固有作用とその周辺

• $f \colon X \to Y$をコンパクト生成ハウスドルフ空間$Y$への固有連続写像とする．
• このとき$f$が閉写像であることを示せばよい．
• そこで$C \subset X$を閉集合とする．
  • $K \subset Y$をコンパクト集合とする．
  • 仮定より$f^{-1}(K) \subset X$はコンパクトであるから，$C \cap f^{-1}(K) \subset f^{-1}(K)$はコンパクト集合の閉集合ゆえコンパクトである．
  • したがって$f$の連続性より
    $$ f(C) \cap K = f(C \cap f^{-1}(K)) \subset K$$
    はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．
• よって$f(C) \subset Y$は閉集合である．

1. $g \in G$とする．
   $$ \alpha_{g} \circ \alpha_{g^{-1}} = \alpha_{g^{-1}g} = \alpha_{e} = 1_{X} = \alpha_{g^{-1}} \circ \alpha_{g}$$
   より$\alpha_{g}^{-1} = \alpha_{g^{-1}}$が成り立つ．
2. $x \in X$とし，連続写像$\alpha_{x} \colon G \to X$を$\alpha_{x}(g) = x \cdot g$で定める．このとき$G_{x} = \alpha_{x}^{-1}(x) \subset G$は閉集合$\{x\} \subset X$の連続写像による逆像ゆえ閉集合である．

1. 各$h \in H$に対して，命題4より$U \cdot h = \alpha_{h}(U) \subset X$は開集合であるから
   $$ U \cdot H = \bigcup_{h \in H} U \cdot h \subset X$$
   は開集合である．
2. $K \cdot L$はコンパクト集合$K \times L$の連続像なのでコンパクトである．

1. $\alpha \mid X \times K$は同相写像
   $$ X \times K \to X \times K;\ (x,g) \mapsto (x \cdot g,g)$$
   （逆写像は$(x,g) \mapsto (x \cdot g^{-1},g)$）と完全写像$p_{X} \colon X \times K \to X$の合成ゆえ完全写像である．
2. $C \times K \subset X \times K$は閉集合なので$C \cdot K = (\alpha \mid X \times K)(C \times K) \subset X$は閉集合である．

1. \begin{align} g \in G_{A,B} &\Leftrightarrow A \cap B \cdot g \neq \varnothing\\ &\Leftrightarrow \exists b \in B,\ (b,g) \in \alpha^{-1}(A)\\ &\Leftrightarrow g \in p_{G}(\alpha^{-1}(A) \cap (B \times G)) \end{align}
2. $C \subset X$を閉集合，$K \subset X$をコンパクト集合とする．このとき$\alpha^{-1}(C) \cap (K \times G) \subset K \times G$は閉集合，$p_{G} \colon K \times G \to G$は閉写像なので
   $$ G_{C,K} = p_{G}(\alpha^{-1}(C) \cap (K \times G)) \subset G$$
   は閉集合である．
3. (ii)より明らか．

$U \subset X$を開集合とする．補題5より$\pi^{-1}(\pi(U)) = U \cdot G \subset X$は開集合であるから$\pi(U) \subset X/G$は開集合である．

1. $y \in X/G$とする．$x \in \pi^{-1}(y)$としそのコンパクト近傍を$K \subset X$とする．このとき，$\pi(K) \subset X/G$はコンパクトであり，命題8より
   $$ y = \pi(x) \in \pi(\mathrm{int}(K)) \subset \mathrm{int}(\pi(K))$$
   が成り立つ．よって$\pi(K)$は$y$のコンパクト近傍である．
2. コンパクト集合$L \subset X/G$の各点$y \in L$に対して，$\pi^{-1}(y)$の点をひとつ取りそのコンパクト近傍を$K(y) \subset X$とすると，(i)（の証明）より$\pi(K(y)) \subset X/G$は$y$のコンパクト近傍である．いま$(\pi(\mathrm{int}(K(y))))_{y \in L}$は$L \subset X/G$の開被覆であるから，有限個の点$y_{1},\ldots,y_{n} \in L$であって$L \subset \bigcup_{i} \pi(\mathrm{int}(K(y_{i})))$となるものが存在する．仮定より$L \subset X/G$が閉集合であることに注意すると
   $$ K := \left(\bigcup_{i}K(y_{i})\right) \cap \pi^{-1}(L)$$
   はコンパクト空間$\bigcup K(y_{i})$の閉集合ゆえコンパクトであり$\pi(K) = \pi(\bigcup K(y_{i})) \cap L = L$が成り立つ．

