等長変換群の離散部分群と固有作用

• $\mathrm{id}:{\mathrm{Isom}}_p(X)\to {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$が連続であることを示せばよい．
• $f\in [K,V{]}^{\prime }$とする．
  • 各$x\in K$に対して，正数$r(x)>0$であって$B(x;r(x))\subset f^{-1}(V)$となるものが存在する．
  • $(B(x;r(x)/2){)}_{x\in K}$は$K$の開被覆であるから$x_1,\dots ,x_n\in K$であって$K\subset \bigcup B(x_i;r(x_i)/2)$となるものが存在する．
• 以下，$\bigcap [x_i,B(f(x_i);r(x_i)/2){]}^{\prime }\subset [K,V{]}^{\prime }$が成り立つことを示す．
  • $g\in \mathrm{LHS}$とする．任意の$x\in B(x_i;r(x_i)/2)\cap K$に対して
    $$\begin{array}{rl}d(g(x),f(x_i))& \le d(g(x),g(x_i))+d(g(x_i),f(x_i))\\ & =d(x,x_i)+d(g(x_i),f(x_i))\\ & <\frac{r(x_i)}{2}+\frac{r(x_i)}{2}=r(x_i)\end{array}$$
    より$g(x)\in B(f(x_i);r(x_i))=f(B(x_i;r(x_i)))\subset V$が成り立つ．
  • よって$g(K)\subset V$が成り立つ．

• 距離空間はハウスドルフなので${\mathrm{Isom}}_{co}(X)$はハウスドルフである．
• 仮定より$X$は局所コンパクトハウスドルフ空間であるから合成$(f,g)\mapsto f\circ g$および$\mathrm{ev}$は連続である．
• あとは$\iota :{\mathrm{Isom}}_p(X)\to {\mathrm{Isom}}_p(X);f\mapsto f^{-1}$が連続であることを示せばよい．
• $f^{-1}\in [x,V{]}^{\prime }$とする．
  • 正数$r>0$であって$B(f^{-1}(x);r)\subset V$となるものが存在する．
  • このとき$f\in [f^{-1}(x),B(x;r){]}^{\prime }$である．
  • また，$g\in [f^{-1}(x),B(x;r){]}^{\prime }$とすると
    $$d(g^{-1}(x),f^{-1}(x))=d(x,g(f^{-1}(x)))<r$$
    より$g^{-1}(x)\in B(f^{-1}(x);r)\subset V$となるので，$\iota ([f^{-1}(x),B(x;r){]}^{\prime })\subset [x,V{]}^{\prime }$が成り立つ．

1. 各点$x\in X$に対して$\bar{B}(x;1)$はそのコンパクト近傍である．
2. $x_0\in X$を取る．このとき$X=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bar{B}(x_0;n)$となるので，$X$は$\sigma$コンパクトである．
3. $\mathcal{U}$を$X$の開被覆とする．各$n\in \mathbb{N}$に対して$\mathcal{U}$は$\bar{B}(x_0;n)$の開被覆であるから有限部分被覆を持つ．それらを合わせることで可算部分被覆を得る．
4. Lindelöf距離空間は第2可算である（cf. [Dugundji,IX.5.6]）．

$X$が固有距離空間なので$C_{co}(X)$は第1可算であることに注意する（命題21）．
$f\in \overline{{\mathrm{Isom}}_{co}(X)}$とし，$f$に収束する${\mathrm{Isom}}_{co}(X)$の点列$(f_n{)}_n$を取る．$f\in {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$となることを示せばよい．

$f$が等長埋め込みであること

$x,y\in X$とする．いま$(f_n{)}_n$は$f$に各点収束しているので
$$d(f(x),f(y))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(f_n(x),f_n(y))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x,y)=d(x,y)$$
が成り立つ．

