固有作用とその周辺

• $f:X\to Y$をコンパクト生成ハウスドルフ空間$Y$への固有連続写像とする．
• このとき$f$が閉写像であることを示せばよい．
• そこで$C\subset X$を閉集合とする．
  • $K\subset Y$をコンパクト集合とする．
  • 仮定より$f^{-1}(K)\subset X$はコンパクトであるから，$C\cap f^{-1}(K)\subset f^{-1}(K)$はコンパクト集合の閉集合ゆえコンパクトである．
  • したがって$f$の連続性より
    $$f(C)\cap K=f(C\cap f^{-1}(K))\subset K$$
    はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．
• よって$f(C)\subset Y$は閉集合である．

1. $g\in G$とする．
   $${\alpha }_g\circ {\alpha }_{g^{-1}}={\alpha }_{g^{-1}g}={\alpha }_e=1_X={\alpha }_{g^{-1}}\circ {\alpha }_g$$
   より${\alpha }_g^{-1}={\alpha }_{g^{-1}}$が成り立つ．
2. $x\in X$とし，連続写像${\alpha }_x:G\to X$を${\alpha }_x(g)=x\cdot g$で定める．このとき$G_x={\alpha }_x^{-1}(x)\subset G$は閉集合$\{x\}\subset X$の連続写像による逆像ゆえ閉集合である．

1. 各$h\in H$に対して，命題4より$U\cdot h={\alpha }_h(U)\subset X$は開集合であるから
   $$U\cdot H=\bigcup _{h\in H}U\cdot h\subset X$$
   は開集合である．
2. $K\cdot L$はコンパクト集合$K\times L$の連続像なのでコンパクトである．

1. $\alpha \mid X\times K$は同相写像
   $$X\times K\to X\times K;(x,g)\mapsto (x\cdot g,g)$$
   （逆写像は$(x,g)\mapsto (x\cdot g^{-1},g)$）と完全写像$p_X:X\times K\to X$の合成ゆえ完全写像である．
2. $C\times K\subset X\times K$は閉集合なので$C\cdot K=(\alpha \mid X\times K)(C\times K)\subset X$は閉集合である．

1. $$\begin{array}{rl}g\in G_{A,B}& \iff A\cap B\cdot g\ne \varnothing \\ & \iff \mathrm{\exists }b\in B,(b,g)\in {\alpha }^{-1}(A)\\ & \iff g\in p_G({\alpha }^{-1}(A)\cap (B\times G))\end{array}$$
2. $C\subset X$を閉集合，$K\subset X$をコンパクト集合とする．このとき${\alpha }^{-1}(C)\cap (K\times G)\subset K\times G$は閉集合，$p_G:K\times G\to G$は閉写像なので
   $$G_{C,K}=p_G({\alpha }^{-1}(C)\cap (K\times G))\subset G$$
   は閉集合である．
3. (ii)より明らか．

$U\subset X$を開集合とする．補題5より${\pi }^{-1}(\pi (U))=U\cdot G\subset X$は開集合であるから$\pi (U)\subset X/G$は開集合である．

1. $y\in X/G$とする．$x\in {\pi }^{-1}(y)$としそのコンパクト近傍を$K\subset X$とする．このとき，$\pi (K)\subset X/G$はコンパクトであり，命題8より
   $$y=\pi (x)\in \pi (\mathrm{int}(K))\subset \mathrm{int}(\pi (K))$$
   が成り立つ．よって$\pi (K)$は$y$のコンパクト近傍である．
2. コンパクト集合$L\subset X/G$の各点$y\in L$に対して，${\pi }^{-1}(y)$の点をひとつ取りそのコンパクト近傍を$K(y)\subset X$とすると，(i)（の証明）より$\pi (K(y))\subset X/G$は$y$のコンパクト近傍である．いま$(\pi (\mathrm{int}(K(y))){)}_{y\in L}$は$L\subset X/G$の開被覆であるから，有限個の点$y_1,\dots ,y_n\in L$であって$L\subset \bigcup _i\pi (\mathrm{int}(K(y_i)))$となるものが存在する．仮定より$L\subset X/G$が閉集合であることに注意すると
   $$K:=(\bigcup _{i}K(y_i))\cap {\pi }^{-1}(L)$$
   はコンパクト空間$\bigcup K(y_i)$の閉集合ゆえコンパクトであり$\pi (K)=\pi (\bigcup K(y_i))\cap L=L$が成り立つ．

