ランクの転置不変性
行列のランク
正整数$n\in\mathbb{Z}_{>0}$に対して
$$
\bar{n}\coloneqq\{1,\ldots,n\}$$
とおく．
$A$を$(n,m)$行列とする：
$$
A \colon \bar{n}\times\bar{m} \to \mathbb{K};\ (i,j) \mapsto A(i,j).$$
各$j\in\bar{m}$に対して，写像
$$
\widehat{A}(j) \colon \bar{n} \to \mathbb{K};\ i \mapsto A(i,j)$$
を$A$の第$j$列ベクトルという．また，各$i\in\bar{n}$に対して，写像
$$
\row{A}(i) \coloneqq \widehat{A^{\top}}(i) \colon \bar{m} \to \mathbb{K};\ j \mapsto A(i,j)$$
を$A$の第$i$行ベクトルという．
$(n,m)$行列$A$と$(m,\ell)$行列$B$とに対して，$(n,\ell)$行列$AB$が
$$
AB(i,k) = \sum_{j=1}^{m} A(i,j)B(j,k)$$
により定まるのだった．
- 各$k\in\bar{\ell}$に対して，
$$ \forall\,i\in\bar{n},\ \widehat{AB}(k)(i) = AB(i,k) = \sum_{j=1}^{m} A(i,j)B(j,k) = \sum_{j=1}^{n} \widehat{A}(j)(i)B(j,k)$$
より，
$$ \widehat{AB}(k) = \sum_{j=1}^{m} \widehat{A}(j)B(j,k)$$
が成り立つ． - 各$i\in\bar{n}$に対して，
$$ \forall\,k\in\bar{\ell},\ \row{AB}(i)(k) = AB(i,k) = \sum_{j=1}^{m} A(i,j)B(j,k) = \sum_{j=1}^{m} A(i,j)\row{B}(j)(k)$$
より，
$$ \row{AB}(i) = \sum_{j=1}^{m} A(i,j)\row{B}(j)$$
が成り立つ．
$(n,m)$行列$A$に対して，
$$
\rank{A} \coloneqq \dim\span\{\widehat{A}(1),\ldots,\widehat{A}(m)\}$$
を$A$の（列）ランクという．また，$A^{\top}$の列ランクを$A$の行ランクという．
明らかに
$$
\rank{A} \leq \min(n,m)$$
が成り立つ．
$$ \rank{AB} \leq \rank{A}.$$
各$k \in \bar{\ell}$に対して
$$
\widehat{AB}(k) = \sum_{j=1}^{m} \widehat{A}(j)B(j,k) \in \span\{\widehat{A}(1),\ldots,\widehat{A}(m)\}$$
が成り立つので，結論を得る．
$$ \rank{A^{\top}}=\rank{A}.$$
$(A^{\top})^{\top}=A$であるから，$\rank{A^{\top}}\leq\rank{A}$が成り立つことを示せばよい．
$r \coloneqq \rank{A}$とおく．線型独立な列ベクトル$\widehat{A}(j_{1}),\ldots,\widehat{A}(j_{r})$を取り，$(n,r)$行列$B$を
$$
B(i,k) \coloneqq A(i,j_{k}) \quad\leadsto\quad \widehat{B}(k) = \widehat{A}(j_{k}).$$
で定めると，各$j\in\bar{m}$に対して，$\widehat{A}(j)$は$\widehat{B}(1),\ldots,\widehat{B}(r)$の線型結合で書ける：
$$
\widehat{A}(j) = \sum_{k=1}^{r} \widehat{B}(k)\prescript{\exists}{}c_{kj}.$$
そこで$(r,m)$行列$C$を$C(k,j) \coloneqq c_{kj}$で定めると$A=BC$が成り立つので，rank-prod-lより
$$
\rank{A^{\top}} = \rank{C^{\top}B^{\top}} \leq \rank{C^{\top}} \leq \min(m,r) \leq r = \rank{A}$$
