Blecksmith-Brillhart-Gerstの恒等式2
前回の記事 で, Blecksmith-Brillhart-Gerstによる恒等式をいくつか示した. それらは$q^{an^2}$の和の間の関係式だったが, 今回は$q^{an(n+1)}$の和の間の関係式を示す.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}q^{2n(n+1)}+\sum_{n\in\ZZ}q^{6n(n+1)+1}&=2\frac{(q^2,q^5,q^7,q^{12},q^{17},q^{19},q^{22},q^{24};q^{24})_{\infty}}{(q,q^4,q^6,q^{11},q^{13},q^{18},q^{20},q^{23};q^{24})_{\infty}}\\ \sum_{n\in\ZZ}q^{2n(n+1)}-\sum_{n\in\ZZ}q^{6n(n+1)+1}&=2\frac{(q,q^{10},q^{11},q^{12},q^{13},q^{14},q^{23},q^{24};q^{24})_{\infty}}{(q^4,q^5,q^6,q^7,q^{17},q^{18},q^{19},q^{20};q^{24})_{\infty}} \end{align}
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{2n(n+1)}&=\frac{(q^2,q^5,q^7,q^{12},q^{17},q^{19},q^{22},q^{24};q^{24})_{\infty}}{(q,q^4,q^6,q^{11},q^{13},q^{18},q^{20},q^{23};q^{24})_{\infty}}+\frac{(q,q^{10},q^{11},q^{12},q^{13},q^{14},q^{23},q^{24};q^{24})_{\infty}}{(q^4,q^5,q^6,q^7,q^{17},q^{18},q^{19},q^{20};q^{24})_{\infty}}\\
&=\frac{(q^{12};q^{12})_{\infty}}{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}\left(\frac{[q^2;q^{24}]_{\infty}[q^5;q^{12}]_{\infty}}{[q;q^{12}]_{\infty}}+\frac{[q^{10};q^{24}]_{\infty}[q;q^{12}]_{\infty}}{[q^5;q^{12}]_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(q^{12};q^{12})_{\infty}}{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}\left([-q,q^5;q^{12}]_{\infty}+[q,-q^5;q^{12}]_{\infty}\right)\\
\sum_{n\in\ZZ}q^{6n(n+1)+1}&=\frac{(q^{12};q^{12})_{\infty}}{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}\left([-q,q^5;q^{12}]_{\infty}-[q,-q^5;q^{12}]_{\infty}\right)
\end{align}
を示せば良い. 1つ目の等式は
Jacobiの三重積
より,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{2n(n+1)}&=(-1,-q^4,q^4;q^4)_{\infty}\\
&=(-1,-q^4,-q^8,-q^4,-q^8,-q^{12},q^4,q^8,q^{12};q^{12})_{\infty}\\
&=[-1,-q^4,-q^4,q^4;q^{12}]_{\infty}(q^{12};q^{12})_{\infty}\\
&=[-1,-q^4;q^{12}]_{\infty}[q^8;q^{24}]_{\infty}(q^{12};q^{12})_{\infty}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}\frac{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}{(q^{12};q^{12})_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{2n(n+1)}\\
&=[-1,-q^4;q^{12}]_{\infty}[q^4,q^6,q^6,q^8;q^{24}]_{\infty}\\
&=[-1,-q^4,q^4,q^6;q^{12}]_{\infty}
\end{align}
ここで,
無限積の三項関係式
より,
\begin{align}
[-1,-q^4,q^4,q^6;q^{12}]_{\infty}&=[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}\left([-q,q^5;q^{12}]_{\infty}+[q,-q^5;q^{12}]_{\infty}\right)\\
\end{align}
であるから, 両辺を$[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}$で割って示すべき等式を得る. 2つ目の等式は
Jacobiの三重積
より,
\begin{align}
[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}\frac{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}{(q^{12};q^{12})_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{6n(n+1)+1}&=[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}\frac{[q^4,q^6;q^{24}]_{\infty}}{(q^{12};q^{12})_{\infty}}q(-1,-q^{12},q^{12};q^{12})_{\infty}\\
&=q[-1;q^{12}]_{\infty}[q^4,q^6,q^6;q^{24}]_{\infty}\\
&=q[-1,q^2,-q^2,q^6;q^{12}]_{\infty}
\end{align}
ここで,
無限積の三項関係式
より,
\begin{align}
q[-1,q^2,-q^2,q^6;q^{12}]_{\infty}&=[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}\left([-q,q^5;q^{12}]_{\infty}-[q,-q^5;q^{12}]_{\infty}\right)
