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位数3のモックテータ関数の間の関係式

位数3のモックテータ関数を以下のように定義する.
\begin{align} f(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(-q;q)_n^2}\\ \phi(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(-q^2;q^2)_n}\\ \psi(q)&=\sum_{0< n}\frac{q^{n^2}}{(q;q^2)_n}\\ \chi(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{\prod_{k=1}^n(1-q^k+q^{2k})}\\ \omega(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n(n+1)}}{(q;q^2)_{n+1}^2}\\ \nu(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n(n+1)}}{(-q;q^2)_{n+1}}\\ \rho(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n(n+1)}}{\prod_{k=0}^{n}(1+q^{2k+1}+q^{4k+2})} \end{align}

最初に2つ定理を用意する.

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n(-c/b)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}\\ &=\frac{(cq/b,bc;q^2)_{\infty}}{(-b,c;q)_{\infty}(q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n(-1)^nq^{n^2}}{(bc,q^2;q^2)_n}\\ &\qquad+\frac{b(c/b,bcq;q^2)_{\infty}}{(-b,c;q)_{\infty}(q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n(-1)^nq^{n^2+2n}}{(bcq,q^2;q^2)_n} \end{align}

前の記事の定理2
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n(b;q)_n}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n}(t;q^2)_n}{(q;q)_{2n}(at;q^2)_n}b^{2n}\\ &\qquad+\frac{(b;q)_{\infty}(atq;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(tq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n+1}(tq;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}(atq;q^2)_n}b^{2n+1} \end{align}
において, $a=cq/bt$としてから$t\to 0$とすると,

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n(-c/b)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}&=\frac{(b;q)_{\infty}(cq/b;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n}}{(q;q)_{2n}(cq/b;q^2)_n}b^{2n}\\ &\qquad+\frac{(b;q)_{\infty}(cq^2/b;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n+1}}{(q;q)_{2n+1}(cq^2/b;q^2)_n}b^{2n+1}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}(cq/b;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q^2)_{n}}{(q,q^2;q^2)_{n}}b^{2n}\\ &\qquad+\frac{b(b;q)_{\infty}(c/b;q^2)_{\infty}}{(1-q)(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(cq/b;q^2)_n}{(q^2,q^3;q^2)_n}b^{2n} \end{align}
ここで, Heineの変換公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q^2)_{n}}{(q,q^2;q^2)_{n}}b^{2n}&=\frac{(bc;q^2)_{\infty}}{(q,b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n(-1)^nq^{n^2}}{(bc,q^2;q^2)_n}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(cq/b;q^2)_n}{(q^2,q^3;q^2)_n}b^{2n}&=\frac{(bcq;q^2)_{\infty}}{(q^3,b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n(-1)^nq^{n^2+2n}}{(bcq,q^2;q^2)_n} \end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_nq^{\frac 12n(n+1)}}{(c,q;q)_n}\\ &=\frac{(-q;q)_{\infty}(bq,c^2/b;q^2)_{\infty}}{(c,-c/b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b;q^2)_n(c/b)^{2n}q^{2n^2-n}}{(q;q)_{2n}(c^2/b;q^2)_n}\\ &\qquad+\frac{(-q;q)_{\infty}(b,c^2q/b;q^2)_{\infty}}{(c,-c/b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bq;q^2)_n(c/b)^{2n+1}q^{2n^2+n}}{(q;q)_{2n+1}(c^2q/b;q^2)_n} \end{align}

Heineの変換公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_nq^{\frac 12n(n+1)}}{(c,q;q)_n}&=\frac{(b,-q;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_nb^n}{(-q,q;q)_n}\\ &=\frac{(b,-q;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c^2/b^2;q^2)_nb^n}{(q^2;q^2)_n(-c/b;q)_n} \end{align}
ここで, 前の記事の定理2
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n(b;q)_n}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n}(t;q^2)_n}{(q;q)_{2n}(at;q^2)_n}b^{2n}\\ &\qquad+\frac{(b;q)_{\infty}(atq;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(tq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n+1}(tq;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}(atq;q^2)_n}b^{2n+1} \end{align}
において, $b\to 0$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}t^n&=\frac{(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-c)^{2n}q^{2n^2-n}(t;q^2)_n}{(q;q)_{2n}(at;q^2)_n}\\ &\qquad+\frac{(atq;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(tq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-c)^{2n+1}q^{2n^2+n}(tq;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}(atq;q^2)_n} \end{align}
であり, ここで$a=c^2/b^2, t=b, c\mapsto -c/b$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c^2/b^2;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n(-c/b;q)_n}b^n&=\frac{(c^2/b;q^2)_{\infty}}{(c/b;q)_{\infty}(b;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b)^{2n}q^{2n^2-n}(b;q^2)_n}{(q;q)_{2n}(c^2/b;q^2)_n}\\ &\qquad+\frac{(c^2q/b;q^2)_{\infty}}{(c/b;q)_{\infty}(bq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b)^{2n+1}q^{2n^2+n}(bq;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}(c^2q/b;q^2)_n} \end{align}
が得られる.これを代入して定理を得る.