1. $X/G = \pi(X) = \pi(K \cdot G) = \pi(K)$より$X/G$はコンパクトである．
2. 命題10よりコンパクト集合$K \subset X$であって$\pi(K) = X/G$となるものが存在する．
3. 各$x \in X$に対してその相対コンパクト近傍$N(x) \subset X$を取り$U(x) = \mathrm{int}(N(x)),\ V(x) = \pi(U(x)) \subset X/G$とおく．このとき$(V(x))_{x \in X}$は$X/G$の開被覆であるから，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in X$であって$X/G = \bigcup V(x_{i}) = \pi(\bigcup U(x_{i}))$となるものが存在する．そこで$K = \bigcup \overline{U(x_{i})} \subset X$とおくと，これはコンパクトであって$\pi(K) = X/G$が成り立つ．

1. 仮定より$\tilde{\alpha} \colon X \times G \to X \times X$は固有写像なので，
   $$ \alpha_{x} \colon G \approx \{x\} \times G \xrightarrow{\tilde{\alpha}^{\{x\}\times X}} \{x\} \times X \approx X$$
   は固有写像である．
2. $G_{x} = \alpha_{x}^{-1}(x)$はコンパクト集合$\{x\} \subset X$の逆像ゆえコンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

コンパクト集合$L \times K \subset X \times X$の固有写像$\tilde{\alpha}$による逆像
$$ \tilde{\alpha}^{-1}(L \times K) = \alpha^{-1}(K) \cap (L \times G)$$
はコンパクトである．したがってその連続像$G_{K,L} = p_{G}(\alpha^{-1}(K) \cap (L \times G)) \subset G$はコンパクトである．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

明らか．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$L \subset X \times X$をコンパクト集合とする．仮定より$L \subset X \times X$は閉集合である．第$i$成分への射影を$p_{i} \colon X \times X \to X$とし，$K = p_{1}(L) \cup p_{2}(L) \subset X$とおく．このとき，$K$はコンパクトであり$L \subset K \times K$が成り立つ．また
$$ \tilde{\alpha}^{-1}(K \times K) = \alpha^{-1}(K) \cap (K \times G) \subset K \times G_{K}$$
が成り立つ．よって$\tilde{\alpha}^{-1}(L) \subset K \times G_{K}$はコンパクト空間$K \times G_{K}$の閉集合ゆえコンパクトである．

1. 仮定より$\tilde{\alpha}$は閉写像なので$R_{\alpha} = \tilde{\alpha}(X \times G) \subset X \times X$は閉集合である．よって命題9より$X/G$はハウスドルフである．
2. 仮定より$\{e\} \subset G$は閉集合なので$X \to X \times G;\ x \mapsto (x,e)$は閉写像である．したがって完全写像$\tilde{\alpha}$との合成$X \to X \times X;\ x \mapsto (x,x)$も閉写像であるから，その像である$\Delta_{X} \subset X \times X$は閉集合である．

1. $\alpha \mid K \times G$は完全写像$\tilde{\alpha}^{K \times X} \colon K \times G \to K \times X$と完全写像$p_{X} \colon K \times X \to X$との合成であるから完全写像である．
2. $K \times C \subset K \times G$は閉集合なので$K \cdot C = (\alpha \mid K \times G)(K \times C) \subset X$は閉集合である．