\end{align}
であるから, 両辺を$[q^3,-q^3;q^{12}]_{\infty}$で割って示すべき等式を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}q^{n(n+1)}+\sum_{n\in\ZZ}q^{5n(n+1)+1}&=2\frac{(q^3,q^7,q^{10},q^{13},q^{17},q^{20};q^{20})_{\infty}}{(q,q^6,q^9,q^{11},q^{14},q^{19};q^{20})_{\infty}}\\ \sum_{n\in\ZZ}q^{n(n+1)}-\sum_{n\in\ZZ}q^{5n(n+1)+1}&=2\frac{(q,q^9,q^{10},q^{11},q^{19},q^{20};q^{20})_{\infty}}{(q^2,q^3,q^7,q^{13},q^{17},q^{18};q^{20})_{\infty}} \end{align}
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{n(n+1)}&=\frac{(q^3,q^7,q^{10},q^{13},q^{17},q^{20};q^{20})_{\infty}}{(q,q^6,q^9,q^{11},q^{14},q^{19};q^{20})_{\infty}}+\frac{(q,q^9,q^{10},q^{11},q^{19},q^{20};q^{20})_{\infty}}{(q^2,q^3,q^7,q^{13},q^{17},q^{18};q^{20})_{\infty}}\\
&=(q^{10};q^{10})_{\infty}\left(\frac{[q^3;q^{10}]_{\infty}}{[q;q^{10}]_{\infty}[q^6;q^{20}]_{\infty}}+\frac{[q;q^{20}]_{\infty}}{[q^3;q^{10}]_{\infty}[q^2;q^{20}]_{\infty}}\right)\\
&=(q^{10};q^{10})_{\infty}\left(\frac{1}{[q,-q^3;q^{10}]_{\infty}}+\frac{1}{[-q,q^3;q^{10}]_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(q^{10};q^{10})_{\infty}}{[q^2,q^6;q^{20}]_{\infty}}\left([-q,q^3;q^{10}]_{\infty}+[q,-q^3;q^{10}]_{\infty}\right)\\
\sum_{n\in\ZZ}q^{5n(n+1)+1}&=\frac{(q^{10};q^{10})_{\infty}}{[q^2,q^6;q^{20}]_{\infty}}\left([-q,q^3;q^{10}]_{\infty}-[q,-q^3;q^{10}]_{\infty}\right)
\end{align}
を示せば良い. 1つ目の等式は
Jacobiの三重積
より,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{n(n+1)}&=(-1,-q^2,q^2;q^2)_{\infty}\\
&=(-1,-q^2,-q^4,-q^6,-q^8,-q^2,-q^4,-q^6,-q^8,-q^{10},q^2,q^4,q^6,q^8,q^{10};q^{10})_{\infty}\\
&=[-1,-q^2,-q^4,-q^2,-q^4,q^2,q^4;q^{10}]_{\infty}(q^{10},q^{10})_{\infty}\\
&=[-1,-q^2,-q^4;q^{10}]_{\infty}[q^4,q^8;q^{20}]_{\infty}(q^{10};q^{10})_{\infty}
\end{align}
だから,
\begin{align}
[q^3,-q^3;q^{10}]_{\infty}\frac{[q^2,q^6;q^{20}]_{\infty}}{(q^{10};q^{10})_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{n(n+1)}&=[-1,-q^2,-q^4;q^{10}]_{\infty}[q^2,q^4,q^6,q^6,q^8;q^{20}]_{\infty}\\
&=[-1,-q^2,-q^4,q^2,q^4;q^{10}]_{\infty}[q^6;q^{20}]_{\infty}\\
&=[-1,q^4,-q^4;q^{10}]_{\infty}[q^4,q^6;q^{20}]_{\infty}\\
&=[-1,q^4,q^4,-q^4;q^{10}]_{\infty}
\end{align}
ここで,
無限積の三項関係式
より,
\begin{align}
[-1,q^4,q^4,-q^4;q^{10}]_{\infty}&=[q^3,-q^3;q^{10}]_{\infty}([-q,q^3;q^{10}]_{\infty}+[q,-q^3;q^{10}]_{\infty})
\end{align}
より両辺を$[q^3,-q^3]_{\infty}$で割って示すべき等式を得る. 2つ目の等式はJacobiの三重積より,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{5n(n+1)+1}&=q(-1,-q^{10},q^{10};q^{10})_{\infty}\\
&=q[-1;q^{10}]_{\infty}(q^{10};q^{10})_{\infty}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
[q^2,-q^2;q^{10}]_{\infty}\frac{[q^2,q^6;q^{20}]_{\infty}}{(q^{10};q^{10})_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{5n(n+1)+1}&=q[-1;q^{10}]_{\infty}[q^2,q^4,q^6;q^{20}]_{\infty}\\
&=q[-1,q,-q,q^4;q^{20}]_{\infty}
\end{align}
ここで, 無限積の三項関係式より,
\begin{align}
q[-1,q,-q,q^4;q^{20}]_{\infty}&=[q^3,-q^3;q^{10}]_{\infty}([-q,q^3;q^{10}]_{\infty}-[q,-q^3;q^{10}]_{\infty})
\end{align}
であるから示すべき等式を得る.
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