$f$が全射であること

• $x_0\in X$を取る．任意の$r>0$に対して$\bar{B}(f(x_0);r)\subset f(\bar{B}(x_0;2r))$が成り立つことを示せばよい．
• $r>0$とする．$\bar{B}(f(x_0);r)\not\subset f(\bar{B}(x_0;2r))$となったとすると，$y\in \bar{B}(f(x_0);r)\setminus f(\bar{B}(x_0;2r))$が取れる．
• $f(\bar{B}(x_0;2r))\subset X$はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合なので
  $$s:=\mathrm{dist}(y,f(\bar{B}(x_0;2r)))>0$$
  が定まる．$s\le d(y,f(x_0))\le r$に注意する．
• いま$f_n\underset{cpt}{\overset{}{\to }}f$であるから，コンパクト集合$\bar{B}(x_0;2r)$と正数$s>0$に対して，$n_0\in \mathbb{N}$であって
  $$\mathrm{\forall }x\in \bar{B}(x_0;2r),d(f_{n_0}(x),f(x))<s$$
  となるものが存在する．したがって
  $$d(y,f_{n_0}(x_0))\le d(y,f(x_0))+d(f(x_0),f_{n_0}(x_0))\le r+s\le 2r$$
  より$y\in \bar{B}(f_{n_0}(x_0);2r)=f_{n_0}(\bar{B}(x_0;2r))$となるので，$x\in \bar{B}(x_0;2r)$であって$y=f_{n_0}(x)$となるものが存在する．
• ところが，このとき
  $$s\le d(y,f(x))=d(f_{n_0}(x),f(x))<s$$
  となり不合理である．

$G={\mathrm{Isom}}_{co}(X)$とおく．
$K\subset X$をコンパクト集合とする．

• 写像族$G_K$は同程度連続である：任意の$x\in X,\epsilon >0$に対して$U=B(x;\epsilon )$とおくと，これは$x$の開近傍であり
  $$\mathrm{\forall }g\in G_K,g(U)=B(g(x);\epsilon )$$
  が成り立つ．
• 各$x\in X$に対して${\mathrm{ev}}_x(G_K)\subset X$は相対コンパクトである：$a\in K$を取る．任意の$g\in G_K$に対して，$b\in K$であって$g(b)\in K$となるものが存在するので
  $$\begin{array}{rl}d(a,g(x))& \le d(a,g(b))+d(g(b),g(a))+d(g(a),g(x))\\ & =d(a,g(b))+d(a,b)+d(a,x)\\ & \le 2\mathrm{diam}(K)+d(a,x)=:r\end{array}$$
  より，$g(x)\in \bar{B}(a;r)$が成り立つ．したがって${\mathrm{ev}}_x(G_K)\subset \bar{B}(a;r)$となるので結論を得る．

よってArzela-Ascoliの定理より$\overline{G_K}\subset C_{co}(X)$はコンパクトである．補題6より$G\subset C_{co}(X)$は閉集合なので，コンパクト空間$\overline{G_K}$の閉集合
$$G_K={\mathrm{cl}}_G(G_K)=\overline{G_K}\cap G$$
はコンパクトである．

$B\subset X$を有界集合とする．仮定より$\bar{B}\subset X$はコンパクトであり$G_B\subset G_{\bar{B}}$となるので$G_B\subset G$は相対コンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$\{g\in G|d(g(x),x)\le r\}=\{g\in G|g(x)\in B(x;r)\}\subset G_{B(x;r)}$より結論を得る．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

（$X\ne \varnothing$より）明らか．

(iii)$\Rightarrow$(i)

• $B\subset X$を有界集合とする．
• 正数$r>0$であって$B\subset B(x;r/2)$となるものが存在する．
• $g\in G_B$とする．
• $y\in B(x;r/2)$であって$g(y)\in B(x;r/2)$となるものが存在するので
  $$\begin{array}{rl}d(g(x),x)& \le d(g(x),g(y))+d(g(y),x)\\ & =d(x,y)+d(g(y),x)\\ & <\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r\end{array}$$
  が成り立つ．
• よって$G_B\subset \{g\in G|d(g(x),x)\le r\}$が成り立つ．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$x\in X$とする．仮定より$\tilde{\alpha }:G\times X\to X\times X$は完全写像であるから
$${\alpha }_x:G\approx G\times \{x\}\stackrel{{\tilde{\alpha }}^{X\times \{x\}}}{\to }X\times \{x\}\approx X$$
は完全写像である．よって