命題6においてコンパクト集合$K \subset G$として$G$自身を取ればよい．

1. $K \subset X$をコンパクト集合とする．補題7より$G_{K} \subset G$はコンパクト空間$G$の閉集合ゆえコンパクトである．よって命題13より$\alpha$は固有作用である．
2. 仮定より$\Delta_{X \times G} \subset (X \times G) \times (X \times G)$は閉集合なので$(p_{X} \times \alpha) \mid \Delta_{X \times G}$は完全写像である．よって
   $$ \tilde{\alpha} \colon X \times G \approx \Delta_{X \times G} \xrightarrow{(p_{X} \times \alpha) \mid \Delta_{X \times G}} X \times X$$
   は完全写像である．
3. 各$x \in X$に対して連続写像$\alpha_{x} \colon G \to X;\ g \mapsto x \cdot g$は全単射連続写像$G_{x}\backslash G \to \pi^{-1}(\pi(x));\ g \bmod G_{x} \mapsto x \cdot g$を誘導する．仮定より$G_{x}\backslash G$はコンパクトであり$\pi^{-1}(\pi(x)) \subset X$はハウスドルフであるからこれは同相写像である．あとは$\pi$が閉写像であることを示せばよい．$C \subset X$を閉集合とする．補題16より$\alpha$はとくに閉写像なので
   $$ \pi^{-1}(\pi(C)) = \alpha(C \times G) \subset X$$
   は閉集合，したがって$\pi(C) \subset X/G$は閉集合である．

1. 仮定より$\alpha$は完全作用なので命題14より結論を得る．
2. $\pi$はとくに固有写像なので$X = \pi^{-1}(X/G)$はコンパクトである．
3. $x \in X$とする．$\pi(x) \in X/G$のコンパクト近傍$K \subset X/G$を取る．$\pi$はとくに固有写像なので$\pi^{-1}(K) \subset X$はコンパクトであり，
   $$ x \in \pi^{-1}(\mathrm{int}(K)) \subset \mathrm{int}(\pi^{-1}(K)) \subset \pi^{-1}(K)$$
   が成り立つ，すなわち$\pi^{-1}(K)$は$x \in X$のコンパクト近傍である．

$\tilde{\alpha}^{-1}(y,x) = \{y\} \times G_{x,y}$が成り立つことに注意する．

(i)$\Rightarrow$(ii)

• 命題14より$X/G$はハウスドルフである．

$x \in X$とする．

• $\alpha$はとくに固有作用なので，命題12より$G_{x}$はコンパクトである．
• $W \subset G$を$G_{x}$の開近傍とする．いま$\tilde{\alpha}$は閉写像なので，$\tilde{\alpha}^{-1}(x,x)$の開近傍$X \times W \subset X \times G$に対して，$x$の開近傍$U \subset X$であって$\tilde{\alpha}^{-1}(U \times U) \subset X \times W$となるものが存在する（[8, 命題5]）．よって
  $$ G_{U} = p_{G}(\tilde{\alpha}^{-1}(U \times U)) \subset W$$
  が成り立つ．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

$x,y \in X$とする．

$\pi(x) \neq \pi(y)$のとき．

• $G_{x,y} = \varnothing$はコンパクトである．
• いま$X/G$はハウスドルフなので，命題9より$x,y$の開近傍$U,V \subset X$であって$G_{U,V} = \varnothing$となるものが存在する．

$\pi(x) = \pi(y)$のとき．

• $g \in G$であって$x = y \cdot g$となるものが存在する．このとき$G_{x,y} = g \cdot G_{x}$となることがわかるので$G_{x,y}$はコンパクトである．
• $W \subset G$を$G_{x,y}$の開近傍とする．このとき$g^{-1} \cdot W \subset G$は$G_{x}$の開近傍であるから$x$の開近傍$U \subset X$であって$G_{U} \subset g^{-1} \cdot W$となるものが存在する．そこで$V = U \cdot g^{-1} \subset X$とおくと，これは$y$の開近傍であって
  $$ \forall h \in G,\ U \cap V \cdot h = U \cap U \cdot g^{-1}h$$
  より$G_{U,V} = g \cdot G_{U} \subset W$が成り立つ．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$x,y \in X$とする．

• $\tilde{\alpha}^{-1}(y,x) \approx G_{x,y}$はコンパクトである．
• $\widetilde{U} \subset X \times G$を$\tilde{\alpha}^{-1}(y,x)$の開近傍とする．いま$G_{x,y}$はコンパクトなので$y$の開近傍$V_{1} \subset X$と$G_{x,y}$の開近傍$W \subset G$であって$V_{1} \times W \subset \widetilde{U}$となるものが存在する（[7, 補題1]）．この$W$に対して，仮定より$x,y$の開近傍$U,V_{2} \subset X$であって$G_{U,V_{2}} \subset W$となるものが存在する．そこで$V = V_{1} \cap V_{2} \subset X$とおくと，これは$y$の開近傍であって
  $$ \tilde{\alpha}^{-1}(V \times U) \subset V \times G_{U,V} \subset V_{1} \times G_{U,V_{2}} \subset V_{1} \times W \subset \widetilde{U}$$
  が成り立つ．よって$\tilde{\alpha}$は閉写像である（[8, 命題5]）．