を得る．
$$ \rank{AB} = \rank{(AB)^{\top}} = \rank{B^{\top}A^{\top}} \leq \rank{B^{\top}} = \rank{B}.$$
任意の可逆行列$Q\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}),\,P\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})$に対して
$$
\rank{QAP}=\rank{A}$$
が成り立つ．
rank-prod-l，rank-prod-rより
$$
\rank{QAP} = \rank{(QA)P} \leq \rank{QA} \leq \rank{A}$$
が成り立つ．一方，$A = Q^{-1}(QAP)P^{-1}$であるから，
$$
\rank{A} \leq \rank{QAP}$$
が成り立つ．
$(n,m)$行列$A$のランクが$r$であるためには，可逆行列$Q\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}),\,P\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})$であって$QAP=E_{r}\oplus O_{n-r,m-r}$なるものが存在することが必要かつ十分である．
rank-equivより十分性は明らかなので，必要性を示す．$A=BC$をrank-tの証明における分解とする．$\rank{B}=r$であるから，$B$の線型独立な行ベクトルを選び出すことで，同様の分解$B=C'R$ができる．$\rank{R}=r$より，$r$次正方行列$R$は可逆であることに注意する．分解の仕方から，適当に置換行列$Q_{1},P_{1}$を取れば
$$
Q_{1}C' = \begin{bmatrix}
E_{r} \\ \huge{\ast}
\end{bmatrix},\ CP_{1} = \begin{bmatrix}
E_{r} & \huge{\ast}
\end{bmatrix}$$
とできる．よって，可逆行列$Q_{2},P_{2}$であって
$$
Q_{2}Q_{1}C' = \begin{bmatrix}
E_{r} \\ O_{n-r,r}
\end{bmatrix},\ CP_{1}P_{2} = \begin{bmatrix}
E_{r} & O_{r,m-r}
\end{bmatrix}$$
なるものを取り，
$$
Q \coloneqq (R^{-1} \oplus E_{n-r})Q_{2}Q_{1},\ P \coloneqq P_{1}P_{2}$$
とおけば，
$$
QAP = (R^{-1}\oplus E_{n-r})\begin{bmatrix}
E_{r} \\ O_{n-r,r}
\end{bmatrix}R\begin{bmatrix}
E_{r} & O_{r,m-r}
\end{bmatrix} = E_{r} \oplus O_{n-r,m-r}$$
が成り立つ．
実行列$A$のランクが$r$ならば，$A$を複素行列と見做したときのランクも$r$である．したがって
$$
\dim_{\mathbb{R}}\{x\in\mathbb{R}^{m} \mid Ax=0\} = m-r = \dim_{\mathbb{C}}\{z\in\mathbb{C}^{m} \mid Az=0\}$$
が成り立つ．
附：線型写像のランク
以下，有限次元線型空間のあいだの線型写像について考える．
線型写像$f \colon V \to W$に対して，
$$
\rank{f} \coloneqq \dim{f[V]}$$
を$f$のランクという．
- $f[V] \subset W$より$\rank{f} \leq \dim{W}$であり，次元定理より
$$ \rank{f} = \dim{V}-\dim\Ker{f} \leq \dim{V}$$
が成り立つ． - $(n,m)$行列$A$から定まる線型写像$f_{A} \colon \mathbb{K}^{m}\to\mathbb{K}^{n}$のランクについて，
$$ \rank{f_{A}} = \dim{f_{A}[\mathbb{K}^{m}]} = \dim\span\{\widehat{A}(1),\ldots,\widehat{A}(m)\} = \rank{A}$$
が成り立つ．
