Nearly-poised 4F3の変換公式のq類似2
前の記事 でnearly-poised${}_4F_3$の変換公式のVerma-Jainによる$q$類似を示した. 今回はその特別な場合であるwell-poisedの場合について考えていきたいと思う. まず, 前の記事 の系1において, $w=aq^{N+1}$とすると以下を得る.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
&\Q54{a^2,-aq^2,b^2,c^2,q^{-2N}}{-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,a^2q^{2N+2}}{q^2;\frac{a^2q^{2N+3}}{b^2c^2}}=\frac{(-aq,q^{N+1};q)_N}{(-q,aq^{N+1};q)_N}\Q43{a^2q^2/b^2c^2,a,aq,q^{-2N}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,q^{1-2N}}{q^2;q^2}
\end{align}
が成り立つ.
これは
古典的な場合の結果
と
\begin{align}
\F43{a,b,c,-N}{1+a-b,1+a-c,1+a+N}1=\frac{(1+N)_N}{(1+a+N)_N}\F43{1+a-b-c,\frac a2,\frac{a+1}2,-N}{1+a-b,1+a-c,\frac 12-N}1
\end{align}
と比較して,
\begin{align}
\frac{(-aq^2;q^2)_n}{(-a;q^2)_n}&=\frac{1+aq^{2n}}{1+a}
\end{align}
がついていることによって, 右辺が${}_5\phi_4$になっているという違いがある. 定理1は
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
の特別な場合にもなっている.
定理1において, $N\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align}
&\Q44{a^2,-aq^2,b^2,c^2}{-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,0}{q^2;\frac{a^2q^{3}}{b^2c^2}}=\frac{(-aq;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\Q32{a^2q^2/b^2c^2,a,aq}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2}{q^2;q}
\end{align}
が成り立つ.
次に, Watsonの${}_8\phi_7$変換公式 において, $q\mapsto q^2, a\mapsto a^2, b\mapsto b^2,c\mapsto c^2,d=a,e=-a$とすると, 以下を得る.
\begin{align} \Q43{a^2,b^2,c^2,q^{-2N}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,a^2q^{2N+2}}{q^2;-\frac{a^2q^{2N+4}}{b^2c^2}}&=\frac{(a^2q^2,-q^2;q^2)_N}{(aq^2,-aq^2;q^2)_N}\Q43{a^2q^2/b^2c^2,a,-a,q^{-2N}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,-q^{-2N}}{q^2;q^2} \end{align}
これは定理1の類似となっているが, 引数が異なっている. 定理1と引数が同じ
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c^2,q^{-2N}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,a^2q^{2N+2}}{q^2;\frac{a^2q^{2N+3}}{b^2c^2}}
\end{align}
に対して似たような変換公式があるかどうかはWatsonの変換公式からはよく分からないところである.
次に,
前の記事
の定理2において, $a=q^{-N}$とすると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1+q^{2n-N})(q^{-2N},b^2,c^2;q^2)_n}{(1+q^{-N})(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2;q^2)_n}\frac{(-q^{1-N}/w,d;q)_n}{(w,-q^{1-N}/d;q)_n}\left(\frac{wq^{2-N}}{b^2c^2d}\right)^n\\
&=\frac{(-q^{1-N},w/d;q)_N}{(-q^{1-N}/d,w;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{2-2N}/b^2c^2,q^{-N},q^{1-N},d^2,q^{2-2N}/w^2;q^2)_n}{(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,dq^{1-N}/w,dq^{2-N}/w;q^2)_n}q^{2n}
\end{align}
を得る. ここで, $w=q^{1-N}/d$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1+q^{2n-N})(q^{-2N},b^2,c^2,d^2;q^2)_n}{(1+q^{-N})(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,q^{2-2N}/d^2;q^2)_n}\left(\frac{q^{3-2N}}{b^2c^2d^2}\right)^n\\
&=\frac{(-q^{1-N},q^{1-N}/d^2;q)_N}{(-q^{1-N}/d,q^{1-N}/d;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{2-2N}/b^2c^2,q^{-N},q^{1-N},d^2;q^2)_n}{(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,d^2q;q^2)_n}q^{2n}\\
&=\frac{(-1,d^2;q)_N}{(d^2;q^2)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{2-2N}/b^2c^2,q^{-N},q^{1-N},d^2;q^2)_n}{(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,d^2q;q^2)_n}q^{2n}
\end{align}
を得る. ここで, 左辺は$n\mapsto N-n$によって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n-N}(q^{-2N},b^2,c^2,d^2;q^2)_n}{(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,q^{2-2N}/d^2;q^2)_n}\left(\frac{q^{3-2N}}{b^2c^2d^2}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},b^2,c^2,d^2;q^2)_n}{(q^2,q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,q^{2-2N}/d^2;q^2)_n}\left(\frac{q^{3-2N}}{b^2c^2d^2}\right)^n
\end{align}
であることが分かるから, 以下を得る.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
\Q43{q^{-2N},b^2,c^2,d^2}{q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,q^{2-2N}/d^2}{q^2;\frac{q^{3-2N}}{b^2c^2d^2}}=\frac{(-q,d^2;q)_N}{(d^2;q^2)_N}q^{-N}\Q43{q^{2-2N}/b^2c^2,q^{-N},q^{1-N},d^2}{q^{2-2N}/b^2,q^{2-2N}/c^2,d^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
が成り立つ.