これらの定理を用いてモックテータ関数の間の等式を示していく.

\begin{align} 2\phi(-q)-f(q)&=f(q)+4\psi(-q)=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}^2} \end{align}

定理1において, $b=q, c=-q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(-q;q)_n^2}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(-q^2;q^2)_n}+2q\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2+2n}}{(-q;q^2)_{n+1}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(-q^2;q^2)_n}-2\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(-q;q^2)_{n}} \end{align}
よって, $f(q)=\phi(-q)-2\psi(-q)$である. また, 定理1において, $b=-q, c=q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n^2}=\frac{(-q;q)_{\infty}^2}{(q;q)_{\infty}^2}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(-q^2;q^2)_n}+2\frac{(-q;q)_{\infty}^2}{(q;q)_{\infty}^2}\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(-q;q^2)_n} \end{align}
である. ここで, Heineの和公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n&=\frac{(c,c/ab;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}} \end{align}
において, $a,b\to\infty, c=q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n^2}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}} \end{align}
であるから, これを代入すれば
\begin{align} \phi(-q)+2\psi(-q)&=\frac{(-q;q)_{\infty}^2}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. これと$f(q)=\phi(-q)-2\psi(-q)$を合わせて定理を得る.

\begin{align} 2\rho(q)+\omega(q)&=\frac{3(q^6;q^6)_{\infty}^2}{(q^2;q^2)_{\infty}(q^3;q^6)_{\infty}^2} \end{align}

Watsonによる公式
\begin{align} \omega(q)&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}(1+q^{2n+1})}{1-q^{2n+1}}\\ \rho(q)&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}(1-q^{4n+2})}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}} \end{align}
を用いると,
\begin{align} 2\rho(q)+\omega(q)&=\frac{3}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}(1+q^{6n+3})}{1-q^{6n+3}}\\ &=\frac{3}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{1-q^{6n+3}}\\ &=\frac{3}{(q^2;q^2)_{\infty}}\frac{(q^6;q^6)_{\infty}^2}{(q^3;q^6)_{\infty}^2} \end{align}
となって示すべきことが得られた. ここで, 最後の等号は Lambert級数の等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}
による.

\begin{align} 4\chi(q)-f(q)&=\frac{3(q^3;q^3)_{\infty}^2}{(q;q)_{\infty}(-q^3;q^3)_{\infty}^2} \end{align}

Watsonによる公式
\begin{align} \chi(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\left(1+\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(1+q^n)q^{\frac 12n(3n+1)}}{1-q^n+q^{2n}}\right)\\ f(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\left(1+4\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^n}\right) \end{align}
を用いると,
\begin{align} 4\chi(q)-f(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\left(3+4\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^{3n}}((1+q^n)^2-(1-q^n+q^{2n}))\right)\\ &=\frac{3}{(q;q)_{\infty}}\left(1+4\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1+q^{3n}}\right)\\ &=\frac{6}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1+q^{3n}}\\ &=\frac{3}{(q;q)_{\infty}}\frac{(q^3;q^3)_{\infty}^2}{(-q^3;q^3)_{\infty}^2} \end{align}

ここで, 最後の等号は Lambert級数の等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}
による.

\begin{align} \nu(q)+q\omega(q^2)&=\frac{(q^4;q^4)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}^2} \end{align}

定理2において, $q\mapsto q^2, b=q^2, c=q^3$として両辺を$1-q$で割ると
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{(-q^2;q^2)_{\infty}(q^4;q^4)_{\infty}^2}{(q,-q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{q^{4n^2}}{(q^4;q^4)_n^2}\\ &\qquad+\frac{(-q^2;q^2)_{\infty}(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q,-q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{q^{4n^2+4n+1}}{(q^2;q^4)_{n+1}^2}\\ &=\frac{(q^4;q^4)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}^2}+q\omega(q^2) \end{align}
となる. ここで, 最後の等号には定理3の証明途中で示した
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n^2}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}} \end{align}
を用いた. $q\mapsto -q$とすると,
\begin{align} \nu(q)&=\frac{(q^4;q^4)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}^2}-q\omega(q^2) \end{align}
となって示すべき等式が得られた.