Y)$とする．このとき，
$$g^{-1}(f^{-1}(V))=(f\circ g{)}^{-1}(V)\in \tau (Z)$$
が成り立つ．

$X$の位相$\tau (X)$に関して$f:(X,\tau (X))\to (Y,\tau (Y))$が連続であるとする．このとき，誘導位相の普遍性より${\mathrm{id}}_X:(X,\tau (X))\to (X,f^{-1}(\tau (Y)))$は連続である．
$$(X,\tau (X)){\mathrm{id}}_{X}f(X,f^{-1}(\tau (Y)))f(Y,\tau (Y))$$

1. $$\begin{array}{rl}{\mathrm{cl}}_X(A)& =\bigcap \{C_X\in {\tau }^c(X)\mid A\subset C_X\}\\ & =\bigcap \{C\cap X\mid C\in {\tau }^c(Y),A\subset C\cap X\}\\ & =(\bigcap \{C\in {\tau }^c(Y)\mid A\subset C\})\cap X\\ & ={\mathrm{cl}}_Y(A)\cap X.\end{array}$$
2. $$\begin{array}{rl}{\mathrm{int}}_X(A)\cap {\mathrm{int}}_Y(X)& =(\bigcup \{U_X\in \tau (X)\mid U_X\subset A\})\cap {\mathrm{int}}_Y(X)\\ & =(\bigcup \{U\cap X\mid U\in \tau (Y),U\cap X\subset A\})\cap {\mathrm{int}}_Y(X)\\ & =\bigcup \{U\cap {\mathrm{int}}_Y(X)\mid U\in \tau (Y),U\cap X\subset A\}\\ & =\bigcup \{U\in \tau (Y)\mid U\subset A\}\\ & ={\mathrm{int}}_Y(A).\end{array}$$

$$f|X=f\circ {\mathrm{id}}_X^Y:(X,\tau (Y)|X)\stackrel{{\mathrm{id}}_X^Y}{\to }(Y,\tau (Y))\stackrel{f}{\to }(Z,\tau (Z))$$
より，$f|X$は連続写像の合成ゆえ連続である．

$${\mathrm{id}}_{Y_1}^Y\circ f{|}_{X_1}^{Y_1}=f\circ {\mathrm{id}}_{X_1}^X:(X_1,\tau (X)|X_1)\to (Y,\tau (Y))$$
は連続なので，相対位相$\tau (Y)|Y_1$の普遍性より$f{|}_{X_1}^{Y_1}$は連続である．

${\mathrm{id}}_{f(X)}^Y\circ f^{f(X)}=f$は連続なので，$f^{f(X)}$は全単射連続写像である．あとは$f^{f(X)}$が開写像（resp. 閉写像）であることを示せばよい．

• $f$が開写像のとき，任意の$U\in \tau (X)$に対して
  $$f^{f(X)}(U)=f(U)\cap f(X)\in \tau (Y)|f(X)$$
  が成り立つので，$f^{f(X)}$は開写像である．
• $f$が閉写像のとき，任意の$C\in {\tau }^c(X)$に対して
  $$f^{f(X)}(C)=f(C)\cap f(X)\in {\tau }^c(Y)|f(X)$$
  が成り立つので，$f^{f(X)}$は閉写像である．

• $g$の$X$への余制限を取ればよい．
• 一意性は${\mathrm{id}}_X^Y$が単射であることからしたがう．

(i)$⟹$(ii)

明らか．

(ii)$⟹$(i)

仮定より，各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
$$g:(Z,\tau (Z))\to (X,f_{\lambda }^{-1}({\tau }_{\lambda }))$$
は連続である．よって，任意の$U\in \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }^{-1}({\tau }_{\lambda })$に対して，$g^{-1}(U)\in \tau (Z)$が成り立つ．

$X$の位相$\tau (X)$に関して
$$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },f_{\lambda }:(X,\tau (X))\to (X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }):\text{continuous}$$
が成り立つとする．このとき，誘導位相の普遍性より${\mathrm{id}}_X:(X,\tau (X))\to (X,f_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet }))$は連続である．
$$(X,\tau (X)){\mathrm{id}}_X{f}_{\lambda }(X,f_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet }))f_{\lambda }(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })$$

• 任意の$(\mu ,\lambda )\in \coprod {\mathrm{\Lambda }}_{\bullet }$に対して
  $$f_{\mu ,\lambda }\circ f_{\mu }:(X,f_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet }))\stackrel{f_{\mu }}{\to }(X_{\mu },{\tau }_{\mu })\stackrel{f_{\mu ,\lambda }}{\to }(X_{\mu ,\lambda },{\tau }_{\mu ,\lambda })$$
  は連続写像の合成ゆえ連続である．よって定理8の系より
  $$f_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet })\supset \tau (X)$$
  が成り立つ．
• $\mu \in M$とする．このとき，任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して
  $$f_{\mu ,\lambda }\circ f_{\mu }:(X,\tau (X))\to (X_{\mu ,\lambda },{\tau }_{\mu ,\lambda })$$
  は連続であるから，誘導位相${\tau }_{\mu }$の普遍性より，$f_{\mu }:(X,\tau (X))\to (X_{\mu },{\tau }_{\mu })$は連続である．よって定理8の系より
  $$\tau (X)\supset f_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet })$$
  が成り立つ．

