大学数学基礎解説

文献あり

森田『代数概論』第Ⅱ章例4.2を理解しよう③ 部分群の積、半直積

群論,半直積,有限群の構造

　この記事は、「森田『代数概論』第Ⅱ章例4.2を理解しよう」シリーズの第3回となります。
　第1回はこちら
　第2回はこちら

あらすじ

$p, q$ を素数とし、 $p > q$ , $(q - 1) ∤ p$ とする。このとき位数 $p q$ の群はアーベル群である。

という命題の証明が『代数概論』(森田康夫　著)に載っており、その証明を読み解くことが目標でした。証明の全文は第1回の記事を参照して下さい。

　 $p, q$ を命題1の仮定を満たす素数とし、 $G$ を位数 $p q$ の群とします。前回までで第一段落を読み解きましたが、それにより

$G$ のシロー $p$ -部分群 $P$ は正規部分群である

ということが示されました。今回は、第二段落

　 $G$ のシロー $q$ -部分群を $Q$ とする。 $P ◃ G$ より $P Q$ は $G$ の部分群となり、位数が $p q$ の倍数だから、 $P Q = G$ となる。また位数の関係より $P \cap Q = {1}$ となるから、 $G$ は $P$ の $Q$ による半直積となる。

を読んでいきます。ここは比較的簡単なので解説は不要、という方も多いかもしれませんが、次回への準備も兼ねて丁寧に見ていきます。

部分群の積

　まず、部分群の積についてのおさらいから始めましょう。

部分群の積

$H, K$ を群 $G$ の部分群とする。このとき
$H K = {h k | h \in H, k \in K}$
と定める。

$H K$ は、一般には群になるとは限りません。

　群にならない例は後で見ますが、それよりも「なぜ群にならないのか」を理解しておくと、後の話をよりスムーズに読めると思います。試しに、積について閉じていることを証明しようとしてみます。

(?)

任意に $h_{1}, h_{2} \in H, k_{1}, k_{2} \in K$ をとる。 $h_{1} k_{1}, h_{2} k_{2} \in H K$ の積は
$(h_{1} k_{1}) (h_{2} k_{2}) = h_{1} k_{1} h_{2} k_{2} = \dots$

$h_{1} k_{1} h_{2} k_{2}$ を( $H$ の元) $\cdot$ ( $K$ の元)の形で表せれば良かったのですが、ちょっと出来そうにないですね。
例えば $k_{1}$ と $h_{2}$ を「入れ替える」なんてことができれば良かったんですが……(伏線)。

群にならない例

3次対称群 $S_{3}$ において、 $H = {1, (12)}$ , $K = {1, (13)}$ とすると、 $H, K$ は $S_{3}$ の部分群である。このとき
$H K = {1, (12), (13), (132)}$
であるが、これは $(13) (12) = (123)$ を含んでいないので、群になっていない。

　もう1つ、基本的な事実を見ておきます。

$H, K$ を群 $G$ の部分群とする。 $H \cap K = {1}$ ならば、積 $H K$ の元は $h k (h \in H, k \in K)$ の形で一意に表される。したがって、特に $H, K$ が有限群のとき、 $| H K | = | H | | K |$ である。

$h_{1}, h_{2} \in H, k_{1}, k_{2} \in K$ に対し、
$h_{1} k_{1} = h_{2} k_{2}$
とおく。両辺に左から $h_{2}^{- 1}$ , 右から $k_{1}^{- 1}$ をかけると
$h_{2}^{- 1} h_{1} = k_{2} k_{1}^{- 1}$
となるが、この両辺は $H \cap K$ に含まれるので、
$h_{2}^{- 1} h_{1} = k_{2} k_{1}^{- 1} = 1$
である。したがって、 $h_{1} = h_{2}, k_{1} = k_{2}$ を得る。

