2つのq級数の部分分数分解
前の記事
で示した公式
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(c,q/c;q)_{\infty}}
\end{align}
は右辺の部分分数分解を与えていると見ることができる. その類似として,
Watsonによる公式
は
\begin{align}
\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-cq^n}&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(c;q)_{n+1}(q/c;q)_n}\\
\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1-cq^n}&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+n}}{(c,q/c;q)_{n+1}}
\end{align}
と表され, これも部分分数分解を与えている. 今回はWatsonの変換公式を用いて2つの$q$級数の部分分数分解を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q^2)_nq^{n^2}}{(c;q^2)_{n+1}(q^2/c;q^2)_n}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}} \end{align}
Watsonの変換公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n
\end{align}
において, $a\to 1, e\to\infty, N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c,d;q)_nq^{n^2}}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n=\frac{(q;q)_{\infty}}{(q/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,d;q)_n}{(q,q/b,q/c;q)_n}(-1)^nq^{\binom n2}\left(\frac{q}{d}\right)^n
\end{align}
ここで, $q\mapsto q^2, b=1/c, d=q$とすると,\begin{align}
&\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-c)(1-c^{-1})q^{2n^2+n}}{(1-cq^{2n})(1-c^{-1}q^{2n})}=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q;q^2)_n}{(cq^2,q^2/c;q^2)_n}(-1)^nq^{n^2}
\end{align}
よって,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q^2)_nq^{n^2}}{(c;q^2)_{n+1}(q^2/c;q^2)_n}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(c-1)q^{2n^2+n}}{(1-cq^{2n})(c-q^{2n})}\\
&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{1+q^{2n}}\left(\frac {q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}}+\frac{q^{2n^2-n}}{1-cq^{-2n}}\right)\\
&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac 1{1+q^{2n}}\frac {q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}}+\frac 1{1+q^{-2n}}\frac{q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}}\right)\\
&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac {q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}}\\
\end{align}
となって定理を得る.
\begin{align} \frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(1-q^{2n+1})q^{(n+1)(2n+1)}}{(1-cq^{2n+1})(1-q^{2n+1}/c)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{(n+1)^2}}{(cq,q/c;q^2)_{n+1}} \end{align}
Watsonの変換公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n
\end{align}
において, $a=q, e\to\infty, N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{1-q^{2n+1}}{1-q}\frac{(b,c,d;q)_nq^{n^2}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d;q)_n}\left(\frac{q^{3}}{bcd}\right)^n\\
&=\frac{(q^2;q)_{\infty}}{(q^2/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^2/bc,d;q)_n}{(q,q^2/b,q^2/c;q)_n}(-1)^nq^{\binom n2}\left(\frac{q^2}{d}\right)^n
\end{align}
ここで, $q\mapsto q^2, c\mapsto cq, b=q/c, d=-q$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{1-q^{2n+1}}{1-q}\frac{(-1)^n(1-q/c)(1-cq)q^{2n^2+3n}}{(1-q^{2n+1}/c)(1-cq^{2n+1})}=\frac{(q^4;q^2)_{\infty}}{(-q^3;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_n}{(cq^3,q^3/c;q^2)_n}q^{n^2+2n}
\end{align}
よって, 両辺に
\begin{align}
\frac{q(1-q)}{(1-q/c)(1-cq)}\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
を掛けて定理を得る.
系として, $c=1$とすると以下を得る.
\begin{align}
\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{(n+1)(2n+1)}}{1-q^{2n+1}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{(n+1)^2}}{(q;q^2)_{n+1}^2}
\end{align}