1. $X/G=\pi (X)=\pi (K\cdot G)=\pi (K)$より$X/G$はコンパクトである．
2. 命題10よりコンパクト集合$K\subset X$であって$\pi (K)=X/G$となるものが存在する．
3. 各$x\in X$に対してその相対コンパクト近傍$N(x)\subset X$を取り$U(x)=\mathrm{int}(N(x)),V(x)=\pi (U(x))\subset X/G$とおく．このとき$(V(x){)}_{x\in X}$は$X/G$の開被覆であるから，有限個の点$x_1,\dots ,x_n\in X$であって$X/G=\bigcup V(x_i)=\pi (\bigcup U(x_i))$となるものが存在する．そこで$K=\bigcup \overline{U(x_i)}\subset X$とおくと，これはコンパクトであって$\pi (K)=X/G$が成り立つ．

1. 仮定より$\tilde{\alpha }:X\times G\to X\times X$は固有写像なので，
   $${\alpha }_x:G\approx \{x\}\times G\stackrel{{\tilde{\alpha }}^{\{x\}\times X}}{\to }\{x\}\times X\approx X$$
   は固有写像である．
2. $G_x={\alpha }_x^{-1}(x)$はコンパクト集合$\{x\}\subset X$の逆像ゆえコンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

コンパクト集合$L\times K\subset X\times X$の固有写像$\tilde{\alpha }$による逆像
$${\tilde{\alpha }}^{-1}(L\times K)={\alpha }^{-1}(K)\cap (L\times G)$$
はコンパクトである．したがってその連続像$G_{K,L}=p_G({\alpha }^{-1}(K)\cap (L\times G))\subset G$はコンパクトである．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

明らか．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$L\subset X\times X$をコンパクト集合とする．仮定より$L\subset X\times X$は閉集合である．第$i$成分への射影を$p_i:X\times X\to X$とし，$K=p_1(L)\cup p_2(L)\subset X$とおく．このとき，$K$はコンパクトであり$L\subset K\times K$が成り立つ．また
$${\tilde{\alpha }}^{-1}(K\times K)={\alpha }^{-1}(K)\cap (K\times G)\subset K\times G_K$$
が成り立つ．よって${\tilde{\alpha }}^{-1}(L)\subset K\times G_K$はコンパクト空間$K\times G_K$の閉集合ゆえコンパクトである．

1. 仮定より$\tilde{\alpha }$は閉写像なので$R_{\alpha }=\tilde{\alpha }(X\times G)\subset X\times X$は閉集合である．よって命題9より$X/G$はハウスドルフである．
2. 仮定より$\{e\}\subset G$は閉集合なので$X\to X\times G;x\mapsto (x,e)$は閉写像である．したがって完全写像$\tilde{\alpha }$との合成$X\to X\times X;x\mapsto (x,x)$も閉写像であるから，その像である${\mathrm{\Delta }}_X\subset X\times X$は閉集合である．

1. $\alpha \mid K\times G$は完全写像${\tilde{\alpha }}^{K\times X}:K\times G\to K\times X$と完全写像$p_X:K\times X\to X$との合成であるから完全写像である．
2. $K\times C\subset K\times G$は閉集合なので$K\cdot C=(\alpha \mid K\times G)(K\times C)\subset X$は閉集合である．

命題6においてコンパクト集合$K\subset G$として$G$自身を取ればよい．

1. $K\subset X$をコンパクト集合とする．補題7より$G_K\subset G$はコンパクト空間$G$の閉集合ゆえコンパクトである．よって命題13より$\alpha$は固有作用である．
2. 仮定より${\mathrm{\Delta }}_{X\times G}\subset (X\times G)\times (X\times G)$は閉集合なので$(p_X\times \alpha )\mid {\mathrm{\Delta }}_{X\times G}$は完全写像である．よって
   $$\tilde{\alpha }:X\times G\approx {\mathrm{\Delta }}_{X\times G}\stackrel{(p_X\times \alpha )\mid {\mathrm{\Delta }}_{X\times G}}{\to }X\times X$$
   は完全写像である．
3. 各$x\in X$に対して連続写像${\alpha }_x:G\to X;g\mapsto x\cdot g$は全単射連続写像$G_x\mathrm{\setminus }G\to {\pi }^{-1}(\pi (x));gmod{G}_x\mapsto x\cdot g$を誘導する．仮定より$G_x\mathrm{\setminus }G$はコンパクトであり${\pi }^{-1}(\pi (x))\subset X$はハウスドルフであるからこれは同相写像である．あとは$\pi$が閉写像であることを示せばよい．$C\subset X$を閉集合とする．補題16より$\alpha$はとくに閉写像なので
   $${\pi }^{-1}(\pi (C))=\alpha (C\times G)\subset X$$
   は閉集合，したがって$\pi (C)\subset X/G$は閉集合である．

