ケイリー＝ディクソンの構成法から四元数の行列表現まで

シリーズ： 四元数の行列表現

複素数の組から四元数を合成するためのケイリー＝ディクソンの構成法を確認して、そこから発見的に行列表現を導出します。

ケイリー＝ディクソンの構成法

ケイリー＝ディクソンの構成法は、代数を合成して高次元の代数を得るための規則です。wiki-cd

四元数$a+bi+cj+dk$を2つの複素数$p=a+bi,q=c+di(a,b,c,d\in \mathbb{R})$の組として表現します。複素数の虚数単位$i$は、表記を維持したまま四元数の虚数単位$i$として埋め込みます。($\mathbb{C}\hookrightarrow \mathbb{H}$)

$$a+bi+cj+dk=(a+bi)+(c+di)j=p+qj$$

$j$が（四元数の部分代数としての）複素数と交換するとき、複素数を共役に変化させます。共役を$\ast$で表記します。

これを利用して、複素数$r,s$で構成される四元数$r+sj$との積を計算します。

$$\begin{array}{rl}(p+qj)(r+sj)& =pr+psj+qjr+qjsj\\ & =pr+psj+q{r}^{\ast }j+q{s}^{\ast }{j}^2\\ & =(pr-q{s}^{\ast })+(ps+q{r}^{\ast })j\end{array}$$

複素数の組を順序対として表記したものが、ケイリー＝ディクソンの構成法と呼ばれます。

目標設定

ケイリー＝ディクソンの構成法を出発点にして、四元数の行列表現を導出します。イメージを示します。

$$\left(\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}pr-q{s}^{\ast }\\ ps+q{r}^{\ast }\end{array}\right)$$

仮計算

未知の成分に変数を割り当てて計算します。

$$\left(\begin{array}{cc}w& x\\ y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}wr+xs\\ yr+zs\end{array}\right)$$

この結果を目標の成分と比較します。

$$\left(\begin{array}{c}wr+xs\\ yr+zs\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}pr-q{s}^{\ast }\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

両辺を見比べることで、共役の不一致はひとまず無視して対応を推定します。

$$\left(\begin{array}{cc}w& x\\ y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right)$$

改めて計算して比較します。

$$\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}pr-qs\\ qr+ps\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}pr-q{s}^{\ast }\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

第2成分の一致

まず第2成分を合わせることに焦点を当てます。行列計算の第2成分 $qr+ps$ が目標の $q{r}^{\ast }+ps$ と一致するには、$r$ を $r^{\ast }$ に置き換える必要があります。

そこで四元数のベクトル表現を修正します：

$$\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}^{\ast }\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p{r}^{\ast }-qs\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}pr-q{s}^{\ast }\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

これにより第2成分は目標と一致しましたが、第1成分にはまだ不一致があります。

目標値の調整

$\left(\begin{array}{c}{r}^{\ast }\\ s\end{array}\right)$の第1成分は共役になっていますが、これはベクトル表現に共通すると考えられます。

そこで目標値の第1成分の共役を取ります。

$$\left(\begin{array}{c}pr-q{s}^{\ast }\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}(pr-q{s}^{\ast }{)}^{\ast }\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}^{\ast }{r}^{\ast }-q^{\ast }s\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

行列表現の調整

改めてここまでの計算式と比較します。

$$\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}^{\ast }\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p{r}^{\ast }-qs\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}{p}^{\ast }{r}^{\ast }-q^{\ast }s\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

目標値と一致させるため、行列の第1行の共役を取ります。

$$\left(\begin{array}{cc}{p}^{\ast }& -q^{\ast }\\ q& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}^{\ast }\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}^{\ast }{r}^{\ast }-q^{\ast }s\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}{p}^{\ast }{r}^{\ast }-q^{\ast }s\\ q{r}^{\ast }+ps\end{array}\right)$$

無事に目標値と一致しました！

まとめ

$p=a+bi,q=c+di$の関係を展開して、四元数と行列を比較します。

$$(a+bi)+(c+di)j⟺\left(\begin{array}{cc}(a+bi{)}^{\ast }& -(c+di{)}^{\ast }\\ c+di& a+bi\end{array}\right)$$

これは発見的に構成した行列表現と一致します。7shi-qcm