$H \cap K = {1}$ のとき、 $H K$ は集合としては $H$ と $K$ の直積のようになっている、という感じです。

一方が正規部分群の場合

　一方が正規部分群である場合が重要です。

$H, K$ を群 $G$ の部分群とする。 $H, K$ のうち少なくとも一方が正規部分群ならば、積 $H K$ は $G$ の部分群である。

$H$ が正規部分群である場合のみ示す。

・任意に $h_{1}, h_{2} \in H, k_{1}, k_{2} \in K$ をとり、 $(h_{1} k_{1}) (h_{2} k_{2}) \in H K$ であることを示す。
$H$ は正規部分群であるから、 $k_{1} h_{2} k_{1}^{- 1} \in H$ である。そこで、 $k_{1} h_{2} k_{1}^{- 1} = h_{2}^{'}$ とおけば
$k_{1} h_{2} = h_{2}^{'} k_{1}$
であり、したがって
$(h_{1} k_{1}) (h_{2} k_{2}) = h_{1} k_{1} h_{2} k_{2} = h_{1} h_{2}^{'} k_{1} k_{2} \in H K$
を得る。

・ $1 = 1 \cdot 1 \in H K$ である。

・任意に $h \in H, k \in K$ をとり、 $(h k)^{- 1} \in H K$ であることを示す。
$H$ は正規部分群であるから、 $k^{- 1} h k \in H$ である。そこで、 $k^{- 1} h k = h^{'}$ とおけば
$h k = k h^{'}$
であり、したがって
$(h k)^{- 1} = (k h^{'})^{- 1} = h^{' - 1} k^{- 1} \in H K$
を得る。

一方が正規部分群であれば、このようにして $H$ の元と $K$ の元を「入れ替える」ことができるのです。ただし、そのまま入れ替わるわけではなく、正規部分群の元には、言わば「ひねり」が入ります。

　ここまでで、『代数概論』の例の第二段落の前半部分を読むことができます。

$G$ のシロー $q$ -部分群を $Q$ とする。 $P ◃ G$ より $P Q$ は $G$ の部分群となり、位数が $p q$ の倍数だから、 $P Q = G$ となる。

命題3を使っていますね。位数については、 $P Q$ は $P$ を含むから $p$ の倍数、 $Q$ を含むから $q$ の倍数となります。

　なお、 $G = P Q$ についてはより簡単に、しかも $P$ が正規部分群であることを使わずに示すこともできます。位数の関係から $P \cap Q = {1}$ であることが分かるので、上で示した命題2から $| P Q | = | P | | Q | = p q$ ,したがって $P Q = G$ となります。

半直積

　次に、半直積について見ていきましょう。

半直積

$G$ を群、 $H$ を $G$ の正規部分群、 $K$ を $G$ の部分群とする。 $G = H K$ かつ $H \cap K = {1}$ が成り立つとき、 $G$ は $H$ の $K$ による半直積であるといい、 $G = H ⋊ K$ と書く。

$H ⋉ K$ も同様に定義されます(この場合は $K$ が正規部分群)。

　 $H \cap K = {1}$ から、 $G$ の元は $h k (h \in H, k \in K)$ の形で一意に表されます。したがって、集合としては $G$ は $H$ と $K$ の直積のようになっていますが、2つの元 $h_{1} k_{1}, h_{2} k_{2} \in G$ の積を計算する際に「ひねり」が加わります。半直積の「半」はこの「ひねり」の存在を表しているのです(多分)。
(「ひねり」が自明、すなわち任意の $h \in H, k \in K$ に対して $h k = k h$ が成り立つとき、 $G$ は $H$ と $K$ の直積であるといいます。)

　半直積の例は後で紹介します。

　半直積の構造を持った群については、その構造の調べ方が概ね確立しています(詳しくは次回)。よって、有限群の構造を調べる際、「2つの部分群の半直積になっているか？」を考えることが1つのセオリーとなります。

