等長変換群の離散部分群と固有作用

• $\id \colon \Isom_{p}(X) \to \Isom_{co}(X)$が連続であることを示せばよい．
• $f \in [K,V]'$とする．
  • 各$x \in K$に対して，正数$r(x) > 0$であって$B(x;r(x)) \subset f^{-1}(V)$となるものが存在する．
  • $(B(x;r(x)/2))_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって$K \subset \bigcup B(x_{i};r(x_{i})/2)$となるものが存在する．
• 以下，$\bigcap [x_{i},B(f(x_{i});r(x_{i})/2)]' \subset [K,V]'$が成り立つことを示す．
  • $g \in \mathrm{LHS}$とする．任意の$x \in B(x_{i};r(x_{i})/2) \cap K$に対して
    \begin{align} d(g(x),f(x_{i})) &\leq d(g(x),g(x_{i})) + d(g(x_{i}),f(x_{i}))\\ &= d(x,x_{i}) + d(g(x_{i}),f(x_{i}))\\ &< \frac{r(x_{i})}{2} + \frac{r(x_{i})}{2} = r(x_{i}) \end{align}
    より$g(x) \in B(f(x_{i});r(x_{i})) = f(B(x_{i};r(x_{i}))) \subset V$が成り立つ．
  • よって$g(K) \subset V$が成り立つ．

• 距離空間はハウスドルフなので$\Isom_{co}(X)$はハウスドルフである．
• 仮定より$X$は局所コンパクトハウスドルフ空間であるから合成$(f,g) \mapsto f \circ g$および$\ev$は連続である．
• あとは$\iota \colon \Isom_{p}(X) \to \Isom_{p}(X);\ f \mapsto f^{-1}$が連続であることを示せばよい．
• $f^{-1} \in [x,V]'$とする．
  • 正数$r > 0$であって$B(f^{-1}(x);r) \subset V$となるものが存在する．
  • このとき$f \in [f^{-1}(x),B(x;r)]'$である．
  • また，$g \in [f^{-1}(x),B(x;r)]'$とすると
    $$ d(g^{-1}(x),f^{-1}(x)) = d(x,g(f^{-1}(x))) < r$$
    より$g^{-1}(x) \in B(f^{-1}(x);r) \subset V$となるので，$\iota([f^{-1}(x),B(x;r)]') \subset [x,V]'$が成り立つ．

1. 各点$x \in X$に対して$\overline{B}(x;1)$はそのコンパクト近傍である．
2. $x_{0} \in X$を取る．このとき$X = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{B}(x_{0};n)$となるので，$X$は$\sigma$コンパクトである．
3. $\mathcal{U}$を$X$の開被覆とする．各$n \in \mathbb{N}$に対して$\mathcal{U}$は$\overline{B}(x_{0};n)$の開被覆であるから有限部分被覆を持つ．それらを合わせることで可算部分被覆を得る．
4. Lindelöf距離空間は第2可算である（cf. [Dugundji,IX.5.6]）．

$X$が固有距離空間なので$C_{co}(X)$は第1可算であることに注意する（命題21）．
$f \in \overline{\Isom_{co}(X)}$とし，$f$に収束する$\Isom_{co}(X)$の点列$(f_{n})_{n}$を取る．$f \in \Isom_{co}(X)$となることを示せばよい．

$f$が等長埋め込みであること

$x,y \in X$とする．いま$(f_{n})_{n}$は$f$に各点収束しているので
$$ d(f(x),f(y)) = \lim_{n \to \infty} d(f_{n}(x),f_{n}(y)) = \lim_{n \to \infty} d(x,y) = d(x,y)$$
が成り立つ．