$f \colon U \to V,\,g \colon V \to W$を線型写像とする．
- $f$が全射ならば
$$ \rank{g \circ f} = \rank{g}$$
が成り立つ． - $g$が単射ならば
$$ \rank{g \circ f} = \rank{f}$$
が成り立つ．
- $f$の全射性より$(g \circ f)[U]=g[V]$が成り立つので，結論を得る．
- $g$の単射性より$g|f[U] \colon f[U] \to (g \circ f)[U]$は線型同型なので，結論を得る．
線型写像$f \colon V \to W$の表現行列のランクは$\rank{f}$に等しい．
$V$の基底$\beta$および$W$の基底$\gamma$に関する$f$の表現行列を$A$とおく：
$$
A(i,j) = \langle \gamma^{*}_{i},f\beta_{j} \rangle.$$
このとき以下の図式は可換である：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{K}^{\dim{V}}} \ar[rr]^{f_{A}} \ar[dd]_{L_{\beta}}^{\cong} && {\mathbb{K}^{\dim{W}}} \ar[dd]^{L_{\gamma}}_{\cong} \\ \\
{V} \ar[rr]_{f} && {W}
}$$
よってepi-monoより
$$
\rank{f}=\rank{f_{A}} = \rank{A}$$
を得る．
$f$の$(\beta,\gamma)$に関する表現行列が$A$であるとき，
$$
\langle \beta^{**}_{i},f^{\top}\gamma^{*}_{j} \rangle = \langle f^{\top}\gamma^{*}_{j},\beta_{i} \rangle = \langle \gamma^{*}_{j},f\beta_{i} \rangle = A(j,i)$$
より$f^{\top}$の$(\gamma^{*},\beta^{*})$に関する表現行列は$A^{\top}$であるから，
$$
\rank{f^{\top}} = \rank{A^{\top}}$$
が成り立つ．一方，
\begin{align}
w^{*} \in \Ker{f^{\top}}
&\iff \forall\,v \in V,\ \langle f^{\top}w^{*},v \rangle = 0 \\
&\iff \forall\,v \in V,\ \langle w^{*},fv \rangle = 0 \\
&\iff w^{*} \in f[V]^{\perp}
\end{align}
より$f[V] = (\Ker{f^{\top}})^{\perp}$となるので，
$$
\rank{f} = \dim{f[V]} = \dim(\Ker{f^{\top}})^{\perp} = \dim{W^{*}}-\dim\Ker{f^{\top}} = \dim{f^{\top}[W^{*}]}=\rank{f^{\top}}$$
が成り立つ．よって，
$$
\rank{A} = \rank{f_{A}} = \rank{f_{A}^{\top}} = \rank{A^{\top}}$$
を得る．
附：線型写像の核・像の基底
$(n,m)$行列$A$から定まる線型写像$A=f_{A} \colon \mathbb{K}^{m} \to \mathbb{K}^{n}$の核および像の基底を求めることを考える．
行基本変形と核の基底
$\rank{A}=r$とすると，行基本変形によって$A$を以下のような階段行列に変形できる：
$$
\exists\,Q\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}),\ j_{0}\coloneqq 0 < 1\leq \prescript{\exists}{}j_{1} <\cdots< \prescript{\exists}{}j_{r} \leq m < m+1 \eqqcolon j_{r+1}, \begin{dcases}
\widehat{QA}(j_{i}) = \epsilon^{n}_{i},\\[5pt]
j_{i} < \prescript{\forall}{}j < j_{i+1},\ QA(i+1,j) =\cdots= QA(n,j)=0.