『代数概論』の例第二段落後半

　では、第二段落の後半を見ていきます。

また位数の関係より $P \cap Q = {1}$ となるから、

　 $P \cap Q$ は $P$ の部分群なので、位数は $p$ の約数です。同様に $q$ の約数でもあるので、 $P \cap Q = {1}$ となるしかありません。

　ここまでで半直積の定義をすべて確かめたので、定義より

$G$ は $P$ の $Q$ による半直積となる。

となります。
以上が第二段落です。

　さて、ここまでの証明はどのような発想で得られたのでしょうか？ちょっと想像してみます。
　もし1から証明をしようと思ったら、

・とりあえずシロー $p$ -部分群 $P$ とシロー $q$ -部分群 $Q$ をとる。
　　↓
・ $G = P Q$ と $P \cap Q = {1}$ が言えるので、 $G$ が $P$ と $Q$ の半直積になっていることを期待する。
　　↓
・ $P$ か $Q$ が正規部分群になっていることを示したい。
　　↓
(前回を参照)

ということで、いろいろと知った上で自然に考えていけば、自ずとこの証明に行き着きます。

半直積の例

半直積の典型的な例と言えば、二面体群です。

$n$ を3以上の整数とする。正 $n$ 角形を自身に移す合同変換のなす群を $n$ 次の二面体群と言い、 $D_{n}$ で表す(文献によっては $D_{2 n}$ )。
$D_{n}$ の元は、

回転する操作が $n$ 個、
反転する操作が $n$ 個

ですべてであることが知られている。よって $| D_{n} | = 2 n$ である。
反時計回りに $\frac{2 π}{n}$ だけ回転する操作を $σ$ , 線対称の軸 $l$ を1つ固定し、 $l$ に関して反転する操作を $τ$ とすると、

回転する操作は $σ^{i}$ の形で表せる
反転する操作は $σ^{i} τ$ の形で表せる

ということが知られている。

$\begin{aligned} H & = ⟨ σ ⟩ = {1, σ, \dots, σ^{n - 1}}, \\ K & = ⟨ τ ⟩ = {1, τ} \end{aligned}$
とおくと、 $H, K$ は $D_{n}$ の部分群であり、上で見たことから $D_{n} = H K$ である。
　 $σ^{i} (i = 0, \dots, n - 1)$ は正 $n$ 角形を裏返さないので、 $τ \notin H$ である。したがって、 $H \cap K = {1}$ である。
　 $τ σ τ^{- 1} = σ^{- 1}$ が成り立つ (実際に頭の中で図形を動かしてみてください。難しければ、隣り合う2つの頂点を選んで $A, B$ などとし、2点の行き先を追ってみてください)。このことから、 $H$ が $D_{n}$ の正規部分群であることが言える(詳細略)。
　以上から、 $D_{n} = H ⋊ K$ が成り立つ。

　実際に積を計算してみる。例えば $D_{6}$ において、 $σ τ$ と $σ^{2} τ$ の積を計算しよう。まず
$τ σ τ^{- 1} = σ^{- 1} = σ^{5}$
であったから、任意の $i$ に対して
$τ σ^{i} τ^{- 1} = (τ σ τ^{- 1})^{i} = σ^{5 i},$
すなわち
$τ σ^{i} = σ^{5 i} τ$
が成り立つ。したがって、
$(σ τ) (σ^{2} τ) = σ τ σ^{2} τ = σ σ^{10} τ τ = σ^{11} = σ^{5}$
となる。

積を計算する際の「ひねり」が見て取れるでしょうか。

今回はここまでとします。
次回は半直積の構造についてさらに詳しく解説し、『代数概論』の例の第三段落を見ていきます。

参考文献

[1]

森田康夫, 数学選書9　代数概論　第12版, 裳華房, 2003

投稿日：2024年10月8日

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koumei

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(2023/11/30)別名義を使ってましたが、OMCでの名義に揃えました。

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あらすじ
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一方が正規部分群の場合
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