• $G_x={\alpha }_x^{-1}(x)\subset G$はコンパクト，したがって有限集合である；
• $G(x)={\alpha }_x(G)\subset X$は閉集合である．

また，${\alpha }_x(g)={\alpha }_x(h)\iff h^{-1}g\in G_x$より，${\alpha }_x$は単射完全写像$\overline{{\alpha }_x}:G/G_x\to X$を誘導する．よって$\overline{{\alpha }_x}:G/G_x\approx G(x)\subset X$は離散集合である．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

$x\in X$とする．$G(x)\subset X$が離散集合であることから，$r>0$であって$G(x)\cap B(x;r)=\{x\}$となるものが存在する．そこで$U=B(x;r/2)$とおく．$g\in G_U$とする．このとき$y\in U$であって$g(y)\in U$となるものが存在する．したがって
$$\begin{array}{rl}d(g(x),x)& \le d(g(x),g(y))+d(g(y),x)\\ & =d(x,y)+d(g(y),x)\\ & <\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r\end{array}$$
となるので，$g(x)\in G(x)\cap B(x;r)=\{x\}$，すなわち$g\in G_x$を得る．よって$G_U\subset G_x$より$G_U\subset G$は有限集合である．

(iii)$\Rightarrow$(i)

• $K\subset X$をコンパクト集合とする．
• 各$x\in K$に対して$r(x)>0$であって$G_{B(x;r(x))}\subset G$が有限集合となるものが存在する．$(B(x;r(x)/2){)}_{x\in K}$は$K$の開被覆であるから$x_1,\dots ,x_n\in K$であって$K\subset \bigcup B(x_i;r(x_i)/2)$となるものが存在する．
• 各$g\in G_K$に対して，$i=i(g),j=j(g)\in [n]$であって$g(B(x_i;r(x_i)/2))\cap B(x_j;r(x_j)/2)\ne \varnothing$となるものが存在する．したがって写像$\beta :G_K\to [n]\times [n]$が定まる．
• ここで$\mathrm{\#}{G}_K=\mathrm{\infty }$であったとすると，$(i,j)\in [n]\times [n]$であって$\mathrm{\#}{\beta }^{-1}(i,j)=\mathrm{\infty }$となるものが存在する．$g\in {\beta }^{-1}(i,j)\iff g^{-1}\in {\beta }^{-1}(j,i)$より$\mathrm{\#}{\beta }^{-1}(i,j)=\mathrm{\#}{\beta }^{-1}(j,i)$であるから，$r(x_j)\le r(x_i)$としてよい．
• $g\in {\beta }^{-1}(i,j)$とすると，$x\in B(x_i;r(x_i)/2)$であって$g(x)\in B(x_j;r(x_j)/2)$となるものが存在するので
  $$\begin{array}{rl}d(g(x_i),x_j)& \le d(g(x_i),g(x))+d(g(x),x_j)\\ & =d(x_i,x)+d(g(x),x_j)\\ & <\frac{r(x_i)}{2}+\frac{r(x_j)}{2}\\ & \le r(x_i)\end{array}$$
  より$x_j\in B(g(x_i);r(x_i))=g(B(x_i;r(x_i)))$を得る．
• よって任意の$f,g\in {\beta }^{-1}(i,j)$に対して，
  $$f^{-1}(x_j)\in f^{-1}(g(B_i)\cap f(B_i))=f^{-1}g(B_i)\cap B_i\ne \varnothing$$
  より$f^{-1}g\in G_{B_i}$が成り立つ（ただし$B_i=B(x_i;r(x_i))$とおいた）．
• これは$G_{B_i}\subset G$が有限集合であることに反する．