$f$が全射であること

• $x_{0} \in X$を取る．任意の$r > 0$に対して$\overline{B}(f(x_{0});r) \subset f(\overline{B}(x_{0};2r))$が成り立つことを示せばよい．
• $r > 0$とする．$\overline{B}(f(x_{0});r) \not\subset f(\overline{B}(x_{0};2r))$となったとすると，$y \in \overline{B}(f(x_{0});r) \smallsetminus f(\overline{B}(x_{0};2r))$が取れる．
• $f(\overline{B}(x_{0};2r)) \subset X$はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合なので
  $$ s := \mathrm{dist}(y,f(\overline{B}(x_{0};2r))) > 0$$
  が定まる．$s \leq d(y,f(x_{0})) \leq r$に注意する．
• いま$f_{n} \xrightarrow[cpt]{} f$であるから，コンパクト集合$\overline{B}(x_{0};2r)$と正数$s > 0$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
  $$ \forall x \in \overline{B}(x_{0};2r),\ d(f_{n_{0}}(x),f(x)) < s$$
  となるものが存在する．したがって
  $$ d(y,f_{n_{0}}(x_{0})) \leq d(y,f(x_{0})) + d(f(x_{0}),f_{n_{0}}(x_{0})) \leq r + s \leq 2r$$
  より$y \in \overline{B}(f_{n_{0}}(x_{0});2r) = f_{n_{0}}(\overline{B}(x_{0};2r))$となるので，$x \in \overline{B}(x_{0};2r)$であって$y = f_{n_{0}}(x)$となるものが存在する．
• ところが，このとき
  $$ s \leq d(y,f(x)) = d(f_{n_{0}}(x),f(x)) < s$$
  となり不合理である．

$G = \Isom_{co}(X)$とおく．
$K \subset X$をコンパクト集合とする．

• 写像族$G_{K}$は同程度連続である：任意の$x \in X, \varepsilon > 0$に対して$U = B(x;\varepsilon)$とおくと，これは$x$の開近傍であり
  $$ \forall g \in G_{K},\ g(U) = B(g(x);\varepsilon)$$
  が成り立つ．
• 各$x \in X$に対して$\ev_{x}(G_{K}) \subset X$は相対コンパクトである：$a \in K$を取る．任意の$g \in G_{K}$に対して，$b \in K$であって$g(b) \in K$となるものが存在するので
  \begin{align} d(a,g(x)) &\leq d(a,g(b)) + d(g(b),g(a)) + d(g(a),g(x))\\ &= d(a,g(b)) + d(a,b) + d(a,x)\\ &\leq 2 \mathrm{diam}(K) + d(a,x) =: r \end{align}
  より，$g(x) \in \overline{B}(a;r)$が成り立つ．したがって$\ev_{x}(G_{K}) \subset \overline{B}(a;r)$となるので結論を得る．

よってArzela-Ascoliの定理より$\overline{G_{K}} \subset C_{co}(X)$はコンパクトである．補題6より$G \subset C_{co}(X)$は閉集合なので，コンパクト空間$\overline{G_{K}}$の閉集合
$$ G_{K} = \mathrm{cl}_{G}(G_{K}) = \overline{G_{K}} \cap G$$
はコンパクトである．

$B \subset X$を有界集合とする．仮定より$\overline{B} \subset X$はコンパクトであり$G_{B} \subset G_{\overline{B}}$となるので$G_{B} \subset G$は相対コンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$\{g \in G\ |\ d(g(x),x) \leq r\} = \{g \in G\ |\ g(x) \in B(x;r)\} \subset G_{B(x;r)}$より結論を得る．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

（$X \neq \varnothing$より）明らか．

(iii)$\Rightarrow$(i)

• $B \subset X$を有界集合とする．
• 正数$r > 0$であって$B \subset B(x;r/2)$となるものが存在する．
• $g \in G_{B}$とする．
• $y \in B(x;r/2)$であって$g(y) \in B(x;r/2)$となるものが存在するので
  \begin{align} d(g(x),x) &\leq d(g(x),g(y)) + d(g(y),x)\\ &= d(x,y) + d(g(y),x)\\ &< \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r \end{align}
  が成り立つ．
• よって$G_{B} \subset \{g \in G\ |\ d(g(x),x) \leq r\}$が成り立つ．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$x \in X$とする．仮定より$\tilde{\alpha} \colon G \times X \to X \times X$は完全写像であるから
$$ \alpha_{x} \colon G \approx G \times \{x\} \xrightarrow{\tilde{\alpha}^{X \times \{x\}}} X \times \{x\} \approx X$$
は完全写像である．よって

• $G_{x} =\alpha_{x}^{-1}(x) \subset G$はコンパクト，したがって有限集合である；
• $G(x) = \alpha_{x}(G) \subset X$は閉集合である．

また，$\alpha_{x}(g) = \alpha_{x}(h) \Leftrightarrow h^{-1}g \in G_{x}$より，$\alpha_{x}$は単射完全写像$\overline{\alpha_{x}} \colon G/G_{x} \to X$を誘導する．よって$\overline{\alpha_{x}} \colon G/G_{x} \approx G(x) \subset X$は離散集合である．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

