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2つのq級数の部分分数分解

前の記事で示した公式
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(c, q / c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
は右辺の部分分数分解を与えていると見ることができる. その類似として, Watsonによる公式は
$\begin{aligned} \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(c; q)_{n + 1} (q / c; q)_{n}} \\ \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n}}{(c, q / c; q)_{n + 1}} \end{aligned}$
と表され, これも部分分数分解を与えている. 今回はWatsonの変換公式を用いて2つの $q$ 級数の部分分数分解を示す.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q^{2})_{n} q^{n^{2}}}{(c; q^{2})_{n + 1} (q^{2} / c; q^{2})_{n}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} \end{aligned}$

Watsonの変換公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, b, c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{N + 1}; q)_{n}} {(\frac{a^{2} q^{N + 2}}{b c d e})}^{n} \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{N}}{(a q / d, a q / e; q)_{N}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q / b c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c, d e q^{- N} / a; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
において, $a \to 1, e \to \infty, N \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c, d; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q / b, q / c, q / d; q)_{n}} {(\frac{q}{b c d})}^{n} = \frac{(q; q)_{\infty}}{(q / d; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b c, d; q)_{n}}{(q, q / b, q / c; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} {(\frac{q}{d})}^{n} \end{aligned}$
ここで, $q \mapsto q^{2}, b = 1 / c, d = q$ とすると, $\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 - c) (1 - c^{- 1}) q^{2 n^{2} + n}}{(1 - c q^{2 n}) (1 - c^{- 1} q^{2 n})} = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q^{2})_{n}}{(c q^{2}, q^{2} / c; q^{2})_{n}} (- 1)^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$
よって,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q^{2})_{n} q^{n^{2}}}{(c; q^{2})_{n + 1} (q^{2} / c; q^{2})_{n}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(c - 1) q^{2 n^{2} + n}}{(1 - c q^{2 n}) (c - q^{2 n})} \\ = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{1}{1 + q^{2 n}} (\frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} + \frac{q^{2 n^{2} - n}}{1 - c q^{- 2 n}}) \\ = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} (\frac{1}{1 + q^{2 n}} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} + \frac{1}{1 + q^{- 2 n}} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}}) \\ = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} \end{aligned}$
となって定理を得る.

$\begin{aligned} \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (1 - q^{2 n + 1}) q^{(n + 1) (2 n + 1)}}{(1 - c q^{2 n + 1}) (1 - q^{2 n + 1} / c)} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{(n + 1)^{2}}}{(c q, q / c; q^{2})_{n + 1}} \end{aligned}$

Watsonの変換公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, b, c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{N + 1}; q)_{n}} {(\frac{a^{2} q^{N + 2}}{b c d e})}^{n} \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{N}}{(a q / d, a q / e; q)_{N}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q / b c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(q, a q / b, a q / c, d e q^{- N} / a; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
において, $a = q, e \to \infty, N \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{1 - q^{2 n + 1}}{1 - q} \frac{(b, c, d; q)_{n} q^{n^{2}}}{(q^{2} / b, q^{2} / c, q^{2} / d; q)_{n}} {(\frac{q^{3}}{b c d})}^{n} \\ = \frac{(q^{2}; q)_{\infty}}{(q^{2} / d; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{2} / b c, d; q)_{n}}{(q, q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} {(\frac{q^{2}}{d})}^{n} \end{aligned}$
ここで, $q \mapsto q^{2}, c \mapsto c q, b = q / c, d = - q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{1 - q^{2 n + 1}}{1 - q} \frac{(- 1)^{n} (1 - q / c) (1 - c q) q^{2 n^{2} + 3 n}}{(1 - q^{2 n + 1} / c) (1 - c q^{2 n + 1})} = \frac{(q^{4}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{3}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n}}{(c q^{3}, q^{3} / c; q^{2})_{n}} q^{n^{2} + 2 n} \end{aligned}$
よって, 両辺に
$\begin{array}{r} \frac{q (1 - q)}{(1 - q / c) (1 - c q)} \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{array}$
を掛けて定理を得る.

系として, $c = 1$ とすると以下を得る.
$\begin{aligned} \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{(n + 1) (2 n + 1)}}{1 - q^{2 n + 1}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{(n + 1)^{2}}}{(q; q^{2})_{n + 1}^{2}} \end{aligned}$