Well-poised 2-balanced 6F5の変換公式のq類似

今回は 前の記事 で示したWell-poised 2-balanced 6F5の変換公式の$q$類似を示したいと思う.

Baileyのterminating ${}_{10}\phi_9$変換公式
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{n+1}}{q}\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_n}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_n}\Q{10}9{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-n}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{n+1}}q\\ &w=a^2q/bcd,\qquad a^3q^{n+2}=bcdefg \end{align}
において, $e=\sqrt a,f=\sqrt{aq}$としてから$g\mapsto e$とすると以下を得る.

以下
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x)=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{x} \end{align}
という記法を用いる. 次に, Baileyの4項変換公式 は, $w=a^2q/cde, a^3q^2=bcdefgh$のとき,
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ &\quad+\frac{(aq,b/a,c,d,e,f,g,h,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,bq/g,bq/h;q)_{\infty}}{(b^2q/a,a/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\quad\qquad\cdot\, W(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)\\ &=\frac{(aq,b/a,wq/f,wq/g,w q/h,bf/w,bg/w,bh/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)\\ &\qquad +\frac{(aq,b/a,f,g,h,bq/f,bq/g,bq/h,wc/a,wd/a,we/a,abq/wc,abq/wd,abq/we;q)_{\infty}}{(b^2q/w,w/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,bg/w,bh/w;q) \end{align}
が成り立つというものである. ここで, $g=\sqrt a,h=\sqrt{aq}$とすると以下を得る.

これは定理1のnon-terminatingへの一般化である. ここで, $n$を非負整数として$a\to q^{-n}$とすると,

\begin{align} &\Q{7}6{q^{-n},-q^{1-\frac n2},b,c,d,e,f}{-q^{-\frac n2},q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q^{1-n}/f}q\\ &=\lim_{a\to q^{-n}}\frac{(aq,bq^n,wq/f,wq^{1+\frac n2},wq^{\frac{n+1}2},bf/w,bq^{-\frac n2}/w,bq^{\frac{1-n}2}/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,q^{1-n}/f,\sqrt aq,\sqrt{aq},bfq^n,bq^{\frac n2},bq^{\frac{n+1}2};q)_{\infty}}W(w;b,wcq^n,wdq^n,weq^n,f,q^{-\frac n2},q^{\frac{1-n}2};q) \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} \lim_{a\to q^{-n}}\frac{(aq;q)_{\infty}}{(\sqrt aq,\sqrt{aq};q)_{\infty}}&=\lim_{a\to q^{-n}}\frac{(aq;q)_{\infty}}{(\sqrt{aq};q^{\frac 12})_{\infty}}\\ &=\frac{(q^{1-n};q)_{n-1}(q;q)_{\infty}}{(q^{\frac{1-n}2};q^{\frac 12})_{n-1}(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{\infty}}\lim_{a\to q^{-n}}\frac{1-aq^n}{1-\sqrt aq^{\frac n2}}\\ &=2\frac{(q;q)_{n-1}q^{-\frac 12\binom n2}(q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{n-1}(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{\infty}}\\ &=\frac{(-1;q^{\frac 12})_{n}q^{-\frac 12\binom n2}(q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{\infty}} \end{align}
となることから,
\begin{align} &\Q{7}6{q^{-n},-q^{1-\frac n2},b,c,d,e,f}{-q^{-\frac n2},q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q^{1-n}/f}q\\ &=\frac{(-1;q^{\frac 12})_{n}q^{-\frac 12\binom n2}(q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{\infty}}\frac{(bq^n,wq/f,wq^{1+\frac n2},wq^{\frac{n+1}2},bf/w,bq^{-\frac n2}/w,bq^{\frac{1-n}2}/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,q^{1-n}/f,bfq^n,bq^{\frac n2},bq^{\frac{n+1}2};q)_{\infty}}W(w;b,wcq^n,wdq^n,weq^n,f,q^{-\frac n2},q^{\frac{1-n}2};q) \end{align}
となる. $q\mapsto q^2$とすると, $w=bf/q$となり,
\begin{align} &\Q{7}6{q^{-2n},-q^{2-n},b,c,d,e,f}{-q^{-n},q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(-1;q)_{n}q^{-\binom n2}(q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\frac{(bq^{2n},wq^2/f,wq^{n+2},wq^{n+1},bf/w,bq^{-n}/w,bq^{1-n}/w;q^2)_{\infty}}{(wq^2,b/w,q^{2-2n}/f,bfq^{2n},bq^{n},bq^{n+1};q^2)_{\infty}}W(w;b,wcq^{2n},wdq^{2n},weq^{2n},f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\ &=\frac{(-1;q)_{n}q^{-\binom n2}(q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\frac{(bq^{2n},bq,bfq^{n+1},bfq^{n},q,q^{1-n}/f,q^{2-n}/f;q^2)_{\infty}}{(bfq,q/f,q^{2-2n}/f,bfq^{2n},bq^{n},bq^{n+1};q^2)_{\infty}}W(w;b,wcq^{2n},wdq^{2n},weq^{2n},f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\ &=\frac{(-1,b,q^{1-n}/f;q)_n(bf;q^2)_n}{(b,q^{2-2n}/f;q^2)_n(bf;q)_n}q^{-\binom n2}W(w;b,wcq^{2n},wdq^{2n},weq^{2n},f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\ &=\frac{(-1,b,f;q)_n(bf;q^2)_n}{(b,f;q^2)_n(bf;q)_n}W(w;b,wcq^{2n},wdq^{2n},weq^{2n},f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2) \end{align}
となる. ここで, 左辺は
\begin{align} &\Q{7}6{q^{-2n},-q^{2-n},b,c,d,e,f}{-q^{-n},q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},b,c,d,e,f;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f;q^2)_k}q^{2k} \end{align}
であり, $k\mapsto n-k$の変換によって
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{q^{2k-n}(q^{-2n},b,c,d,e,f;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f;q^2)_k}q^{2k}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-2n},b,c,d,e,f;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f;q^2)_k}q^{2k}\\ \end{align}
となることから,
\begin{align} &\Q{7}6{q^{-2n},-q^{2-n},b,c,d,e,f}{-q^{-n},q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\ &=\frac{2q^n}{1+q^n}\Q65{q^{-2n},b,c,d,e,f}{q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\ \end{align}
を得る. よって変数を置き換えて以下が得られる.

これは 前の記事 の定理3の一般化を与えている.