• $G$をハウスドルフ群とし$H<G$をその離散部分群とする．
• 単位元の開近傍$V\subset G$であって$V\cap H=\{e\}$となるものが存在する．
• $V^{-1}\cap H=(V\cap H{)}^{-1}=\{e\}$であるから，$U=V\cap V^{-1}$とおくと，これは$e$の開近傍であって$U\cap H=\{e\},U=U^{-1}$を満たす．
• $g\in \bar{H}$とする．
  • $gU\cap H\ne \varnothing$となるから$h\in gU\cap H$を取る．
  • このとき$g\in h{U}^{-1}=hU$であり，$h\in H$より$hU\cap H=h(U\cap H)=\{h\}$となる．
  • さて，もし$g\ne h$であるとすると，$hU\setminus \{h\}$は$g$の開近傍であるから
    $$\varnothing \ne (hU\setminus \{h\})\cap H=(hU\cap H)\setminus \{h\}=\varnothing$$
    となり不合理である．
• よって$g=h\in H$を得る．

ハウスドルフ空間への作用$\alpha :G\times X\to X,\mathrm{ev}:{\mathrm{Isom}}_{co}(X)\times X\to X$，位相群の準同型$\hat{\alpha }:G\to {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$，$\hat{\alpha }$同変完全写像${\mathrm{id}}_X:X\to X$に対して命題17を適用することで，$\hat{\alpha }$は完全写像であることがわかる．

1. このとき$\hat{\alpha }$は単射閉写像であるから，$\hat{\alpha }:G\approx \hat{\alpha }(G)\subset {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$が成り立つ．
2. 完全写像$\hat{\alpha }:G\to {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$は離散群からの単射完全写像$\bar{\hat{\alpha }}:G/\ker (\hat{\alpha })\to {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$を誘導する．よって
   $$G/\ker (\hat{\alpha })\approx \bar{\hat{\alpha }}(G/\ker (\hat{\alpha }))=\hat{\alpha }(G)\subset {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$$
   は離散集合である．

• 命題8，命題10より(i)から(iv)は（効果的とは限らない等長作用に関して）同値である．
• 補題3より(v)$\iff$(vi)である．
• 命題12より(ii)$\Rightarrow$(v)であるから，あとは(v)$\Rightarrow$(ii)を示せばよい．

(v)$\Rightarrow$(ii)

仮定より$\hat{\alpha }(G)\subset {\mathrm{Isom}}_{co}(X)$は閉集合であるから，固有作用$\mathrm{ev}$の閉部分群への制限$\mathrm{ev}:\hat{\alpha }(G)\times X\to X$はまた固有作用である．よって
$$\tilde{\alpha }:G\times X\approx \hat{\alpha }(G)\times X\stackrel{\widetilde{\mathrm{ev}}}{\to }X\times X$$
は固有写像である．

$x\in X$を取る．いま$G$の作用は距離的固有なので，各$n\in \mathbb{N}$に対して$\{g\in G|d(g(x),x)\le n\}\subset G$はコンパクト，したがって有限集合である．よって
$$G=\bigcup _n\{g\in G|d(g(x),x)\le n\}$$
は可算集合である．

1. 完全写像は固有写像であることと，閉写像の合成が閉写像であることからしたがう．
2. 任意の$z\in Z$に対して$g^{-1}(z)=f((g\circ f{)}^{-1}(z))\subset Y$はコンパクトである．また，任意の閉集合$C\subset Y$に対して$g(C)=(g\circ f)(f^{-1}(C))\subset Z$は閉集合である．
3. 任意の$y\in Y$に対して$f^{-1}(y)=(g\circ f{)}^{-1}(g(y))\subset X$はコンパクトである．また，任意の閉集合$C\subset X$に対して$f(C)=g^{-1}((g\circ f)(C))\subset Y$は閉集合である．

