あるApéry数の類似について5

前の記事 で以下のような数列を扱った.
\begin{align} \frac 1{n!^3}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^3\binom nl^3(k+l)!(3n-k-l)! \end{align}
その類似として,
\begin{align} a_n&:=\frac 1{n!^3}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n(-1)^{k+l}\binom nk^2\binom nl^2(k+l)!(3n-k-l)!\\ &=\frac{(3n)!}{n!^3}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(-3n)_{k+l}} \end{align}
という数列も興味深いのではないかと思ったので, 今回はそれについて考えていきたいと思う. 結論としては, $a_n$は 前の記事で扱った数列
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2k}n \end{align}
に一致している.

${}_7F_6$による表示

前の記事 の系8において, $b=c=b'=c'=-n,d=a$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(1+a)^2\Gamma(1+a+2n)^2}{\Gamma(1+a+n)^4}\F76{a,1+\frac a2,a,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1\\ &=\frac{(1+a+n)_n^2}{(1+a)_n^2}\F76{a,1+\frac a2,a,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1\\ \end{align}
を得る. ここで, $a=-3n-1$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(-3n)_{k+l}}\\ &=\frac{(-2n)_n^2}{(-3n)_n^2}\F76{-3n-1,\frac {1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n}1\\ &=\frac{(2n)!^4}{n!^2(3n)!^2}\sum_{k=0}^n\frac{3n+1-2k}{3n+1}\frac{(-3n-1)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_k^4}{(-2n)_k^4}\\ &=\frac{n!^6}{(3n)!(3n+1)!}\sum_{k=0}^n(3n+1-2k)\binom{3n+1}k^2\binom{2n-k}n^4 \end{align}
つまり以下を得る.

超幾何級数による表示
\begin{align} a_n&=\frac{(2n)!^4}{n!^5(3n)!}\F76{-3n-1,\frac {1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n}1 \end{align}
に対してWhippleの${}_7F_6$変換公式を用いると,
\begin{align} &\F76{-3n-1,\frac {1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n}1\\ &=\frac{(-3n,-n)_n}{(-2n)_n^2}\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1,-2n}1\\ &=\frac{n!^3(3n)!}{(2n)!^3}\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1,-2n}1 \end{align}
となる. よって
\begin{align} a_n&=\binom{2n}n\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1,-2n}1 \end{align}
を得る. これはこの$a_n$が 前の記事で扱った数列 に一致していることを意味している.

二重級数表示

$a_n$に対しても, 前の記事 の定理2で得たような二重級数表示を示したい. 前の記事 の系8において, $b=b'=-n, c=c'=n+1,d=a$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,n+1)_k}{k!^2}\frac{(-n,n+1)_l}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(a)^2\Gamma(1+a)^2}{\Gamma(1+a+n)^2\Gamma(a-n)^2}\F76{a,1+\frac a2,a,n+1,n+1,-n,-n}{\frac a2,1,a-n,a-n,1+a+n,1+a+n}1\\ &=\frac{(a-n)_{n}^2}{(1+a)_n^2}\F76{a,1+\frac a2,a,n+1,n+1,-n,-n}{\frac a2,1,a-n,a-n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
となる. ここで, Whippleの${}_7F_6$変換公式より
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,a,n+1,n+1,-n,-n}{\frac a2,1,a-n,a-n,1+a+n,1+a+n}1\\ &=\frac{(1+a,-n)_n}{(1,a-n)_n}\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1-n-a,a-n}{1} \end{align}
であるから, これらより,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,n+1)_k}{k!^2}\frac{(-n,n+1)_l}{l!^2}\frac{(k+l)!}{\Gamma(1+a+k+l)}\\ &=\frac 1{\Gamma(1+a)}\frac{(a-n)_{n}^2}{(1+a)_n^2}\frac{(1+a,-n)_n}{(1,a-n)_n}\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1-n-a,a-n}{1}\\ &=\frac{(1-a)_{n}}{\Gamma(1+a+n)}\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1-n-a,a-n}{1}\\ \end{align}
を得る. ここで, $a\mapsto -n$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,n+1)_k}{k!^2}\frac{(-n,n+1)_l}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(k+l-n)!}\\ &=n!\binom{2n}n\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1,-2n}{1}\\ &=n!a_n \end{align}
となる. よって以下を得る.

類似1

${}_7F_6$による表示を導く際に用いた等式
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a+n)_n^2}{(1+a)_n^2}\F76{a,1+\frac a2,a,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
において, $a\mapsto -2n-1$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(-2n)_{k+l}}\\ &=\frac{(-n)_n^2}{(-2n)_n^2}\F43{-2n-1,\frac{1-2n}2,-2n-1,-n}{-\frac {2n+1}2,1,-n}1\\ &=\frac{n!^4}{(2n)!^2}\sum_{k=0}^n\frac{2n+1-2k}{2n+1}\binom{2n+1}k^2\\ &=\frac{n!^4}{(2n)!(2n+1)!}\sum_{k=0}^n(2n+1-2k)\binom{2n+1}k^2 \end{align}
ここで, 部分和の等式
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{(a+2k)(a)_k^2}{k!^2}&=\frac{(a)_{n+1}(a+1)_n}{n!^2} \end{align}
において, $a\mapsto -2n-1$とすれば,
\begin{align} \sum_{k=0}^n(2n+1-2k)\binom{2n+1}k^2&=-\frac{(-2n-1)_{n+1}(-2n)_n}{n!^2}\\ &=\frac{(2n)!(2n+1)!}{n!^4} \end{align}
となる. よって以下を得る.

類似2

次に,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a+n)_n^2}{(1+a)_n^2}\F76{a,1+\frac a2,a,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
において, $a\mapsto -4n-1$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_l^2}{l!^2}\frac{(k+l)!}{(-4n)_{k+l}}\\ &=\frac{(-3n)_n^2}{(-4n)_n^2}\F76{-4n-1,\frac {1-4n}2,-4n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{4n+1}2,1,-3n,-3n,-3n,-3n}1\\ &=\frac{(3n)!^4}{(2n)!^2(4n)!^2}\F76{-4n-1,\frac {1-4n}2,-4n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{4n+1}2,1,-3n,-3n,-3n,-3n}1 \end{align}
を得る. ここで, Dougallの${}_7F_6$和公式より,
\begin{align} &\F76{-4n-1,\frac {1-4n}2,-4n-1,-n,-n,-n,-n}{-\frac{4n+1}2,1,-3n,-3n,-3n,-3n}1\\ &=\frac{(-4n,-2n,-2n,-2n)_n}{(-3n,-3n,-3n,-n)_n}\\ &=\frac{(4n)!(2n)!^6}{n!^4(3n)!^4} \end{align}
であるから, これを代入して以下を得る.

このように$a_n$と似た形のものが超幾何的になっているのは面白い.