Apéry数の二重級数表示
前の記事
でApéry数
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2
\end{align}
の2つの二重級数表示
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl^2\binom{k+l}k\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n(-1)^{k+l}\binom nk\binom{n+k}k\binom nl\binom{n+l}l\binom{k+l}k
\end{align}
を示した. 今回はそれらとは別の二重級数表示を2つ与えようと思う.
二重級数表示1
以下の表示はKrattenthaler-Rivoalによるものである.
\begin{align} a_n&=(-1)^n\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n(-1)^j\binom nj\binom nk^2\binom{n+j}n\binom{n+j-k}{n} \end{align}
まず,
\begin{align}
&\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n(-1)^j\binom nj\binom nk^2\binom{n+j}n\binom{n+j-k}{n}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-n,n+1)_j}{j!^3}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(n+j-k)!}{n!(j-k)!}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-n)_j(n+1)_j^2}{j!^3}\F32{-n,-n,-j}{1,-j-n}1
\end{align}
である. ここで,
Kummerの変換公式
より
\begin{align}
\F32{-n,-n,-j}{1,-j-n}1&=\frac{(-n)_n}{(-j-n)_n}\F32{n+1,-n,-j}{1,1}1\\
&=\frac{j!}{(1+n)_j}\F32{n+1,-n,-j}{1,1}1
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n(-1)^j\binom nj\binom nk^2\binom{n+j}n\binom{n+j-k}{n}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-n,n+1)_j}{j!^2}\F32{n+1,-n,-j}{1,1}1\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-n,n+1)_j}{j!^2}\sum_{k=0}^n\frac{(n+1,-n,-j)_k}{k!^3}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n+1,-n)_k}{k!^3}\sum_{j=0}^n\frac{(-n,n+1)_j}{j!(j-k)!}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n+1,-n)_k^2}{k!^4}\F21{k-n,n+k+1}{k+1}1\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n+1,-n)_k^2}{k!^4}\frac{(-n)_{n-k}}{(k+1)_{n-k}}\\
&=(-1)^na_n
\end{align}
を得る.
二重級数表示2
\begin{align} a_n&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom nj^2\binom nk^2\binom{n+k+l}{2n} \end{align}
前の記事
の定理3において, $b=c=b'=c'=-m=-n, a=-3n-1, d=-2n$とすると,
\begin{align}
&\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_j^2}{j!^2}\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_{j+k}}{(-3n)_{j+k}}\\
&=\left(\frac{(-2n)_n^2}{(-3n,-n)_n}\right)^2\F76{-3n-1,\frac{1-3n}2,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}1\\
&=\left(\frac{(-2n)_n^2}{(-3n,-n)_n}\right)^2\F76{-3n-1,\frac{1-3n}2,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}1
\end{align}
を得る. ここで,
Whippleの${}_7F_6$変換公式
を用いると,
\begin{align}
&\left(\frac{(-2n)_n^2}{(-3n,-n)_n}\right)^2\F76{-3n-1,\frac{1-3n}2,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}1\\
&=\frac{(-2n)_n^2}{(-3n,-n)_n}\F43{-n,-n,-n,-n}{-2n,-2n,1}1
\end{align}
ここで, 足し合わせる順番を入れ替えて,
\begin{align}
\F43{-n,-n,-n,-n}{-2n,-2n,1}1&=\frac{(-n)_n^2}{(-2n)_n^2}\F43{-n,-n,n+1,n+1}{1,1,1}1\\
&=\frac{(-n)_n^2}{(-2n)_n^2}a_n
\end{align}
である. これらをまとめると,
\begin{align}
a_n&=\frac{(-3n)_n}{(-n)_n}\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_j^2}{j!^2}\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_{j+k}}{(-3n)_{j+k}}\\
&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom nj^2\binom nk^2\binom{3n-k-l}{2n}\\
&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom nj^2\binom nk^2\binom{n+k+l}{2n}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