$f\times g$がBourbaki固有写像であることを示せばよい．
$Z$を位相空間とする．仮定より
$$f\times {\mathrm{id}}_{T\times Z}:X\times T\times Z\to Y\times T\times Z$$
及び
$${\mathrm{id}}_X\times g\times {\mathrm{id}}_Z:X\times S\times Z\approx S\times X\times Z\stackrel{g\times {\mathrm{id}}_{X\times Z}}{\to }T\times X\times Z\approx X\times T\times Z$$
は閉写像であるから，それらの合成
$$(f\times g)\times {\mathrm{id}}_Z=(f\times {\mathrm{id}}_{T\times Z})\circ ({\mathrm{id}}_X\times g\times {\mathrm{id}}_Z)$$
も閉写像である．

連続写像$\phi :X\to X\times Y$および$\psi :Y\to Z\times Y$をそれぞれ$\phi (x)=(x,f(x)),\psi (y)=(g(y),y)$で定める．このとき$Y$がハウスドルフであることから
$$\phi (X)=\{(x,y)\in X\times Y|p_Y(x,y)=f\circ p_X(x,y)\}\subset X\times Y$$
は閉集合である．したがって閉埋め込み$\phi$は完全写像である．また$(g\circ f)\times {\mathrm{id}}_Y$は完全写像であるから合成$\psi \circ f=((g\circ f)\times {\mathrm{id}}_Y)\circ \phi$は完全写像である．よって$\psi$の単射性より$f$が完全写像であることがしたがう．

以下の可換図式を考える：
$$G\times X\tilde{\alpha }\rho \times fX\times Xf\times f{G}^{\prime }\times X^{\prime }\widetilde{{\alpha }^{\prime }}{X}^{\prime }\times X^{\prime }$$
仮定より$G^{\prime }\times X^{\prime }$はハウスドルフ空間であって$\widetilde{{\alpha }^{\prime }}\circ (\rho \times f)=(f\times f)\circ \tilde{\alpha }$は完全写像であるから$\rho \times f$は完全写像である．よって
$$\rho :G\approx G\times \{x\}\stackrel{(\rho \times f{)}^{G^{\prime }\times \{f(x)\}}|G\times \{x\}}{\to }{G}^{\prime }\times \{f(x)\}\approx G^{\prime }$$
は完全写像である．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$f\ne g$とすると$x\in X$であって$f(x)\ne g(x)$となるものが存在する．仮定より$f(x),g(x)$の開近傍$U,V\subset Y$であって$U\cap V=\varnothing$となるものが存在する．このとき
$$f\in [x,U],g\in [x,V],[x,U]\cap [x,V]=\varnothing$$
が成り立つ．

(ii)$\Rightarrow$(i)

$Y$が$C_{co}(X,Y)$の部分空間と同相であることを示せばよい．各$y\in Y$に対して連続写像$c_y:X\to Y$を$c_y(x)=y$で定める．このとき$y\in V\iff c_y\in [K,V]$より
$$Y\to C_{co}(X,Y);y\mapsto c_y$$
は埋め込みである．

$f\circ g\in [K,W]$とする．

1. $f\in [g(K),W]$であり，任意の$h\in [g(K),W]$に対して$h\circ g\in [K,W]$が成り立つ．
2. $f^{-1}(W)\subset Y$はコンパクト集合$g(K)\subset Y$の開近傍であるから相対コンパクト開集合$V\subset Y$であって
   $$g(K)\subset V\subset \bar{V}\subset f^{-1}(W)$$
   となるものが存在する．このとき$(f,g)\in [\bar{V},W]\times [K,V]$であり$T([\bar{V},W]\times [K,V])\subset [K,W]$が成り立つ．

$X\approx C_{co}(\{\ast \},X),Y\approx C_{co}(\{\ast \},Y)$，および$\mathrm{ev}=T_{\{\ast \},X,Y}$よりしたがう．