『代数函数論』補題1.5

${\nu }_1$は正規付値なので，${\nu }_1(a)=1$なる元$a$が存在します．
補題2の不等式をみたす$x$を用いて，試しに$x_1=ax+(x-1)$としてみましょう．$x_1=a+(x-1)(a+1)$です．${\nu }_1(x-1)\ge 1$,${\nu }_1(a+1)=0$より，${\nu }_1((x-1)(a+1))\ge 1$なので，${\nu }_1(x_1)=1$が出ません．$i\ge 2$についてはどうでしょうか．${\nu }_i(ax+(x-1))$で，${\nu }_i(ax)={\nu }_i(a)+{\nu }_i(x)$，${\nu }_i(x-1)=0$です．ちょっとどうしようもないですね．${\nu }_i(ax)>0$だと嬉しいんですけど．処方箋として次のようなことができます．
補題2の不等式をみたす$x$を用いて，$x_1=a{x}^m+(x-1{)}^m$としてみましょう．これは$i\ge 2$のとき，${\nu }_i(a{x}^m)={\nu }_i(a)+m{\nu }_i(x)$，${\nu }_i((x-1{)}^m)=m{\nu }_i(x-1)=0$です．よって$m$が十分大きければ${\nu }_i(x_1)=0$となってくれます！さて，${\nu }_1(x_1)=1$を示さなければいけません．ちょっと計算すると，$a{x}^m+(x-1{)}^m=a+(x-1)(a{\displaystyle \frac{x^m-1}{x-1}}+(x-1{)}^{m-1})$が分かります．$m$が十分大きいときに，${\nu }_1(a{\displaystyle \frac{x^m-1}{x-1}}+(x-1{)}^{m-1})\ge 1$であることを示します．${\nu }_1\left(a{\displaystyle \frac{x^m-1}{x-1}}\right)=1+{\nu }_1(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots +x+1)\ge 1$ですね．よって$m\ge 2$であれば${\nu }_1(a{\displaystyle \frac{x^m-1}{x-1}}+(x-1{)}^{m-1})\ge 1$が成り立つことが分かります．よって${\nu }_1((x-1)(a{\displaystyle \frac{x^m-1}{x-1}}+(x-1{)}^{m-1}))\ge 2$なので，${\nu }_1(x_1)=1$です．
同様のことを$x_2,x_3,\cdots ,x_n$にすれば証明完了です．