• $x \in V, x' \in V'$ならば$G_{x,x'} \subset G_{V,V'}$となるので$G_{x,x'} \subset \mathrm{RHS}$が成り立つ．
• $g \notin G_{x,x'}$，すなわち$x \neq x' \cdot g$とする．いま$X$はハウスドルフなので，$x$の開近傍$V \subset X$と$x'$の開近傍$V_{1} \subset X$であって
  $$ V \subset U,\ V_{1} \subset U',\ V \cap V_{1} \cdot g = \varnothing$$
  となるものが存在する．このとき$\alpha$の連続性より，$x' \cdot g \in X$の開近傍$V_{1} \cdot g$に対して，$x'$の開近傍$V_{2} \subset X$と$g$の開近傍$W \subset G$であって
  $$ V_{2} \cdot W = \alpha(V_{2} \times W) \subset V_{1} \cdot g$$
  となるものが存在する．そこで$V' = V_{1} \cap V_{2} \subset X$とおくと，これは$x'$の開近傍であって
  $$ V \cap (V' \cdot W) \subset V \cap V_{1} \cdot g = \varnothing$$
  より$G_{V,V'} \cap W = \varnothing$が成り立つので$g \notin \overline{G_{V,V'}}$を得る．よって$g \notin \mathrm{RHS}$が成り立つ．

(i)$\Rightarrow$(ii)

• 命題14より$X,X/G$はハウスドルフである．
• $x \in X$とする．命題18より$G_{x} \subset G$はコンパクトである．いま$G$は局所コンパクトハウスドルフ空間なので$G_{x}$の相対コンパクト開近傍$W \subset G$が存在する．このとき命題18より，$x$の開近傍$U \subset X$であって$G_{U} \subset W$となるものが存在する．よって$\overline{G_{U}}$はコンパクト空間$\overline{W}$の閉集合ゆえコンパクトである．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

• $X$がハウスドルフであることはよい．
• $x,x' \in X$とする．いま$X/G$はハウスドルフなので，命題9より$\pi(x) = \pi(x')$としてよい．したがって$g \in G$であって$x = x' \cdot g$となるものが存在する．仮定より$x$の開近傍$U \subset X$であって$G_{U} \subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．そこで$U' = U \cdot g^{-1} \subset X$とおくと，これは$x'$の開近傍であって$G_{U,U'} = g \cdot G_{U}$が成り立つ．よって$\overline{G_{U,U'}} = g \cdot \overline{G_{U}} \subset G$はコンパクトである．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$x,x' \in X$とする．仮定より$x,x'$の開近傍$U_{0},U_{0}' \subset X$であって$G_{U_{0},U_{0}'} \subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．

• いま$X$はハウスドルフなので，補題19より，$G_{x,x'}$はコンパクト空間$\overline{G_{U_{0},U_{0}'}}$の閉集合ゆえコンパクトである．
• $W \subset G$を$G_{x,x'}$の開近傍とする．このとき補題19より
  $$ \overline{G_{U_{0},U_{0}'}} \smallsetminus W \subset \overline{G_{U_{0},U_{0}'}} \smallsetminus \bigcap \overline{G_{V,V'}} = \bigcup \overline{G_{U_{0},U_{0}'}} \smallsetminus \overline{G_{V,V'}} $$
  となるので，$\left(\overline{G_{U_{0},U_{0}'}} \smallsetminus \overline{G_{V,V'}}\right)_{V,V'}$はコンパクト集合$\overline{G_{U_{0},U_{0}'}} \smallsetminus W$の開被覆である．よって$x,x'$の有限個の開近傍$V_{1},\ldots,V_{n},\ V_{1}',\ldots,V_{m}' \subset X$であって
  $$ \bigcap \overline{G_{V_{i},V_{j}'}} \subset W$$
  となるものが存在する．そこで$U = \bigcap V_{i} \subset X,\ U' = \bigcap V_{j}' \subset X$とおくと，これらは$x,x'$の開近傍であって
  $$ G_{U,U'} \subset \bigcap \overline{G_{V_{i},V_{j}'}} \subset W$$
  が成り立つ．