• 一意性は補題1.1よりしたがう．
• 写像$\mathrm{\Delta }(f_{\bullet }):X\to \prod X_{\bullet }$を
  $$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x)(\lambda )=f_{\lambda }(x)\in X_{\lambda }$$
  で定める．このとき，任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
  $$p_{\lambda }\circ \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })=f_{\lambda }:(X,\tau (X))\to (X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }):\text{continuous}$$
  が成り立つ．よって
  $$\mathrm{\Delta }(f_{\bullet }):(X,\tau (X))\to (\prod X_{\bullet },p_{\bullet }^{-1}({\tau }_{\bullet }))$$
  は連続である．
• $f_{{\lambda }_0}:X\to X_{{\lambda }_0}$が位相的埋め込みであるとする．このとき，任意の$x,x^{\prime }\in X,x\ne x^{\prime },$に対して
  $$p_{{\lambda }_0}(\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x))=f_{{\lambda }_0}(x)\ne f_{{\lambda }_0}(x^{\prime })=p_{{\lambda }_0}(\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x^{\prime }))$$
  より$\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x)\ne \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x^{\prime })$が成り立つので，$\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })$は単射である．あとは全単射連続写像
  $$f:=\mathrm{\Delta }(f_{\bullet }{)}^{\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(X)}:X\to \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(X)$$
  が閉写像であることを示せばよい．そこで$C\subset X$を閉集合とする．このとき
  $$f(C)\stackrel{!}{=}\overline{f(C)}\cap \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(X)\in {\tau }^c(\prod X_{\bullet })|\mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(X)$$
  が成り立つことを示す．
  • $f(C)\subset \mathrm{RHS}$は明らか．
  • $f(x)\in \mathrm{RHS}$とする．このとき，$p_{{\lambda }_0}\circ {\mathrm{id}}_{f(X)}^{\prod X_{\bullet }}$の連続性と$f_0:=f_{{\lambda }_0}^{f_{{\lambda }_0}(X)}:X\to f_{{\lambda }_0}(X)$が同相写像であることより
    $$\begin{array}{rl}{f}_{{\lambda }_0}(x)=p_{{\lambda }_0}\circ \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(x)& =p_{{\lambda }_0}\circ {\mathrm{id}}_{f(X)}^{\prod X_{\bullet }}(f(x))\\ & \in p_{{\lambda }_0}\circ {\mathrm{id}}_{f(X)}^{\prod X_{\bullet }} \left(\overline{f(C)}\right)\cap f_{{\lambda }_0}(X)\\ & \subset \overline{p_{{\lambda }_0}\circ {\mathrm{id}}_{f(X)}^{\prod X_{\bullet }}(f(C))}\cap f_{{\lambda }_0}(X)\\ & =\overline{p_{{\lambda }_0}\circ \mathrm{\Delta }(f_{\bullet })(C)}\cap f_{{\lambda }_0}(X)\\ & =\overline{f_{{\lambda }_0}(C)}\cap f_{{\lambda }_0}(X)\\ & ={\mathrm{cl}}_{f_{{\lambda }_0}(X)}(f_0(C))\\ & =f_0({\mathrm{cl}}_X(C))=f_0(C)=f_{{\lambda }_0}(C)\end{array}$$
    が成り立つので，$f_{{\lambda }_0}$の単射性より$x\in C$を得る．よって$f(x)\in f(C)$が成り立つ．

• $\prod f_{\bullet }=\mathrm{\Delta }((f_{\lambda }\circ p_{X_{\lambda }}{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }})$とおけばよい．
• 任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
  $$\begin{array}{rl}{p}_{Z_{\lambda }}\circ (\prod g_{\bullet }\circ \prod f_{\bullet })& =g_{\lambda }\circ p_{Y_{\lambda }}\circ \prod f_{\bullet }\\ & =g_{\lambda }\circ f_{\lambda }\circ p_{X_{\lambda }}\\ & =h_{\lambda }\circ p_{X_{\lambda }}\\ & =p_{Z_{\lambda }}\circ \prod h_{\bullet }\end{array}$$
  が成り立つので，補題1.1より結論を得る．
  $$\prod X_{\bullet }\prod f_{\bullet }\prod h_{\bullet }{p}_{X_{\lambda }}\prod Y_{\bullet }\prod g_{\bullet }{p}_{Y_{\lambda }}\prod Z_{\bullet }{p}_{Z_{\lambda }}{X}_{\lambda }{f}_{\lambda }{h}_{\lambda }{Y}_{\lambda }{g}_{\lambda }{Z}_{\lambda }$$