$x \in X$とする．$G(x) \subset X$が離散集合であることから，$r > 0$であって$G(x) \cap B(x;r) = \{x\}$となるものが存在する．そこで$U = B(x;r/2)$とおく．$g \in G_{U}$とする．このとき$y \in U$であって$g(y) \in U$となるものが存在する．したがって
\begin{align} d(g(x),x) &\leq d(g(x),g(y)) + d(g(y),x)\\ &= d(x,y) + d(g(y),x)\\ &< \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r \end{align}
となるので，$g(x) \in G(x) \cap B(x;r) = \{x\}$，すなわち$g \in G_{x}$を得る．よって$G_{U} \subset G_{x}$より$G_ {U} \subset G$は有限集合である．

(iii)$\Rightarrow$(i)

• $K \subset X$をコンパクト集合とする．
• 各$x \in K$に対して$r(x) > 0$であって$G_{B(x;r(x))} \subset G$が有限集合となるものが存在する．$(B(x;r(x)/2))_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって$K \subset \bigcup B(x_{i};r(x_{i})/2)$となるものが存在する．
• 各$g \in G_{K}$に対して，$i = i(g), j = j(g) \in [n]$であって$g(B(x_{i};r(x_{i})/2)) \cap B(x_{j};r(x_{j})/2) \neq \varnothing$となるものが存在する．したがって写像$\beta \colon G_{K} \to [n] \times [n]$が定まる．
• ここで$\# G_{K} = \infty$であったとすると，$(i,j) \in [n] \times [n]$であって$\# \beta^{-1}(i,j) = \infty$となるものが存在する．$g \in \beta^{-1}(i,j) \Leftrightarrow g^{-1} \in \beta^{-1}(j,i)$より$\# \beta^{-1}(i,j) = \# \beta^{-1}(j,i)$であるから，$r(x_{j}) \leq r(x_{i})$としてよい．
• $g \in \beta^{-1}(i,j)$とすると，$x \in B(x_{i};r(x_{i})/2)$であって$g(x) \in B(x_{j};r(x_{j})/2)$となるものが存在するので
  \begin{align} d(g(x_{i}),x_{j}) &\leq d(g(x_{i}),g(x)) + d(g(x),x_{j})\\ &= d(x_{i},x) + d(g(x),x_{j})\\ &< \frac{r(x_{i})}{2} + \frac{r(x_{j})}{2}\\ &\leq r(x_{i}) \end{align}
  より$x_{j} \in B(g(x_{i});r(x_{i})) = g(B(x_{i};r(x_{i})))$を得る．
• よって任意の$f,g \in \beta^{-1}(i,j)$に対して，
  $$ f^{-1}(x_{j}) \in f^{-1}(g(B_{i}) \cap f(B_{i})) = f^{-1}g(B_{i}) \cap B_{i} \neq \varnothing$$
  より$f^{-1} g \in G_{B_{i}}$が成り立つ（ただし$B_{i} = B(x_{i};r(x_{i}))$とおいた）．
• これは$G_{B_{i}} \subset G$が有限集合であることに反する．

• $G$をハウスドルフ群とし$H < G$をその離散部分群とする．
• 単位元の開近傍$V \subset G$であって$V \cap H = \{e\}$となるものが存在する．
• $V^{-1} \cap H = (V \cap H)^{-1} = \{e\}$であるから，$U = V \cap V^{-1}$とおくと，これは$e$の開近傍であって$U \cap H = \{e\}, U = U^{-1}$を満たす．
• $g \in \overline{H}$とする．
  • $gU \cap H \neq \varnothing$となるから$h \in gU \cap H$を取る．
  • このとき$g \in hU^{-1} = hU$であり，$h \in H$より$hU \cap H = h(U \cap H) = \{h\}$となる．
  • さて，もし$g \neq h$であるとすると，$hU \smallsetminus \{h\}$は$g$の開近傍であるから
    $$ \varnothing \neq (hU \smallsetminus \{h\}) \cap H = (hU \cap H) \smallsetminus \{h\} = \varnothing$$
    となり不合理である．
• よって$g = h \in H$を得る．

ハウスドルフ空間への作用$\alpha \colon G \times X \to X, \ev \colon \Isom_{co}(X) \times X \to X$，位相群の準同型$\hat{\alpha} \colon G \to \Isom_{co}(X)$，$\hat{\alpha}$同変完全写像$\id_{X} \colon X \to X$に対して命題17を適用することで，$\hat{\alpha}$は完全写像であることがわかる．

