誤差関数の公式

$${\partial }^{-1}\cdot f(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$
のように$\partial$の(右)逆元を定義することができる。これを使うと
$$\begin{array}{rl}D(x)=& e^{-x^2}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt\\ =& e^{-x^2}{\partial }^{-1}\cdot e^{x^2}\\ =& e^{-x^2}{\partial }^{-1}{e}^{x^2}\cdot 1\\ =& (e^{-x^2}\partial e^{x^2}{)}^{-1}\cdot 1\\ =& (\partial +2x{)}^{-1}\cdot 1\\ =& (e^{{\partial }^2/4}x{e}^{-{\partial }^2/4}{)}^{-1}\cdot 1\\ =& e^{{\partial }^2/4}(2x{)}^{-1}{e}^{-{\partial }^2/4}\cdot 1\\ =& e^{\frac{1}{4}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{2x}\end{array}$$
となる。実際、途中にある式が示唆するように、$D$は微分方程式
$$\frac{dD(x)}{dx}+2xD(x)=1$$
を満たす。両辺を微分すると簡単に示せる次の式
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\frac{\sin \left(xt\right)}{t}dt=\pi \mathrm{erf}(x/2)$$
を使うと Weierstrass変換 のCauchy主値として
$$D(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x-t{)}^2}\frac{dt}{t}=e^{\frac{1}{4}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{2x}$$
となっていることがわかる。書き換えると次のようになる。
$$\mathrm{erf}(x)=e^{-x^2}\frac{1}{\partial -2x}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi }}=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}{e}^{-\frac{1}{4}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{x}$$
次の公式について考える。

Weierstrass変換を用いると次のように書ける(ただし$A=1+2a^2{\sigma }^2$)
$$e^{\frac{{\sigma }^2}{2}{\partial }^2}\cdot \mathrm{erf}(ax)=\mathrm{erf}(ax/\sqrt{A})$$
$$e^{\frac{{\sigma }^2}{2}{\partial }^2}{e}^{-a^2{x}^2}{e}^{-\frac{1}{4a^2}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{x}=\sqrt{A}{e}^{-\frac{a^2}{A}{x}^2}{e}^{-\frac{A}{4a^2}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{x}$$
LCT を用いると
$$\begin{array}{r}{\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\sigma }^{2}i& 1\end{array}\right){\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}1& 2i{a}^2\\ 0& 1\end{array}\right){\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ i/(2a^2)& 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{x}=\sqrt{A}{\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}1& 2i{a}^2/A\\ 0& 1\end{array}\right){\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ iA/(2a^2)& 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{x}\end{array}$$
という等式に言い換えられる。
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& A^{-1}\end{array}\right)={\left(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\sigma }^{2}i& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2i{a}^2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ i/(2a^2)& 1\end{array}\right)\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 2i{a}^2/A\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ iA/(2a^2)& 1\end{array}\right)\end{array}$$
という$SL(2,\mathbb{C})$の等式を使うことで準同型性から

$$\begin{array}{r}\frac{1}{x}=\sqrt{A}{\mathcal{T}}_{+}\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& 1/A\end{array}\right)\cdot \frac{1}{x}\end{array}$$
という式に帰着する。この議論を逆行することで公式をしめすことができるように思えるが、LCTのパラメータが$SL(2,\mathbb{R})$ではなく$SL(2,\mathbb{C})$なので、普遍被覆群の基本群に由来する係数の部分を定めることができない。
もとに戻ると、
$$\mathrm{erfcx}(x)=e^{x^2}+\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-\frac{1}{4}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{x}$$
となる。Weierstrass変換は積分変換として定義されていたが、指数関数の級数展開を行うと$n!x^{-2n}$のオーダーで発散してしまうため、微分演算子としては通常の計算ができない。しかし、漸近展開としては計算できる。
${\partial }^{2n}\cdot x^{-1}=(2n)!x^{-1-2n}=(1/2{)}_n(1{)}_n{4}^n{x}^{-1-2n}$
なので無理やり計算すると
$$\mathrm{erfcx}(x)=e^{x^2}+\frac{1}{x\sqrt{\pi }}{}_2{F}_0(1,\frac{1}{2};;-\frac{1}{x^2})$$

これは漸近展開の公式
$\mathrm{erfcx}(x)\approx \frac{1}{x\sqrt{\pi }}{}_2{F}_0^{(n-term)}(1,\frac{1}{2};;-\frac{1}{x^2})$
を示唆している。${}_2{F}_0^{(n-term)}$は$n$項までの部分和である。
他の関数としてQ-functionがある。
$Q(x)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(x/\sqrt{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{e}^{-\frac{1}{2}{\partial }^2}\cdot \frac{1}{x}$
となる。