• $X=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda },Y=\prod _{\mu \in M}{Y}_{\mu }$とおく．
• $\mu \in M$とする．任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して$p_{\lambda }:(X,\tau (X))\to (X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })$は連続なので，積空間$(Y_{\mu },{\tau }_{\mu })$の普遍性より，連続写像$p_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}:(X,\tau (X))\to (Y_{\mu },{\tau }_{\mu })$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$X{p}_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}{p}_{\lambda }{Y}_{\mu }{p}_{\lambda }^{\mu }{X}_{\lambda }$$
  よって，積空間$(Y,\tau (Y))$の普遍性より，連続写像$f:(X,\tau (X))\to (Y,\tau (Y))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$Xf{p}_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}Y{p}_{Y_{\mu }}{Y}_{\mu }$$
• $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$とする．このとき$\mu (\lambda )\in M$であって$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu (\lambda )}$となるものがただ一つ存在する．そこで自然な射影の合成を$f_{\lambda }=p_{\lambda }^{\mu (\lambda )}\circ p_{Y_{\mu (\lambda )}}$とおくと
  $$f_{\lambda }:(Y,\tau (Y))\stackrel{p_{Y_{\mu (\lambda )}}}{\to }(Y_{\mu (\lambda )},{\tau }_{\mu (\lambda )})\stackrel{p_{\lambda }^{\mu (\lambda )}}{\to }(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })$$
  は連続である．よって，積空間$(X,\tau (X))$の普遍性より，連続写像$g:(Y,\tau (Y))\to (X,\tau (X))$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$Yg{f}_{\lambda }X{p}_{\lambda }{X}_{\lambda }$$
• いま，任意の$(\mu (\lambda ),\lambda )\in \coprod {\mathrm{\Lambda }}_{\bullet }$に対して
  $$p_{\lambda }\circ (g\circ f)=f_{\lambda }\circ f=p_{\lambda }^{\mu (\lambda )}\circ p_{Y_{\mu (\lambda )}}\circ f=p_{\lambda }^{\mu (\lambda )}\circ p_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu (\lambda )}}=p_{\lambda }=p_{\lambda }\circ {\mathrm{id}}_X$$
  が成り立つので，補題1.1より$g\circ f={\mathrm{id}}_X$を得る．
  $$Xg\circ f{\mathrm{id}}_X{p}_{\lambda }\prod X_{\bullet }{p}_{\lambda }{X}_{\lambda }$$
• また，$\mu \in M$とすると，任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して
  $$p_{\lambda }^{\mu }\circ (p_{Y_{\mu }}\circ f\circ g)=p_{\lambda }^{\mu }\circ p_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}\circ g=p_{\lambda }\circ g=f_{\lambda }=p_{\lambda }^{\mu }\circ p_{Y_{\mu }}$$
  となるので，補題1.1より$p_{Y_{\mu }}\circ (f\circ g)=p_{Y_{\mu }}=p_{Y_{\mu }}\circ {\mathrm{id}}_Y$が成り立つ．よって$f\circ g={\mathrm{id}}_Y$を得る．
  $$Y{p}_{Y_{\mu }}\circ f\circ g{p}_{Y_{\mu }}{p}_{\lambda }^{\mu }\circ p_{Y_{\mu }}{Y}_{\mu }{p}_{\lambda }^{\mu }Yf\circ g{\mathrm{id}}_Y{p}_{Y_{\mu }}\prod Y_{\bullet }{p}_{Y_{\mu }}{X}_{\lambda }{Y}_{\mu }$$

$\mathrm{\Lambda }$の分割として$(\{\phi (\lambda )\}{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を考えればよい．

$f$が開写像であることを示せばよい．${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathrm{\Lambda },U_i\in \tau (X_{{\lambda }_i})$とする．このとき
$$f(p_{X_{{\lambda }_1}}^{-1}(U_1)\cap \cdots \cap p_{X_{{\lambda }_n}}^{-1}(U_n))=\bigcap _{i\in [n]}{p}_{Y_{{\lambda }_i}}^{-1}(f_{{\lambda }_i}(U_i))\cap \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}}{p}_{Y_{\lambda }}^{-1}(f_{\lambda }(X_{\lambda }))$$
が成り立つ．仮定より有限個の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$を除いて$f_{\lambda }(X_{\lambda })=Y_{\lambda }$が成り立つので，右辺は$\prod Y_{\bullet }$の開集合である．

• 各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して，$(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })$と$(Y_{\phi (\lambda )},{\tau }_{\phi (\lambda )})$との同相を与える写像を$f_{\lambda }:X_{\lambda }\to Y_{\phi (\lambda )}$とする．
• このとき，命題14より$\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }:\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }\to \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\phi (\lambda )}$は全単射連続開写像ゆえ同相写像である．
• $\mathrm{\Lambda }$の分割$(\{{\phi }^{-1}(\mu )\}{)}_{\mu \in M}$を考えて，定理13より同相$\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\phi (\lambda )}\approx \prod _{\mu \in M}{Y}_{\mu }$を得る．