1. このとき$\hat{\alpha}$は単射閉写像であるから，$\hat{\alpha} \colon G \approx \hat{\alpha}(G) \subset \Isom_{co}(X)$が成り立つ．
2. 完全写像$\hat{\alpha} \colon G \to \Isom_{co}(X)$は離散群からの単射完全写像$\overline{\hat{\alpha}} \colon G/\ker(\hat{\alpha}) \to \Isom_{co}(X)$を誘導する．よって
   $$ G/\ker(\hat{\alpha}) \approx \overline{\hat{\alpha}}(G/\ker(\hat{\alpha})) = \hat{\alpha}(G) \subset \Isom_{co}(X)$$
   は離散集合である．

• 命題8，命題10より(i)から(iv)は（効果的とは限らない等長作用に関して）同値である．
• 補題3より(v)$\Leftrightarrow$(vi)である．
• 命題12より(ii)$\Rightarrow$(v)であるから，あとは(v)$\Rightarrow$(ii)を示せばよい．

(v)$\Rightarrow$(ii)

仮定より$\hat{\alpha}(G) \subset \Isom_{co}(X)$は閉集合であるから，固有作用$\ev$の閉部分群への制限$\ev \colon \hat{\alpha}(G) \times X \to X$はまた固有作用である．よって
$$ \tilde{\alpha} \colon G \times X \approx \hat{\alpha}(G) \times X \xrightarrow{\widetilde{\ev}} X \times X$$
は固有写像である．

$x \in X$を取る．いま$G$の作用は距離的固有なので，各$n \in \mathbb{N}$に対して$\{g \in G\ |\ d(g(x),x) \leq n\} \subset G$はコンパクト，したがって有限集合である．よって
$$ G = \bigcup_{n} \{g \in G\ |\ d(g(x),x) \leq n\}$$
は可算集合である．

1. 完全写像は固有写像であることと，閉写像の合成が閉写像であることからしたがう．
2. 任意の$z \in Z$に対して$g^{-1}(z) = f((g \circ f)^{-1}(z)) \subset Y$はコンパクトである．また，任意の閉集合$C \subset Y$に対して$g(C) = (g \circ f)(f^{-1}(C)) \subset Z$は閉集合である．
3. 任意の$y \in Y$に対して$f^{-1}(y) = (g \circ f)^{-1}(g(y)) \subset X$はコンパクトである．また，任意の閉集合$C \subset X$に対して$f(C) = g^{-1}((g \circ f)(C)) \subset Y$は閉集合である．

$f \times g$がBourbaki固有写像であることを示せばよい．
$Z$を位相空間とする．仮定より
$$ f \times \id_{T \times Z} \colon X \times T \times Z \to Y \times T \times Z$$
及び
$$ \id_{X} \times g \times \id_{Z} \colon X \times S \times Z \approx S \times X \times Z \xrightarrow{g \times \id_{X \times Z}} T \times X \times Z \approx X \times T \times Z $$
は閉写像であるから，それらの合成
$$ (f \times g) \times \id_{Z} = (f \times \id_{T \times Z}) \circ (\id_{X} \times g \times \id_{Z})$$
も閉写像である．

連続写像$\varphi \colon X \to X \times Y$および$\psi \colon Y \to Z \times Y$をそれぞれ$\varphi(x) = (x,f(x)),\ \psi(y) = (g(y),y)$で定める．このとき$Y$がハウスドルフであることから
$$ \varphi(X) = \{(x,y) \in X \times Y\ |\ p_{Y}(x,y) = f \circ p_{X}(x,y)\} \subset X \times Y$$
は閉集合である．したがって閉埋め込み$\varphi$は完全写像である．また$(g \circ f) \times \id_{Y}$は完全写像であるから合成$\psi \circ f = ((g\circ f) \times \id_{Y}) \circ \varphi$は完全写像である．よって$\psi$の単射性より$f$が完全写像であることがしたがう．

