森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう③ 部分群の積、半直積
この記事は、「森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう」シリーズの第3回となります。
第1回はこちら
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あらすじ
$p,q$ を素数とし、$p>q$, $(q-1) \nmid p$とする。このとき位数$pq$の群はアーベル群である。
という命題の証明が『代数概論』(森田康夫 著)に載っており、その証明を読み解くことが目標でした。証明の全文は第1回の記事を参照して下さい。
$p,q$を命題1の仮定を満たす素数とし、$G$を位数$pq$の群とします。前回までで第一段落を読み解きましたが、それにより
- $G$のシロー$p$-部分群$P$は正規部分群である
ということが示されました。今回は、第二段落
$G$のシロー$q$-部分群を$Q$とする。$P \triangleleft G$より$PQ$は$G$の部分群となり、位数が$pq$の倍数だから、$PQ=G$となる。また位数の関係より$P \cap Q = \{1\}$となるから、$G$は$P$の$Q$による半直積となる。
を読んでいきます。ここは比較的簡単なので解説は不要、という方も多いかもしれませんが、次回への準備も兼ねて丁寧に見ていきます。
部分群の積
まず、部分群の積についてのおさらいから始めましょう。
$H,K$を群$G$の部分群とする。このとき
$$ HK = \{hk \ | \ h \in H, k \in K\}$$
と定める。
$HK$は、一般には群になるとは限りません。
群にならない例は後で見ますが、それよりも「なぜ群にならないのか」を理解しておくと、後の話をよりスムーズに読めると思います。試しに、積について閉じていることを証明しようとしてみます。
任意に$h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$をとる。$h_1k_1, h_2k_2 \in HK$の積は
$$ (h_1k_1)(h_2k_2) = h_1k_1h_2k_2= \cdots$$
$h_1k_1h_2k_2$を($H$の元)$\cdot$($K$の元)の形で表せれば良かったのですが、ちょっと出来そうにないですね。
例えば$k_1$と$h_2$を「入れ替える」なんてことができれば良かったんですが……(伏線)。
3次対称群$S_3$において、$H=\{ 1, (12) \}$, $K=\{ 1, (13) \}$ とすると、$H,K$は$S_3$の部分群である。このとき
$$ HK = \{ 1, (12), (13), (132) \}$$
であるが、これは$(13)(12) = (123)$を含んでいないので、群になっていない。
もう1つ、基本的な事実を見ておきます。
$H,K$を群$G$の部分群とする。$H \cap K = \{1\}$ ならば、積$HK$の元は$hk \ (h \in H, k \in K)$の形で一意に表される。したがって、特に$H,K$が有限群のとき、$|HK|=|H||K|$である。
$h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$に対し、
$$ h_1k_1 = h_2k_2$$
とおく。両辺に左から$h_2^{-1}$, 右から$k_1^{-1}$をかけると
$$ h_2^{-1}h_1 = k_2k_1^{-1}$$
となるが、この両辺は$H \cap K$に含まれるので、
$$ h_2^{-1}h_1 = k_2k_1^{-1} = 1$$
である。したがって、$h_1=h_2, k_1 = k_2$を得る。
$H \cap K = \{1\}$のとき、$HK$は集合としては$H$と$K$の直積のようになっている、という感じです。
一方が正規部分群の場合
一方が正規部分群である場合が重要です。
$H,K$を群$G$の部分群とする。$H,K$のうち少なくとも一方が正規部分群ならば、積$HK$は$G$の部分群である。
$H$が正規部分群である場合のみ示す。
・任意に$h_1,h_2 \in H, k_1,k_2 \in K$をとり、$(h_1k_1)(h_2k_2) \in HK$であることを示す。
$H$は正規部分群であるから、$k_1h_2k_1^{-1} \in H$である。そこで、$k_1h_2k_1^{-1} = h_2'$とおけば
$$ k_1h_2 = h_2'k_1$$
であり、したがって
$$ (h_1k_1)(h_2k_2) = h_1k_1h_2k_2 = h_1h_2'k_1k_2 \in HK$$
を得る。
・$1 = 1 \cdot 1 \in HK$である。
・任意に$h \in H, k \in K$をとり、$(hk)^{-1} \in HK$であることを示す。
$H$は正規部分群であるから、$k^{-1}hk \in H$である。そこで、$k^{-1}hk = h'$とおけば
$$ hk = kh'$$
であり、したがって
$$ (hk)^{-1} = (kh')^{-1} = h'^{-1}k^{-1} \in HK$$
を得る。
一方が正規部分群であれば、このようにして$H$の元と$K$の元を「入れ替える」ことができるのです。ただし、そのまま入れ替わるわけではなく、正規部分群の元には、言わば「ひねり」が入ります。
ここまでで、『代数概論』の例の第二段落の前半部分を読むことができます。
$G$のシロー$q$-部分群を$Q$とする。$P \triangleleft G$より$PQ$は$G$の部分群となり、位数が$pq$の倍数だから、$PQ=G$となる。