1. 仮定より$\alpha$は完全作用なので命題14より結論を得る．
2. $\pi$はとくに固有写像なので$X={\pi }^{-1}(X/G)$はコンパクトである．
3. $x\in X$とする．$\pi (x)\in X/G$のコンパクト近傍$K\subset X/G$を取る．$\pi$はとくに固有写像なので${\pi }^{-1}(K)\subset X$はコンパクトであり，
   $$x\in {\pi }^{-1}(\mathrm{int}(K))\subset \mathrm{int}({\pi }^{-1}(K))\subset {\pi }^{-1}(K)$$
   が成り立つ，すなわち${\pi }^{-1}(K)$は$x\in X$のコンパクト近傍である．

${\tilde{\alpha }}^{-1}(y,x)=\{y\}\times G_{x,y}$が成り立つことに注意する．

(i)$\Rightarrow$(ii)

• 命題14より$X/G$はハウスドルフである．

$x\in X$とする．

• $\alpha$はとくに固有作用なので，命題12より$G_x$はコンパクトである．
• $W\subset G$を$G_x$の開近傍とする．いま$\tilde{\alpha }$は閉写像なので，${\tilde{\alpha }}^{-1}(x,x)$の開近傍$X\times W\subset X\times G$に対して，$x$の開近傍$U\subset X$であって${\tilde{\alpha }}^{-1}(U\times U)\subset X\times W$となるものが存在する（[8, 命題5]）．よって
  $$G_U=p_G({\tilde{\alpha }}^{-1}(U\times U))\subset W$$
  が成り立つ．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

$x,y\in X$とする．

$\pi (x)\ne \pi (y)$のとき．

• $G_{x,y}=\varnothing$はコンパクトである．
• いま$X/G$はハウスドルフなので，命題9より$x,y$の開近傍$U,V\subset X$であって$G_{U,V}=\varnothing$となるものが存在する．

$\pi (x)=\pi (y)$のとき．

• $g\in G$であって$x=y\cdot g$となるものが存在する．このとき$G_{x,y}=g\cdot G_x$となることがわかるので$G_{x,y}$はコンパクトである．
• $W\subset G$を$G_{x,y}$の開近傍とする．このとき$g^{-1}\cdot W\subset G$は$G_x$の開近傍であるから$x$の開近傍$U\subset X$であって$G_U\subset g^{-1}\cdot W$となるものが存在する．そこで$V=U\cdot g^{-1}\subset X$とおくと，これは$y$の開近傍であって
  $$\mathrm{\forall }h\in G,U\cap V\cdot h=U\cap U\cdot g^{-1}h$$
  より$G_{U,V}=g\cdot G_U\subset W$が成り立つ．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$x,y\in X$とする．

• ${\tilde{\alpha }}^{-1}(y,x)\approx G_{x,y}$はコンパクトである．
• $\tilde{U}\subset X\times G$を${\tilde{\alpha }}^{-1}(y,x)$の開近傍とする．いま$G_{x,y}$はコンパクトなので$y$の開近傍$V_1\subset X$と$G_{x,y}$の開近傍$W\subset G$であって$V_1\times W\subset \tilde{U}$となるものが存在する（[7, 補題1]）．この$W$に対して，仮定より$x,y$の開近傍$U,V_2\subset X$であって$G_{U,V_2}\subset W$となるものが存在する．そこで$V=V_1\cap V_2\subset X$とおくと，これは$y$の開近傍であって
  $${\tilde{\alpha }}^{-1}(V\times U)\subset V\times G_{U,V}\subset V_1\times G_{U,V_2}\subset V_1\times W\subset \tilde{U}$$
  が成り立つ．よって$\tilde{\alpha }$は閉写像である（[8, 命題5]）．