以下の可換図式を考える：
$$ \xymatrix{ {G \times X} \ar[r]^{\tilde{\alpha}} \ar[d]_{\rho \times f} & {X \times X} \ar[d]^{f \times f}\\ {G' \times X'} \ar[r]_{\tilde{\alpha'}} & {X' \times X'} }$$
仮定より$G' \times X'$はハウスドルフ空間であって$\tilde{\alpha'} \circ (\rho \times f) = (f \times f) \circ \tilde{\alpha}$は完全写像であるから$\rho \times f$は完全写像である．よって
$$ \rho \colon G \approx G \times \{x\} \xrightarrow{(\rho \times f)^{G' \times \{f(x)\}}|G \times \{x\}} G' \times \{f(x)\} \approx G' $$
は完全写像である．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$f \neq g$とすると$x \in X$であって$f(x) \neq g(x)$となるものが存在する．仮定より$f(x),g(x)$の開近傍$U,V \subset Y$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．このとき
$$ f \in [x,U],\ g \in [x,V],\ [x,U] \cap [x,V] = \varnothing$$
が成り立つ．

(ii)$\Rightarrow$(i)

$Y$が$C_{co}(X,Y)$の部分空間と同相であることを示せばよい．各$y \in Y$に対して連続写像$c_{y} \colon X \to Y$を$c_{y}(x) = y$で定める．このとき$y \in V \Leftrightarrow c_{y} \in [K,V]$より
$$ Y \to C_{co}(X,Y);\ y \mapsto c_{y}$$
は埋め込みである．

$f \circ g \in [K,W]$とする．

1. $f \in [g(K),W]$であり，任意の$h \in [g(K),W]$に対して$h \circ g \in [K,W]$が成り立つ．
2. $f^{-1}(W) \subset Y$はコンパクト集合$g(K) \subset Y$の開近傍であるから相対コンパクト開集合$V \subset Y$であって
   $$ g(K) \subset V \subset \overline{V} \subset f^{-1}(W)$$
   となるものが存在する．このとき$(f,g) \in [\overline{V},W] \times [K,V]$であり$T([\overline{V},W] \times [K,V]) \subset [K,W]$が成り立つ．

$X \approx C_{co}(\{\ast\},X),\ Y \approx C_{co}(\{\ast\},Y)$，および$\ev = T_{\{\ast\},X,Y}$よりしたがう．

1. $x \in X,\ \hat{\alpha}(x) \in [K,W]$とする．このとき$\alpha^{-1}(W) \subset X \times Y$は$\{x\} \times K$の開近傍なので$x$の開近傍$U \subset X$であって$U \times K \subset \alpha^{-1}(W)$となるものが存在する．したがって$U \subset \hat{\alpha}^{-1}([K,W])$が成り立つ．
2. 仮定より$\ev \colon C_{co}(Y,Z) \times Y \to Z$は連続なので
   $$ \alpha \colon X \times Y \xrightarrow{\hat{\alpha} \times \id_{Y}} C_{co}(Y,Z) \times Y \xrightarrow{\ev} Z$$
   は連続である．

• $\{U_{n}\ |\ n \in \mathbb{N}\}$を相対コンパクト開集合からなる$X$の開基，$\{V_{m}\ |\ m \in \mathbb{N}\}$を$Y$の開基とする．このとき$\mathcal{S} := \left\{\left[\overline{U_{n}}, V_ {m}\right]\ |\ n,m \in \mathbb{N}\right\}$が$C_{co}(X,Y)$の準開基となることを示す．
• $f \in [K,V]$とする．
• 各$x \in K$に対して，$f(x) \in V$より$m(x) \in \mathbb{N}$であって
  $$ f(x) \in V_{m(x)} \subset V$$
  となるものが存在する．いま$X$は局所コンパクトハウスドルフなので，$x$の開近傍$f^{-1}(V_{m(x)})$に対して，$x$の相対コンパクト開近傍$U(x) \subset X$であって
  $$ \overline{U(x)} \subset f^{-1}(V_{m(x)})$$
  となるものが存在する．$\{U_{n}\ |\ n \in \mathbb{N}\}$は$X$の開基であるから，$n(x) \in \mathbb{N}$であって
  $$ x \in U_{n(x)} \subset U(x)$$
  となるものが存在する．
• $(U_{n(x)})_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから$x_{1},\ldots,x_{k} \in K$であって$K \subset \bigcup U_{n(x_{i})}$となるものが存在する．
• 各$i \in [k]$に対して
  $$ \overline{U_{n(x_{i})}} \subset \overline{U(x_{i})} \subset f^{-1}(V_{m(x_{i})})$$
  となるので，$f \in \bigcap \left[\overline{U_{n(x_{i})}},V_{m(x_{i})}\right]$が成り立つ．また，任意の$g \in \bigcap \left[\overline{U_{n(x_{i})}},V_{m(x_{i})}\right]$に対して
  $$ g(K) \subset \bigcup g\left(\overline{U_{n(x_{i})}}\right) \subset \bigcup V_{m(x_{i})} \subset V$$
  より$g \in [K,V]$が成り立つ．
• 以上より
  $$ f \in \bigcap \left[\overline{U_{n(x_{i})}},V_{m(x_{i})}\right] \subset [K,V]$$
  が成り立つ．
• 可算集合$\mathcal{S}$の有限部分集合全体のなす集合は可算集合なので結論を得る．