命題3を使っていますね。位数については、$PQ$は$P$を含むから$p$の倍数、$Q$を含むから$q$の倍数となります。
なお、$G=PQ$についてはより簡単に、しかも$P$が正規部分群であることを使わずに示すこともできます。位数の関係から$P \cap Q = \{ 1 \}$であることが分かるので、上で示した命題2から$|PQ|=|P||Q| = pq$,したがって$PQ=G$となります。
半直積
次に、半直積について見ていきましょう。
$G$を群、$H$を$G$の正規部分群、$K$を$G$の部分群とする。$G = HK$かつ$H \cap K= \{ 1 \}$が成り立つとき、$G$は$H$の$K$による半直積であるといい、$G = H \rtimes K$と書く。
$H \ltimes K$も同様に定義されます(この場合は$K$が正規部分群)。
$H \cap K = \{ 1 \}$から、$G$の元は$hk \ (h \in H, k \in K)$の形で一意に表されます。したがって、集合としては$G$は$H$と$K$の直積のようになっていますが、2つの元$h_1k_1, h_2k_2 \in G$の積を計算する際に「ひねり」が加わります。半直積の「半」はこの「ひねり」の存在を表しているのです(多分)。
(「ひねり」が自明、すなわち任意の$h \in H, k \in K$に対して$hk = kh$が成り立つとき、$G$は$H$と$K$の直積であるといいます。)
半直積の例は後で紹介します。
半直積の構造を持った群については、その構造の調べ方が概ね確立しています(詳しくは次回)。よって、有限群の構造を調べる際、「2つの部分群の半直積になっているか？」を考えることが1つのセオリーとなります。
『代数概論』の例 第二段落後半
では、第二段落の後半を見ていきます。
また位数の関係より$P \cap Q = \{1\}$となるから、
$P \cap Q$は$P$の部分群なので、位数は$p$の約数です。同様に$q$の約数でもあるので、$P \cap Q = \{1\}$となるしかありません。
ここまでで半直積の定義をすべて確かめたので、定義より
$G$は$P$の$Q$による半直積となる。
となります。
以上が第二段落です。
さて、ここまでの証明はどのような発想で得られたのでしょうか？ちょっと想像してみます。
もし1から証明をしようと思ったら、
・とりあえずシロー$p$-部分群$P$とシロー$q$-部分群$Q$をとる。
↓
・$G=PQ$と$P\cap Q=\{1\}$が言えるので、$G$が$P$と$Q$の半直積になっていることを期待する。
↓
・$P$か$Q$が正規部分群になっていることを示したい。
↓
(前回を参照)
ということで、いろいろと知った上で自然に考えていけば、自ずとこの証明に行き着きます。
半直積の例
半直積の典型的な例と言えば、二面体群です。
$n$を3以上の整数とする。正$n$角形を自身に移す合同変換のなす群を$n$次の二面体群と言い、$D_n$で表す(文献によっては$D_{2n}$)。
$D_n$の元は、
- 回転する操作が$n$個、
- 反転する操作が$n$個
ですべてであることが知られている。よって$|D_n|=2n$である。
反時計回りに$\disp \frac{2\pi}{n}$だけ回転する操作を$\sigma$, 線対称の軸$l$を1つ固定し、$l$に関して反転する操作を$\tau$とすると、
- 回転する操作は$\sigma^i$の形で表せる
- 反転する操作は$\sigma^i\tau$の形で表せる
ということが知られている。
$$ \begin{aligned}
H &= \lrangle{\sigma} = \{ 1, \sigma, \ldots, \sigma^{n-1} \},\\
K &= \lrangle{\tau} = \{ 1, \tau \}
\end{aligned}$$
とおくと、$H,K$は$D_n$の部分群であり、上で見たことから$D_n = HK$である。
$\sigma^i \ (i=0,\ldots, n-1)$は正$n$角形を裏返さないので、$\tau \not\in H$である。したがって、$H \cap K = \{ 1 \}$である。
$\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1}$が成り立つ (実際に頭の中で図形を動かしてみてください。難しければ、隣り合う2つの頂点を選んで$A,B$などとし、2点の行き先を追ってみてください)。このことから、$H$が$D_n$の正規部分群であることが言える(詳細略)。
以上から、$D_n = H \rtimes K$が成り立つ。
実際に積を計算してみる。例えば$D_6$において、$\sigma \tau$と$\sigma^2\tau$の積を計算しよう。まず
$$ \tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1} = \sigma^5$$
であったから、任意の$i$に対して
$$ \tau \sigma^i \tau^{-1} = (\tau \sigma \tau^{-1})^i = \sigma^{5i},$$
すなわち
$$ \tau \sigma^i = \sigma^{5i} \tau$$
が成り立つ。したがって、
$$ (\sigma \tau)(\sigma^2 \tau) = \sigma \tau \sigma^2 \tau = \sigma \sigma^{10} \tau \tau = \sigma^{11}= \sigma^5$$
となる。
積を計算する際の「ひねり」が見て取れるでしょうか。
今回はここまでとします。
次回は半直積の構造についてさらに詳しく解説し、『代数概論』の例の第三段落を見ていきます。