Verma-JainによるCayley-Orr型定理
今回は, Verma-Jainによる2つのCayley-Orr型定理を示す.
$b,c,f$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとする.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nt^n&:=\Q43{b,-b,c,-c}{-q,d,-w}{tq}\Q43{b,-b,c,-c}{-q,-d,w}t\\
&\qquad+\Q43{b,-b,c,-c}{-q,d,-w}{t}\Q43{b,-b,c,-c}{-q,-d,w}{tq}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\Q65{b^2,c^2,f^2,h^2,wd/q,wd}{b^2c^2,d^2,w^2,fh,fhq}{q^2;q^2}&=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(f,-h,wd/q;q)_n}{(fh;q)_n(b^2c^2;q^2)_n}q^na_n
\end{align}
が成り立つ.
Verma-Jainの論文においては, 上の式の左辺が
\begin{align}
\Q65{b^2,c^2,f^2,h^2,wd/q,wd}{b^2c^2,d^2,w^2,fh,fhq}{q^2;\frac{q^2}{fh}}
\end{align}
となっているがそれは誤りのようである.
前の記事
の定理2において, $a=q^{-n}, d\mapsto q^{1-n}/d$とすると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(1+q^{-n+2k})(q^{-2n},b^2,c^2;q^2)_k}{(1+q^n)(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2;q^2)_k}\frac{(q^{1-n}/d,-q^{1-n}/w;q)_k}{(-d,w;q)_k}\left(\frac{wdq}{b^2c^2}\right)^k\\
&=\frac{(-q^{1-n},wdq^{n-1};q)_n}{(-d,w;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{2-2n}/b^2c^2,q^{-n},q^{1-n},q^{2-2n}/d^2,q^{2-2n}/w^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2,q^{2-2n}/wd,q^{3-2n}/wd;q^2)_k}q^{2k}
\end{align}
となる. ここで, 左辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(1+q^{-n+2k})(q^{-2n},b^2,c^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2;q^2)_k}\frac{(q^{1-n}/d,-q^{1-n}/w;q)_k}{(-d,w;q)_k}\left(\frac{wdq}{b^2c^2}\right)^k\\
&=\frac{(d,-w;q)_n(q^2;q^2)_n}{(1+q^n)(b^2,c^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{n-k}+q^{k})(b^2,c^2;q^2)_k(b^2,c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2;q^2)_k(q^2;q^2)_{n-k}}\frac{1}{(-d,w;q)_k(d,-w;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(d,-w;q)_n(q^2;q^2)_n}{(1+q^n)(b^2,c^2;q^2)_n}a_n
\end{align}
であり, 右辺は
\begin{align}
&\frac{(-q^{1-n},wdq^{n-1};q)_n}{(-d,w;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{2-2n}/b^2c^2,q^{-n},q^{1-n},q^{2-2n}/d^2,q^{2-2n}/w^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2,q^{2-2n}/wd,q^{3-2n}/wd;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\frac{(-1,q,wdq^{n-1};q)_nq^{-\binom n2}}{(-d,w;q)_n}\frac{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_n}{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_{n-k}}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_{n-k}(q;q)_{n-2k}}\frac{(-1)^kq^{k^2-k}}{(q^2;q^2)_k}\\
&=\frac{(-1)^n(-1,q;q)_nq^{\binom n2}}{(-d,w,wd/q;q)_n}\frac{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_n}{(b^2,c^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}\frac{(-1)^kq^{k^2+k-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
a_n=2\frac{(-1)^n(b^2c^2;q^2)_nq^{\binom n2}}{(wd/q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}\frac{(-1)^kq^{k^2+k-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