$x_{0} \in K, \varepsilon > 0$とする．仮定より$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
$$ \forall x \in K,\ d(f(x),f_{n_{0}}(x)) < \frac{\varepsilon}{3}$$
となるものが存在する．このとき任意の$x \in f_{n_{0}}^{-1}(B(f_{n_{0}}(x_{0});\varepsilon/3)) \cap K$に対して
\begin{align} d(f(x),f(x_{0})) &\leq d(f(x),f_{n_{0}}(x)) + d(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(x_{0})) + d(f_{n_{0}}(x_{0}),f(x_{0}))\\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{align}
が成り立つ．

$U_{1} \subset X$はコンパクト集合$X \smallsetminus (U_{2} \cup \cdots \cup U_{n}) \subset X$の開近傍であるから，開集合$V_{1} \subset X$であって
$$ X \smallsetminus (U_{2} \cup \cdots \cup U_{n}) \subset V_{1} \subset \overline{V_{1}} \subset U_{1}$$
となるものが存在する．このとき$(V_{1},U_{2},\ldots,U_{n})$はまた$X$の開被覆であるから，$i = 2,\ldots,n$に対しても同様に$U_{i}$を$V_{i}$で置き換えていけばよい．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$K \subset X$をコンパクト集合とし$\varepsilon > 0$とする．各$x \in K$に対してその開近傍$U(x) \subset X$であって$U(x) \subset f^{-1}(B(f(x);\varepsilon/2))$となるものが存在する．$(U(x))_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって$K \subset \bigcup U(x_{i})$となるものが存在する．コンパクトハウスドルフ空間$K$の有限開被覆$(U(x_{i}) \cap K)_{i}$に対して補題23を適用することでコンパクト集合$K_{i} \subset K$であって$K = \bigcup K_{i}$となるものを得る．このとき$f \in \bigcap [K_{i},B(f(x_{i});\varepsilon/2)] =: W$であるから，正整数$N$であって
$$ \forall n > N, f_{n} \in W$$
となるものが存在する．$n > N, x \in K_{i}$とすると$f_{n}(x) \in B(f(x_{i});\varepsilon/2)$より
$$ d(f(x),f_{n}(x)) \leq d(f(x),f(x_{i})) + d(f(x_{i}),f_{n}(x)) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
となる．

(ii)$\Rightarrow$(i)

$f \in [K,V]$とする．$K \subset X$はコンパクト，$Y \smallsetminus V \subset Y$は閉集合であり$f(K) \cap (Y \smallsetminus V) = \varnothing$であるから正数$\varepsilon := \mathrm{dist}(f(K),Y \smallsetminus V) > 0$が定まる．したがって正整数$N = N(K,\varepsilon)$が存在する．$n > N$とする．このとき各$x \in K$に対して$d(f(x),f_{n}(x)) < \varepsilon$より$f_{n}(x) \in V$を得る．したがって$f_{n} \in [K,V]$が成り立つ．

$\mathcal{F}' = \mathrm{cl}_{\prod_{x} Y}(\mathcal{F}) \subset \prod_{x \in X} Y$とおく．