• $x\in V,x^{\prime }\in V^{\prime }$ならば$G_{x,x^{\prime }}\subset G_{V,V^{\prime }}$となるので$G_{x,x^{\prime }}\subset \mathrm{RHS}$が成り立つ．
• $g\notin G_{x,x^{\prime }}$，すなわち$x\ne x^{\prime }\cdot g$とする．いま$X$はハウスドルフなので，$x$の開近傍$V\subset X$と$x^{\prime }$の開近傍$V_1\subset X$であって
  $$V\subset U,V_1\subset U^{\prime },V\cap V_1\cdot g=\varnothing$$
  となるものが存在する．このとき$\alpha$の連続性より，$x^{\prime }\cdot g\in X$の開近傍$V_1\cdot g$に対して，$x^{\prime }$の開近傍$V_2\subset X$と$g$の開近傍$W\subset G$であって
  $$V_2\cdot W=\alpha (V_2\times W)\subset V_1\cdot g$$
  となるものが存在する．そこで$V^{\prime }=V_1\cap V_2\subset X$とおくと，これは$x^{\prime }$の開近傍であって
  $$V\cap (V^{\prime }\cdot W)\subset V\cap V_1\cdot g=\varnothing$$
  より$G_{V,V^{\prime }}\cap W=\varnothing$が成り立つので$g\notin \overline{G_{V,V^{\prime }}}$を得る．よって$g\notin \mathrm{RHS}$が成り立つ．

(i)$\Rightarrow$(ii)

• 命題14より$X,X/G$はハウスドルフである．
• $x\in X$とする．命題18より$G_x\subset G$はコンパクトである．いま$G$は局所コンパクトハウスドルフ空間なので$G_x$の相対コンパクト開近傍$W\subset G$が存在する．このとき命題18より，$x$の開近傍$U\subset X$であって$G_U\subset W$となるものが存在する．よって$\overline{G_U}$はコンパクト空間$\bar{W}$の閉集合ゆえコンパクトである．

(ii)$\Rightarrow$(iii)

• $X$がハウスドルフであることはよい．
• $x,x^{\prime }\in X$とする．いま$X/G$はハウスドルフなので，命題9より$\pi (x)=\pi (x^{\prime })$としてよい．したがって$g\in G$であって$x=x^{\prime }\cdot g$となるものが存在する．仮定より$x$の開近傍$U\subset X$であって$G_U\subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．そこで$U^{\prime }=U\cdot g^{-1}\subset X$とおくと，これは$x^{\prime }$の開近傍であって$G_{U,U^{\prime }}=g\cdot G_U$が成り立つ．よって$\overline{G_{U,U^{\prime }}}=g\cdot \overline{G_U}\subset G$はコンパクトである．

(iii)$\Rightarrow$(i)

$x,x^{\prime }\in X$とする．仮定より$x,x^{\prime }$の開近傍$U_0,U_0^{\prime }\subset X$であって$G_{U_0,U_0^{\prime }}\subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．

• いま$X$はハウスドルフなので，補題19より，$G_{x,x^{\prime }}$はコンパクト空間$\overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}$の閉集合ゆえコンパクトである．
• $W\subset G$を$G_{x,x^{\prime }}$の開近傍とする．このとき補題19より
  $$\overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}\setminus W\subset \overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}\setminus \bigcap \overline{G_{V,V^{\prime }}}=\bigcup \overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}\setminus \overline{G_{V,V^{\prime }}}$$
  となるので，${(\overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}\setminus \overline{G_{V,V^{\prime }}})}_{V,V^{\prime }}$はコンパクト集合$\overline{G_{U_0,U_0^{\prime }}}\setminus W$の開被覆である．よって$x,x^{\prime }$の有限個の開近傍$V_1,\dots ,V_n,V_1^{\prime },\dots ,V_m^{\prime }\subset X$であって
  $$\bigcap \overline{G_{V_i,V_j^{\prime }}}\subset W$$
  となるものが存在する．そこで$U=\bigcap V_i\subset X,U^{\prime }=\bigcap V_j^{\prime }\subset X$とおくと，これらは$x,x^{\prime }$の開近傍であって
  $$G_{U,U^{\prime }}\subset \bigcap \overline{G_{V_i,V_j^{\prime }}}\subset W$$
  が成り立つ．

よって命題18より$\alpha$は完全作用である．

(iii)$\Rightarrow$(ii)$\Rightarrow$(i)