よって命題18より$\alpha$は完全作用である．

(iii)$\Rightarrow$(ii)$\Rightarrow$(i)

明らか．

(i)$\Rightarrow$(iii)

• 命題14より$X$はハウスドルフである．
• 各$x \in K,\ x' \in K'$に対して，定理20より$x,x'$の開近傍$U(x,x'),\ U'(x,x') \subset X$であって$\overline{G_{U(x,x'),\, U'(x,x')}} \subset G$がコンパクトとなるものが存在する．
  • 各$x \in K$に対して，$(U'(x,x'))_{x' \in K'}$は$K'$の開被覆なので，有限個の点$x'_{1},\ldots,x'_{m} \in K'$であって$K' \subset \bigcup U'(x,x'_{j})$となるものが存在する．そこで
    $$ U(x) = \bigcap U(x,x'_{j}),\ U'(x) = \bigcup U'(x,x'_{j})$$
    とおくと，これらはそれぞれ$x,K'$の開近傍であって
    $$ \forall g \in G,\ U(x) \cap U'(x) \cdot g \subset \bigcup U(x,x'_{j}) \cap U'(x,x'_{j}) \cdot g$$
    より$G_{U(x),U'(x)} \subset \bigcup G_{U(x,x'_{j}),\,U'(x,x'_{j})}$が成り立つ．したがって$\overline{G_{U(x),\,U'(x)}}$はコンパクト空間$\bigcup \overline{G_{U(x,x'_{j}),\,U'(x,x'_{j})}}$の閉集合ゆえコンパクトである．
  • いま$(U(x))_{x \in K}$は$K$の開被覆であるから，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって$K \subset \bigcup U(x_{i})$となるものが存在する．そこで
    $$ U = \bigcup U(x_{i}),\ U' = \bigcap U'(x_{i})$$
    とおくと，これらはそれぞれ$K,K'$の開近傍であって$G_{U,U'} \subset \bigcup G_{U(x_{i}),\,U'(x_{i})}$が成り立つ．したがって$\overline{G_{U,U'}}$はコンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

命題14より$X,X/G$はハウスドルフであり，命題18より$G_{x}$はコンパクトである．あとは最後の条件が成り立つことを示せばよい．そこで$x \in X$とする．定理20より$x$の開近傍$W \subset X$であって$G_{W} \subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．各$g \in \overline{G_{W}} \smallsetminus G_{x}$に対して，$x \neq x \cdot g$より，$x$の開近傍$W(g) \subset X$であって$W(g) \cap W(g) \cdot g = \varnothing$となるものが存在する．$V = W \cap \bigcap W(g)$とおく．このとき

• $x \in V$
• $\forall g \in \overline{G_{W}} \smallsetminus G_{x},\ V \cap V \cdot g \subset W(g) \cap W(g) \cdot g = \varnothing$

が成り立つ．
以下，$V \subset X$が開集合であると仮定する．
$U = \bigcap \{V \cdot g\ \mid\ g \in G_{x}\}$とおく．いま$G_{x}$はコンパクトゆえ$p_{X} \colon X \times G_{x} \to X$は閉写像なので，開集合$\alpha^{-1}(V) \cap (X \times G_{x}) \subset X \times G_{x}$に対して
\begin{align} (p_{X})_{\#}(\alpha^{-1}(V) \cap (X \times G_{x})) &= \{y \in X\ \mid\ p_{X}^{-1}(y) \subset \alpha^{-1}(V) \cap (X \times G_{x})\}\\ &= \{y \in X\ \mid\ \forall g \in G_{x},\ (y,g) \in \alpha^{-1}(V) \cap (X \times G_{x}) \}\\ &= \bigcap \{V \cdot g^{-1}\ \mid\ g \in G_{x}\}\\ &= U \end{align}
は$X$の開集合である（[8, 命題4]）．また，任意の$g \in G_{x}$に対して$x = x \cdot g \in V \cdot g$が成り立つので$x \in U$となる．この$U$が条件を満たすことを示す．

• $e \in G_{x}$より$U \subset V \cdot e = V$となるので，任意の$g \in \overline{G_{W}} \smallsetminus G_{x}$に対して$U \cap U \cdot g \subset V \cap V \cdot g = \varnothing$が成り立つ．
• $U \subset V \subset W$より，任意の$g \in G \smallsetminus \overline{G_{W}}$に対して$U \cap U \cdot g \subset W \cap W \cdot g = \varnothing$が成り立つ．