• $\mathcal{F} \subset \prod_{x \in X} \ev_{x}(\mathcal{F})$より$\mathcal{F}'$はコンパクト空間$\prod_{x \in X} \overline{\ev_{x}(\mathcal{F})}$の閉部分集合であるからコンパクトである．
• つぎに$\mathcal{F}' \subset C(X,Y)$を示す．
  • $f' \in \mathcal{F}'$とする．
  • $x_{0} \in X, \varepsilon > 0$とする．仮定より$x_{0}$の開近傍$U(x_{0}) \subset X$であって
    $$ \forall f \in \mathcal{F},\ f(U(x_{0})) \subset B(f(x_{0});\varepsilon/3)$$
    となるものが存在する．このとき$f'(U(x_{0})) \subset B(f'(x_{0});\varepsilon)$が成り立つことを示す．
  • $x \in U(x_{0})$とする．
    $$ V_{x} = p_{x}^{-1}(B(f'(x);\varepsilon/3)) \cap p_{x_{0}}^{-1}(B(f'(x_{0});\varepsilon/3)) \subset \prod Y$$
    とおくと，これは$f'$の開近傍であるから$f \in \mathcal{F} \cap V_{x}$が取れる．したがって
    \begin{align} d(f'(x),f'(x_{0})) &\leq d(f'(x),f(x)) + d(f(x),f(x_{0})) + d(f(x_{0}),f'(x_{0}))\\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{align}
    が成り立つ．
  • よって$f' \in C(X,Y)$となる．
  • $U(x_{0})$は$f'$に依らずに取れていたことに注意すると，$\mathcal{F}' \subset C(X,Y)$が同程度連続であることがわかる．
• 最後に$\id \colon \mathcal{F}'_{co} \approx \mathcal{F}'_{p}$を示す．
  • $f' \in [K,V] \cap \mathcal{F}'$とする．$\varepsilon = \mathrm{dist}(f'(K),Y \smallsetminus V) > 0$とおく．
  • $\mathcal{F}'$の同等連続性より，各$x \in K$に対してその開近傍$U(x) \subset X$であって
    $$ \forall g' \in \mathcal{F}',\ g'(U(x)) \subset B(g'(x);\varepsilon/3)$$
    となるものが存在する．$(U(x))_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって$K \subset \bigcup U(x_{i})$となるものが存在する．
  • このとき$\bigcap [x_{i},B(f'(x_{i});\varepsilon/3)] \cap \mathcal{F}' \subset [K,V] \cap \mathcal{F}'$となることを示す．
  • $g' \in \mathrm{LHS}$とする．任意の$x \in U(x_{i}) \cap K$に対して
    \begin{align} d(f'(x),g'(x)) &\leq d(f'(x),f'(x_{i})) + d(f'(x_{i}),g'(x_{i})) + d(g'(x_{i}),g'(x))\\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \\ &= \mathrm{dist}(f'(K),Y \smallsetminus V) \end{align}
    より$g'(x) \in V$が成り立つ．
  • よって$g'(K) \subset V$が成り立つ．
• 以上より，コンパクト集合$\mathcal{F}'_{co} \subset C_{co}(X,Y)$の部分集合$\mathcal{F}_{co} \subset C_{co}(X,Y)$は相対コンパクトである（$C_{co}(X,Y)$がハウスドルフであることに注意する）．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$(x_{n})_{n}$を$X$の点列とする．各$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ F_{n} = \overline{\{x_{m}\ |\ m \geq n\}}$$
とおく．これらは空でない$X$の閉集合であり$F_{n+1} \subset F_{n}$を満たす．したがって$\bigcap F_{n} \neq \varnothing$が成り立つ．そこで$x \in \bigcap F_{n}$を取る．いま$X$は第1可算空間なので$x$の可算近傍基$\{U_{n}\ |\ n \in \mathbb{N}\}$が取れる．必要なら$U_{n}$を$U_{1} \cap \cdots \cap U_{n}$で置き換えることで$U_{n+1} \subset U_{n}$としてよい．このとき次のようにして$x$に収束する部分列$(x_{n_{k}})_{k}$が得られる：

• $n_{0} = 0$とおく；
• $k > 0$のとき，$x \in F_{n_{k-1}+1}$より$U_{k} \cap \{x_{m}\ |\ m > n_{k-1}\} \neq \varnothing$であるから$n_{k} := \min \{m \in \mathbb{N} \ |\ m > n_{k-1}, x_{m} \in U_{k}\}$が定まる．

(ii)$\Rightarrow$(i)

第2可算空間はLindelöfなので，$X$が可算コンパクトであることを示せばよい．そこで$X$が可算コンパクトでないと仮定する．このとき$X$の可算開被覆$(U_{n})_{n}$であって有限部分被覆を持たないものが存在する．したがって各$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ x_{n} \in X \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} U_{i}$$
が取れる．ところで任意の$x \in X$に対して，$n \in \mathbb{N}$であって$x \in U_{n}$となるものが存在するので
$$ U_{n} \cap \{x_{m}\ |\ m \geq n\} = \varnothing$$
が成り立つことになり，点列$(x_{n})_{n}$は収束部分列を持ち得ない．