&\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(f,-h,wd/q;q)_n}{(fh;q)_n(b^2c^2;q^2)_n}q^na_n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(f,-h;q)_nq^{\binom{n+1}2}}{(fh;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}\frac{(-1)^kq^{k^2+k-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}(-1)^kq^{k^2+k}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(f,-h;q)_nq^{\binom{n+1}2}}{(fh;q)_n}\frac{q^{-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}q^{k-\binom k2}\frac{(f,-h;q)_k}{(fh;q)_k}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(fq^k,-hq^k;q)_nq^{\binom{n+1}2}}{(fhq^k;q)_n}\frac{q^{-nk}}{(q;q)_{k-n}(q^2;q^2)_{n}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}q^{k-\binom k2}\frac{(f,-h;q)_k}{(fh,q;q)_k}\Q32{fq^k,-hq^k,q^{-k}}{fhq^k,-q}q
\end{align}
ここで,
$q$-Saalschützの和公式
より
\begin{align}
\Q32{fq^k,-hq^k,q^{-k}}{fhq^k,-q}q&=\frac{(-f,h;q)_k}{(fhq^k,-q^{-k};q)_k}\\
&=\frac{(fh;q)_k(-f,h;q)_kq^{\binom{k+1}2}}{(fh,fhq;q^2)_k(-q;q)_k}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(f,-h,wd/q;q)_n}{(fh;q)_n(b^2c^2;q^2)_n}q^na_n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}q^{k-\binom k2}\frac{(f,-h;q)_k}{(fh,q;q)_k}\frac{(fh;q)_k(-f,h;q)_kq^{\binom{k+1}2}}{(fh,fhq;q^2)_k(-q;q)_k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd,f^2,h^2;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2,fh,fhq,q^2;q^2)_k}q^{2k}
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
証明において, 一見して$b,c,f$のいずれかが$q^{-N}$の形であることを使っていないように見えるが, それは二重和の交換
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(f,-h;q)_nq^{\binom{n+1}2}}{(fh;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}\frac{(-1)^kq^{k^2+k-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2,c^2,wd/q,wd;q^2)_k}{(b^2c^2,d^2,w^2;q^2)_k}(-1)^kq^{k^2+k}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(f,-h;q)_nq^{\binom{n+1}2}}{(fh;q)_n}\frac{q^{-2nk}}{(q;q)_{2k-n}(q^2;q^2)_{n-k}}\\
\end{align}
において必要である. 無限和の場合は上の級数は絶対収束しておらず, 例えば$k=n$の部分だけ足し合わせたものは$q^{n-\binom n2}$が掛かっているので発散する. 数値的にも$b,c,f$が$q^{-N}$の形でないときには成り立ってないようなので, その仮定は必要なようである.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nx^n&:=\Q43{c,-c,d,-w}{-q,b,-b}{x}\Q43{c,-c,-d,w}{-q,b,-b}{xq}\\
&\qquad+\Q43{c,-c,d,-w}{-q,b,-b}{xq}\Q43{c,-c,-d,w}{-q,b,-b}{x}\\
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(c^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-c^2x,x;q)_{\infty}}\Q44{b^2/c^2,c^2,d^2,w^2}{b^2,wd,wdq,c^2x^2}{c^2x^2q}=\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n}{(wd,-c^2x;q)_n}a_nx^n
\end{align}
が成り立つ.
Verma-Jainの論文においては上の式の左辺が
\begin{align}
\frac{(c^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-c^2x,x;q)_{\infty}}\Q44{b^2/c^2,c^2,d^2,w^2}{b^2,wd,wdq,c^2x^2}{\frac{c^2x^2}q}
\end{align}
となっているが, それは誤りであると思われる.