明らか．

(i)$\Rightarrow$(iii)

• 命題14より$X$はハウスドルフである．
• 各$x\in K,x^{\prime }\in K^{\prime }$に対して，定理20より$x,x^{\prime }$の開近傍$U(x,x^{\prime }),U^{\prime }(x,x^{\prime })\subset X$であって$\overline{G_{U(x,x^{\prime }),U^{\prime }(x,x^{\prime })}}\subset G$がコンパクトとなるものが存在する．
  • 各$x\in K$に対して，$(U^{\prime }(x,x^{\prime }){)}_{x^{\prime }\in K^{\prime }}$は$K^{\prime }$の開被覆なので，有限個の点$x_1^{\prime },\dots ,x_m^{\prime }\in K^{\prime }$であって$K^{\prime }\subset \bigcup U^{\prime }(x,x_j^{\prime })$となるものが存在する．そこで
    $$U(x)=\bigcap U(x,x_j^{\prime }),U^{\prime }(x)=\bigcup U^{\prime }(x,x_j^{\prime })$$
    とおくと，これらはそれぞれ$x,K^{\prime }$の開近傍であって
    $$\mathrm{\forall }g\in G,U(x)\cap U^{\prime }(x)\cdot g\subset \bigcup U(x,x_j^{\prime })\cap U^{\prime }(x,x_j^{\prime })\cdot g$$
    より$G_{U(x),U^{\prime }(x)}\subset \bigcup G_{U(x,x_j^{\prime }),U^{\prime }(x,x_j^{\prime })}$が成り立つ．したがって$\overline{G_{U(x),U^{\prime }(x)}}$はコンパクト空間$\bigcup \overline{G_{U(x,x_j^{\prime }),U^{\prime }(x,x_j^{\prime })}}$の閉集合ゆえコンパクトである．
  • いま$(U(x){)}_{x\in K}$は$K$の開被覆であるから，有限個の点$x_1,\dots ,x_n\in K$であって$K\subset \bigcup U(x_i)$となるものが存在する．そこで
    $$U=\bigcup U(x_i),U^{\prime }=\bigcap U^{\prime }(x_i)$$
    とおくと，これらはそれぞれ$K,K^{\prime }$の開近傍であって$G_{U,U^{\prime }}\subset \bigcup G_{U(x_i),U^{\prime }(x_i)}$が成り立つ．したがって$\overline{G_{U,U^{\prime }}}$はコンパクトである．

(i)$\Rightarrow$(ii)

命題14より$X,X/G$はハウスドルフであり，命題18より$G_x$はコンパクトである．あとは最後の条件が成り立つことを示せばよい．そこで$x\in X$とする．定理20より$x$の開近傍$W\subset X$であって$G_W\subset G$が相対コンパクトとなるものが存在する．各$g\in \overline{G_W}\setminus G_x$に対して，$x\ne x\cdot g$より，$x$の開近傍$W(g)\subset X$であって$W(g)\cap W(g)\cdot g=\varnothing$となるものが存在する．$V=W\cap \bigcap W(g)$とおく．このとき

• $x\in V$
• $\mathrm{\forall }g\in \overline{G_W}\setminus G_x,V\cap V\cdot g\subset W(g)\cap W(g)\cdot g=\varnothing$

が成り立つ．
以下，$V\subset X$が開集合であると仮定する．
$U=\bigcap \{V\cdot g\mid g\in G_x\}$とおく．いま$G_x$はコンパクトゆえ$p_X:X\times G_x\to X$は閉写像なので，開集合${\alpha }^{-1}(V)\cap (X\times G_x)\subset X\times G_x$に対して
$$\begin{array}{rl}(p_X{)}_{\mathrm{\#}}({\alpha }^{-1}(V)\cap (X\times G_x))& =\{y\in X\mid p_X^{-1}(y)\subset {\alpha }^{-1}(V)\cap (X\times G_x)\}\\ & =\{y\in X\mid \mathrm{\forall }g\in G_x,(y,g)\in {\alpha }^{-1}(V)\cap (X\times G_x)\}\\ & =\bigcap \{V\cdot g^{-1}\mid g\in G_x\}\\ & =U\end{array}$$
は$X$の開集合である（[8, 命題4]）．また，任意の$g\in G_x$に対して$x=x\cdot g\in V\cdot g$が成り立つので$x\in U$となる．この$U$が条件を満たすことを示す．