2F1に関するGaussの第二定理, Baileyの定理のq類似
${}_2F_1$超幾何級数のKummerの定理
\begin{align}
\F21{a,b}{1+a-b}{-1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}
\end{align}
の$q$類似は
Bailey-Daumの和公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{aq/b}{-\frac qb}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(aq,aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}
\end{align}
として知られている.
前の記事
で${}_2F_1$超幾何級数の$\frac 12$における特殊値の公式として, Gaussの第二定理
\begin{align}
\F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)}
\end{align}
とBaileyの定理
\begin{align}
\F21{a,1-a}{c}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)}
\end{align}
を示した. 今回はその$q$類似を示す. ${}_2F_1$のPfaffの変換公式の$q$類似となる
Jacksonの${}_2\phi_2$変換公式
を用いる.
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q22{a,c/b}{c,ax}{bx} \end{align}
まず, Gaussの第二定理の$q$類似を示す.
\begin{align} \Q22{a,b}{\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}{-q}&=\frac{(aq,bq;q^2)_{\infty}}{(q,abq;q^2)_{\infty}} \end{align}
Jacksonの${}_2\phi_2$変換公式より,
\begin{align}
\Q22{a,b}{\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}{-q}&=\frac{(-\sqrt{ab/q};q)_{\infty}}{(-\sqrt{abq};q)_{\infty}}\Q21{a,\sqrt{aq/b}}{\sqrt{abq}}{-\sqrt{\frac{ab}q}}
\end{align}
ここで, Bailey-Daumの和公式より,
\begin{align}
\Q21{a,\sqrt{aq/b}}{\sqrt{abq}}{-\sqrt{\frac{ab}q}}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(aq,bq;q^2)_{\infty}}{(\sqrt{abq},-\sqrt{ab/q};q)_{\infty}}
\end{align}
となるから, これらを掛けあわせて
\begin{align}
(-q;q)_{\infty}&=\frac 1{(q;q^2)_{\infty}}
\end{align}
を用いて定理を得る.
次にBaileyの定理の$q$類似を示す.
\begin{align} \Q22{a,q/a}{c,-q}{-c}&=\frac{(ac,cq/a;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}} \end{align}
Jacksonの${}_2\phi_2$変換公式より,
\begin{align}
\Q22{a,q/a}{c,-q}{-c}&=\frac{(-q/a;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\Q21{a,ac/q}{c}{-\frac{q}{c}}
\end{align}
ここで, Bailey-Daumの和公式より,
\begin{align}
\Q21{ac/q,a}{b}{-\frac{q}a}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(ac,cq/a;q^2)_{\infty}}{(c,-q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これらを掛けあわせて, 定理を得る.