したがって
$$ G \smallsetminus G_{x} = (G \smallsetminus \overline{G_{W}}) \cup (\overline{G_{W}} \smallsetminus G_{x}) \subset G \smallsetminus G_{U} $$
が成り立つので，$G_{U} = G_{x}$を得る．また，任意の$h \in G_{x}$に対して，$G_{x} \to G_{x};\ g \mapsto gh$は全単射なので，$U \cdot h = \bigcap V \cdot gh = U$が成り立つ．

(ii)$\Rightarrow$(i)

• 仮定より$X,X/G$はハウスドルフである．
• $x \in X$とする．仮定より$x$の開近傍$U \subset X$であって$G_{U} = G_{x}$となるものが存在する．いま$G$はハウスドルフなので，そのコンパクト集合$G_{U} \subset G$は閉集合である．したがって$\overline{G_{U}} = G_{U} \subset G$はコンパクトである．よって定理20より$\alpha$は完全作用である．

• $\alpha$は完全作用なので$X/G$はハウスドルフである（命題14）．
• 仮定より$\tilde{\alpha}$は単射連続閉写像であるから$X \times G \approx \tilde{\alpha}(X \times G) = R_{\alpha} \subset X \times X$が成り立つ．あとは$\tilde{\alpha}$がはめ込みであることを示せばよい．
• $(x,g) \in X \times G$とする．同一視
  \begin{align} T_{(x,g)}(X \times G) &= T_{x}(X) \times T_{g}(G),\\ T_{(x,x \cdot g)}(X \times X) &= T_{x}(X) \times T_{x \cdot g}(X) \end{align}
  の下で，任意の$(v_{x},v_{g}) \in T_{(x,g)}(X \times G)$に対して
  $$ T_{(x,g)}(\tilde{\alpha})(v_{x},v_{g}) = (v_{x}, T_{x}(\alpha_{g})(v_{x}) + T_{g}(\alpha_{x})(v_{g}))$$
  が成り立つ．一般に$\alpha_{x}$は階数一定であり，$\alpha$が自由であることから$\alpha_{x}$は単射である．したがって$\alpha_{x}$ははめ込みであるので，$T_{(x,g)}(\tilde{\alpha})$が単射であることがわかる．よって$\tilde{\alpha}$ははめ込みである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

$x \in X$とする．仮定より$x$の開近傍$U \subset X$であって$G_{U} = \{e\}$となるものが存在する．

• $\{e\} \subset G_{x} \subset G_{U} = \{e\}$より$G_ {x} = \{e\}$となるので$\alpha$は自由である．
• $V = \pi(U) \subset X/G$とおくとこれは$\pi(x)$の開近傍であり，$\pi^{-1}(V) = \bigsqcup U \cdot g$となる．各$g \in G$に対して$\pi^{V} \mid U \cdot g \colon U \cdot g \to V$は全射連続開写像である．あとは$\pi^{V} \mid U$が単射であることを示せばよい．ところで$y,z \in U, \pi(y) = \pi(z)$とすると，$g \in G$であって$y = z \cdot g \in U \cap U \cdot g$となるものが存在するが，$g \in G_{U} = \{e\}$より$y=z$を得る．

(ii)$\Rightarrow$(i)

$x \in X$とする．仮定より$\pi(x)$の開近傍$V \subset X/G$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$であって

• $\pi^{-1}(V) = \bigsqcup U_{\lambda}$
• $\forall \lambda \in \Lambda,\ \pi_{\lambda} := \pi^{V} \mid U_{\lambda} \colon U_{\lambda} \approx V$

となるものが存在する．いま$x \in \pi^{-1}(V)$であるから$\lambda \in \Lambda$であって$x \in U_{\lambda}$となるものが存在する．以下，$U := U_{\lambda}$が条件を満たすことを示す．そこで$g \in G_{U}$とすると，$y \in U$であって$y \cdot g \in U$となるものが存在する．このとき
$$ \pi_{\lambda}(y \cdot g) = \pi(y \cdot g) = \pi(y) = \pi_{\lambda}(y)$$
となるので$\pi_{\lambda}$の単射性より$y \cdot g = y$が成り立つ．よって作用が自由であることから$g = e$を得る．