前の記事
の定理2において, $a=q^{-n}, b\mapsto q^{1-n}/b,w\mapsto q^{1-n}/w$とすると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},q^{2-2n}/b^2,c^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,b^2,q^{2-2n}/c^2;q^2)_k}\frac{(d,-w;q)_k}{(-q^{1-n}/d,q^{1-n}/w;q)_k}\left(\frac{b^2q}{wc^2d}\right)^k\\
&=\frac{(-q^{1-n},q^{1-n}/wd;q)_n}{(-q^{1-n}/d,q^{1-n}/w;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2/c^2,q^{-n},q^{1-n},d^2,w^2;q^2)_k}{(q^2,b^2,q^{2-2n}/c^2,wd,wdq;q^2)_k}q^{2k}
\end{align}
となる. ここで, 左辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},q^{2-2n}/b^2,c^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,b^2,q^{2-2n}/c^2;q^2)_k}\frac{(d,-w;q)_k}{(-q^{1-n}/d,q^{1-n}/w;q)_k}\left(\frac{b^2q}{wc^2d}\right)^k\\
&=\frac{(b^2,q^2;q^2)_n}{(1+q^n)(-d,w;q)_n(c^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{n-k}+q^{k})(c^2;q^2)_k(d,-w;q)_k(c^2;q^2)_{n-k}(-d,w;q)_{n-k}}{(q^2,b^2;q^2)_k(q^2,b^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\frac{(b^2,q^2;q^2)_n}{(1+q^n)(-d,w;q)_n(c^2;q^2)_n}a_n
\end{align}
であり, 右辺は
\begin{align}
&\frac{(-q^{1-n},q^{1-n}/wd;q)_n}{(-q^{1-n}/d,q^{1-n}/w;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2/c^2,q^{-n},q^{1-n},d^2,w^2;q^2)_k}{(q^2,b^2,q^{2-2n}/c^2,wd,wdq;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\frac{(-1,wd,q;q)_n}{(-d,w;q)_n(c^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}(-c^2)^kq^{k^2}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
a_n&=2\frac{(wd;q)_n}{(b^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}(-c^2)^kq^{k^2}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
&\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n}{(wd,-c^2x;q)_n}a_nx^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{(-c^2x;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}(-c^2)^kq^{k^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k}(-c^2)^kq^{k^2}\sum_{0\leq n}\frac{(c^2;q^2)_{n-k}}{(-c^2x;q)_n(q;q)_{n-2k}}x^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k}(-c^2x^2)^kq^{k^2}\frac{(c^2;q^2)_k}{(-c^2x;q)_{2k}}\Q21{cq^k,-cq^k}{-c^2xq^{2k}}{x}
\end{align}
となる. ここで,
Heineの和公式
より
\begin{align}
\Q21{cq^k,-cq^k}{-c^2xq^{2k}}{x}&=\frac{(-cxq^k,cxq^k;q)_{\infty}}{(-c^2xq^{2k},x;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(c^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-c^2x,x;q)_{\infty}}\frac{(-c^2x;q)_{2k}}{(c^2x^2;q^2)_k}
\end{align}
であるから, これを代入すると
\begin{align}
&\frac 12\sum_{0\leq n}\frac{(b^2;q^2)_n}{(wd,-c^2x;q)_n}a_nx^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b^2/c^2,d^2,w^2;q^2)_k}{(q^2,b^2,wd,wdq;q^2)_k}(-c^2x^2)^kq^{k^2}\frac{(c^2;q^2)_k}{(-c^2x;q)_{2k}}\frac{(c^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-c^2x,x;q)_{\infty}}\frac{(-c^2x;q)_{2k}}{(c^2x^2;q^2)_k}\\
&=\frac{(c^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-c^2x,x;q)_{\infty}}\Q44{b^2/c^2,c^2,d^2,w^2}{b^2,wd,wdq,c^2x^2}{q^2;c^2x^2q}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
古典極限
定理1の古典極限を考えると以下を得る.
$-b,-c,-f$のいずれかが非負整数であるとする.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nt^n&:=\F21{b,c}{d}{t}\F21{b,c}w{t}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\F65{b,c,f,h,\frac{w+d-1}2,\frac{w+d}2}{b+c,d,w,\frac{f+h}2,\frac{f+h+1}2}1&=\sum_{0\leq n}\frac{(f,w+d-1)_n}{(f+h,b+c)_n}a_n
\end{align}
が成り立つ.
系1において, $f=-N,h=-Nt$として$N\to\infty$とすると
\begin{align}
\F43{b,c,\frac{w+d-1}2,\frac{w+d}2}{b+c,d,w}{\frac{4t}{(1+t)^2}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(w+d-1)_n}{(b+c)_n}(1+t)^{-n}a_n
\end{align}
を得る. $x=\frac 1{1+t}$とすると
\begin{align}
\F43{b,c,\frac{w+d-1}2,\frac{w+d}2}{b+c,d,w}{4x(1-x)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(w+d-1)_n}{(b+c)_n}x^na_n
\end{align}
と書き換えられる. これは
BaileyによるCayley-Orr型定理
である. また, 定理2の古典極限は
前の記事
の定理2に一致する.