\end{dcases}$$
よって，$\bar{j_{r}}\smallsetminus\{j_{1},\ldots,j_{r}\} = \{j'_{1} <\ldots< j'_{j_{r}-r}\}$とし
$$
\sigma \coloneqq \begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & r & r+1 & \cdots & j_{r} \\
j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{r} & j'_{1} & \cdots & j'_{j_{r}-r}
\end{pmatrix} \in \mathfrak{S}_{m}$$
とおくと，
$$
QAP_{\sigma} = \begin{bmatrix}
\widehat{QA}(\sigma(1)) & \cdots & \widehat{QA}(\sigma(r)) & \widehat{QA}(\sigma(r+1)) & \cdots & \widehat{QA}(\sigma(m))
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E_{r} & \prescript{\exists}{}B \\ O_{n-r,r} & O_{n-r,m-r}
\end{bmatrix}$$
となる．さらに，$Q,P_{\sigma}$の可逆性より
$$
\Ker{A} = \Ker{QA} = P_{\sigma}[\Ker{QAP_{\sigma}}]$$
が成り立つ．ところで，明らかに
$$
y_{k} \coloneqq \begin{bmatrix}
-\widehat{B}(k) \\ \epsilon^{m-r}_{k}
\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^{m},\ 1 \leq k \leq m-r$$
は$\Ker{QAP_{\sigma}}$に属する線型独立なベクトルなので，
$$
x_{k} \coloneqq P_{\sigma}y_{k} = \begin{bmatrix}
y_{\sigma^{-1}(1),k} \\ \vdots \\ y_{\sigma^{-1}(m),k}
\end{bmatrix},\ 1 \leq k \leq m-r$$
が$\Ker{A}$の基底をなす．
$j'_{j_{r}-r+1} \coloneqq j_{r}+1 <\cdots< j'_{m-r} \coloneqq m$とおく．$\widehat{B}(k)$は$\widehat{QA}(\sigma(r+k))=\widehat{QA}(j'_{k})$の$r+1$行以下を切り捨てたものである．行列$B$の下部に零行列$O_{m-r,m-r}$を付け足して得られる$(m,m-r)$行列を$B'$とおくと
$$
y_{k} = -\widehat{B'}(k)+\epsilon^{m}_{r+k}$$
であるから，$j_{i} < j'_{k} < j_{i+1}$のとき，$QA(i+1,j'_{k}) =\cdots= QA(n,j'_{k})=0$より
$$
x_{k} = -\begin{bmatrix}
B'(\sigma^{-1}(1),k) \\ \vdots \\ B'(\sigma^{-1}(m),k)
\end{bmatrix} + \epsilon^{m}_{\sigma(r+k)} \quad\leadsto\quad x_{\ell,k} = \begin{dcases}
-QA(i',j'_{k}) & \ell=j_{i'},\ 1 \leq i' \leq i \\
1 & \ell=j'_{k} \\
0 & \text{otherwise}
\end{dcases}$$
となる．したがって，$-\row{QA}(i),\,1 \leq i \leq r,\,$を第$j_{i}$行とするような$m$次正方行列と$E_{m}$との和を$A'$とおくと，
$$
\widehat{A'}(j'_{1}),\ldots,\widehat{A'}(j'_{m-r})$$
が$\Ker{A}$の基底を与える．
$(3,4)$行列
$$
A \coloneqq \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
3 & 6 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 1 & 3
\end{bmatrix}$$
について，
$$
\prescript{\exists}{}QA = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
より$j_{1}=1,j_{2}=3,\,j'_{1}=2,j'_{2}=4$であり，
$$
A' = \begin{bmatrix}
-1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} + E_{4} = \begin{bmatrix}
0 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
となるので，
$$
\widehat{A'}(j'_{1}) = \widehat{A'}(2) = \begin{bmatrix}
-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix},\ \widehat{A'}(j'_{2}) = \widehat{A'}(4) = \begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix}$$
が$\Ker{A}$の基底をなす．
列基本変形と像の基底
可逆行列$P \in \mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})$に対して$\im A = \im AP$が成り立つので，列基本変形によって$\im A$の基底が求まる（cf. rank-tの証明）．
行基本変形により上記のような階段行列$QA$が得られたとすると，
$$
\im{A} = Q^{-1}[\im{QA}] = Q^{-1}[\span\{\widehat{QA}(j_{1}),\ldots,\widehat{QA}(j_{r})\}] = \span\{\widehat{A}(j_{1}),\ldots,\widehat{A}(j_{r})\}$$
より，$\widehat{A}(j_{1}),\ldots,\widehat{A}(j_{r})$が像の基底をなす．