予想の(i)$\Rightarrow$(ii)の“証明”において$\overline{G_{W}}$は有限集合なので$V \subset X$は開集合になる．

$f \colon X \to Y$を完全写像とする．

$Z$を位相空間とする．$(y,z) \in Y \times Z$とし$(f \times 1_{Z})^{-1}(y,z) = f^{-1}(y) \times \{z\}$の開近傍$U \subset X \times Z$を取る．いま$f^{-1}(y)$はコンパクトなので$f^{-1}(y)$の開近傍$U' \subset X$と$z$の開近傍$W \subset Z$であって$U' \times W \subset U$となるものが存在する（[7, 補題1]）．$f$は閉写像なので，この$U'$に対して$y$の開近傍$V \subset Y$であって$f^{-1}(V) \subset U'$となるものが存在する（[8, 命題5]）．したがって
$$ (f \times 1_{Z})^{-1}(V \times W) = f^{-1}(V) \times W \subset U' \times W \subset U$$
が成り立つ．よって$f \times 1_{Z}$は閉写像である（[8, 命題5]）．

$f \colon X \to Y$をBourbaki固有写像とする．

仮定より$f \times 1_{\{\ast\}}$は閉写像なので
$$ f \colon X \approx X \times \{\ast\} \xrightarrow{f \times 1_{\{\ast\}}} Y \times \{\ast\} \approx Y$$
は閉写像である．

$Z$を位相空間とする．仮定より$f \times 1_{Z}$は閉写像であるから
$$ f^{B} \times 1_{Z} = (f \times 1_{Z})^{B \times Z}$$
も閉写像である．

$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$K$の開被覆とする．
$Z= \mathcal{S}^{\Lambda}$とおく．任意の部分集合$M \subset \Lambda$に対して$p_{M} \colon Z \to \mathcal{S}^{M}$を$p_{M}(z) = z \mid M$で定める．
$z_{0} \in Z$を$z_{0}(\lambda) = 0\ (\forall \lambda)$で定める．各$\lambda \in \Lambda$に対して$V_{\lambda} = p_{\lambda}^{-1}(0) \subset Z$とおくと，これは$z_{0}$の開近傍であるから
$$ W:= \bigcup_{\lambda} (U_{\lambda} \times V_{\lambda}) \subset K \times Z$$
は$p_{Z}^{-1}(z_{0}) = K \times \{z_{0}\}$の開近傍である．仮定より$p_{Z}$は閉写像なので$z_{0}$の開近傍$V \subset Z$であって$p_{Z}^{-1}(V) \subset W$となるものが存在する（[8, 命題5]）．
$Z$の位相が$\{V_{\lambda}\ \mid\ \lambda \in \Lambda\}$を準開基とするものであることに注意すると，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$であって$z_{0} \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} V_{\lambda} \subset V$となるものが存在することがわかる．ここで$z_{1} \in Z$を

• $p_{\Lambda_{0}}(z_{1})(\lambda) = 0$,
• $p_{\Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}}(z_{1})(\lambda) = 1$

で定める．このとき

• $\forall \lambda \in \Lambda_{0},\ V_{\lambda} \cap \{z_{1}\} = \{z_{1}\}$,
• $\forall \lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0},\ V_{\lambda} \cap \{z_{1}\} = \varnothing$

が成り立つ．前者より$z_{1} \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} V_{\lambda} \subset V$となるので$p_{Z}^{-1}(z_{1}) \subset p_{Z}^{-1}(V) \subset W$となる．したがって
\begin{align} K \times \{z_{1}\} &= p_{Z}^{-1}(z_{1})\\ &= p_{Z}^{-1}(z_{1}) \cap W\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \times (V_{\lambda} \cap \{z_{1}\})\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} (U_{\lambda} \times \{z_{1}\})\\ &= \left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda} \right) \times \{z_{1}\} \end{align}
が成り立つ．よって$K = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda}$を得る．

$f \colon X \to Y$をBourbaki固有写像とする．

• 補題26より$f$は閉写像である．
• $y \in Y$とする．補題27より$f^{\{y\}} \colon f^{-1}(y) \to \{y\}$はBourbaki固有写像であるから，補題28より$f^{-1}(y)$はコンパクトである．