本記事の参考文献は私自身が過去に執筆した記事1編のみです。可能な限り読みやすくなるよう配慮しましたが、説明不足で理解の難しい箇所があればそちらの記事も参考になさってください。それと追記は必見です。
お久しぶりです、
匿(Tock)
と申します。タイトルの通り、レムニスケート研究の中で記録すべき事項ができたので、こうして筆を執っている次第です。
本記事の内容について開示すべき利益相反(COI)はありません。また、普段は「だ・である体」で書いている身ですが、今回は試しに「です・ます体」で書いてみます。皆様の反応を見て次回以降の文体を決めようかと。
3つの レムニスケート を適切に配置したとき、余弦定理に類似した関係が成立することを発見しました。この関係をレムニスケート版『余弦定理』と呼ぶことを提案し、また本定理の証明および系のいくつかを紹介します。
以前投稿した『 3つのレムニスケートが生み出す『a^2+b^2=c^2』について - New Pythagorean-like theorem in lemniscate geometry - 』で、三平方の定理(Pythagorean theorem)とよく似た定理を発表し、証明しました。折角なので以下に掲載しておきます。
点
▲発表から9ヶ月、未だ誰にも利用されていません
さて、記事投稿後、上の記事の共同研究者である立見鶏氏から、Twitterにて
「次はレムニスケート余弦定理でしょうかね…」(原文そのまま)
というダイレクトメッセージが届きました。
確かに、普通の三平方の定理は普通の余弦定理の特別なケースである、という捉え方ができるため、『三平方の定理』を見つけたならばその調子で『余弦定理』も見つけられる、と考えるのが自然です。ゆえに私のほうも
「よし、(皆目見当もつかないけれど一応)探してみますか!」
と奮起いたしました。なんと単純な動機でしょうか。昔話でももう少し捻りを加えますね。
そこから8ヶ月余りが経って、気づけば季節は晩春。最早何千個のレムニスケートを描いたか分からなくなった頃、唐突に『余弦定理』の天啓が降ってきました。
それは予想以上に単純で、しかし長らく思い至れなかった形。恐らく読者の皆様も、ひとたび図を見てしまえば「どうしてこれを思いつけないのか」と言いたくなることでしょう。つい私も「この8ヶ月を返せ」と思ってしまいました。
ということで、いよいよ定理の紹介です。念のため記しますが、私の調べた限りで先行研究は見つかっていません。
点
▲
『三平方の定理』との相違点を赤色で表示しています。
……我々のよく知る余弦定理の式
この定理から先述のレムニスケート版『三平方の定理』が得られることは明らかです。
から
以下
と表せます。また、今後の議論のために
なる実数
中心が点
いま、簡単な計算により、線分
さて、
ここで任意の実数
……既にお気付きのことと拝察しますが、どう見ても
となるので、
先の段落では
と変形できることに思い至ります。したがって、原点
ところで、点
類推から、
をみたす実数
と表せます。行間の広さがパンゲア大陸級ですね。反省します。
何はともあれ、この変形によって判明することがあります。つまり、直角な双曲線
現状を整理します。中心を共有する3つの直角な双曲線
そうですね。『三平方の定理』のときと同じ状況です。要するに、ここまでで登場した全オブジェクト(双曲線、円、直線など)を、中心が
ゆえに、
いま、点
こちらの交点
とおいて(
という点
も従います。その後も同様に計算して、
となっています。よって、これらを反転した
ですね。
この組について『余弦定理』の成立は自明であり、証明の全編を統合して定理が証明されました。やっと終わった。
前回は汎用性が絶無であることを嘆くにとどまりましたが、今回は少しだけ汎用性を主張できそうです。ここでは3つの系を紹介しますね。
点
▲数学的にはこちらが『三平方』だったのかもしれません
点
▲
点
▲きれい(突然の自画自賛)
読者の皆様が具有する莫大かつ精緻な数学力に信頼を寄せて、系の証明は省略します。「他にもこういった応用が利くよ!」という情報をお持ちの方はコメントでご教示ください。
私がレムニスケートを研究対象としてから、ちょうど1年になります。日本語の論文が殆ど無い分野で、初めは英語の濁流に呑まれ右往左往していましたが、少しは有用な結果を残せたでしょうか。私自身の見解としては、数学よりもむしろ物理の領域で使い道を見つけられそうに感じていますが……。
ところで、本記事の執筆中に、
レチセン
氏が奇しくも『
余弦定理の四面体ver.
』という記事を投稿なさっていました。余弦定理を2次元から3次元に拡張されたわけですね。そして私の記事では余弦定理を三角形からレムニスケートに拡張しています。
すると、2つの記事を合わせて、「3次元におけるレムニスケート的なもの」に余弦定理を拡張できる可能性も考えられますね。未だ予想さえ立てられていない段階ですが、果たしてどうなることやら。
話題は尽きませんが、この辺りで記事を締め括ります。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。感想・指摘・先行研究の紹介・これから高騰する株の紹介などはコメントまで。あと誰か定理を使ってください。ちなみに、用紙サイズA3の倍率85%で本記事を印刷すると綺麗に刷れます。
記事投稿時点では見逃していましたが、なんとレムニスケート版『余弦定理』は以下と同値になります。
図で、白い点はレムニスケートの焦点である。このとき、
▲幻聴が教えてくれました
断然こちらのほうがエレガントですね。どうして記事投稿前に気づけなかったのでしょう……。