リー群・リー代数の初歩

リー群とリー代数について、簡単な例により取っ掛かりを説明します。数学的厳密さよりも直観性を重視します。

前提知識

本記事では複素数の集合に対する積を扱います。

群とオイラーの公式$\exp \left(i\theta \right)=\cos \theta +i\sin \theta$の基本的な知識を前提とします。

群についてはそれほど深い知識は必要としません。複素数の積は結合的であり、以下の条件を満たす集合$G$を用意すれば群が構成できることが分かれば十分です。7shi-group

• 積が集合に対して閉じている（任意の2つの元の積が集合$G$に含まれる）
• 積の単位元は$1$であり（どの数に$1$を掛けても変化しない）、単位元が集合$G$に含まれる
• 積の逆元は逆数であり（ある数とその逆数との積は$1$になる）、すべての元に逆元が存在して集合$G$に含まれる（逆元を求める操作が閉じている）

複素数全体から$0$を除いた集合${\mathbb{C}}^{\times }$は、積について群となります。

• どの2つの複素数の積も別の複素数になる（閉じている）
• 単位元$1$を含む
• $0$を除いたすべての複素数に逆数（逆元）が存在する

リー群

リー群は19世紀後半のノルウェーの数学者ソフス・リーの研究に由来する概念です。群のうち、特に連続的な変換が記述できるものをリー群と呼びます。

リー群は多数あり、それぞれ記号的な名前で区別します。その中でも簡単な$\mathrm{U}(1)$を構成して、その基本的な性質を見ていきます。

$\mathrm{U}(1)$

$\mathrm{U}(1)$という名前について説明します。「U」はユニタリ（unitary）の頭文字で、unitaryはunit（単位）の派生語で「単位的」という意味を持ちます。また、ユニタリという用語は複素数に対して用いられます。

括弧内の数字は正方行列のサイズを表します。$(1)$の場合、この群の元が「1次」の正方行列、つまり1個の成分で構成されることを表します。$\mathrm{U}(1)$は、ユニタリが複素数を対象とすることから1個の複素数で構成されます。また、ユニタリが「単位的」ということは、その元は絶対値が$1$となる単位複素数であることを意味します。

まとめると、$\mathrm{U}(1)$は単位複素数全体の集合を表します。

$$\mathrm{U}(1)=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$$

絶対値が$1$の複素数は、複素平面上の単位円上の点として表せます。オイラーの公式を使えば、$\mathrm{U}(1)$の任意の元は、$\theta$を実数として以下の形で表せます。

$$z=\exp \left(i\theta \right)=\cos \theta +i\sin \theta$$

群構造

$\mathrm{U}(1)$の元同士を掛け合わせても、その結果はまた$\mathrm{U}(1)$の元になります。これは積が$\exp \left(i\theta \right)$の形になるためです。任意の実数${\theta }_1,{\theta }_2$に対して、指数法則より以下のように確認できます。

$$\exp \left(i{\theta }_1\right)\exp \left(i{\theta }_2\right)=\exp (i({\theta }_1+{\theta }_2))$$

また、$\exp \left(i\theta \right)$の逆元は$\exp (-i\theta )$となることから、どの元にも逆元が存在します。$\exp \left(i0\right)=1$より単位元$1$も含まれます。これにより、$\mathrm{U}(1)$は積について群となります。

リー群としての基本的性質

$\mathrm{U}(1)$は単なる群ではなく、リー群と呼ばれる特別な性質を持つ群です。それについて簡単に説明します。

$\mathrm{U}(1)$は複素平面上の単位円です。単位円上のどの点にも接線を引くことができます。これは円を構成する曲線が滑らかに変化し、尖った点や不連続点がないためです。リー群はこのような「滑らかな性質を持つ群」です。

また、$\mathrm{U}(1)$上の演算（複素数の積や逆元）も滑らかに変化します。$\theta$が少しずつ変わると、対応する$\exp \left(i\theta \right)$やその逆元$\exp (-i\theta )$も、不連続点などはなく滑らかに変化していきます。

リー代数

リー群は$\exp \left(z\right)$の形の元を持ちます。この$\exp \left(z\right)$の引数の$z$を取り出したのがリー代数です。リー代数はリー群の接線上の変化を記述するための概念です。

リー代数は積については閉じていませんが、括弧積と呼ばれる独自の演算を持ちます。ただし群にはならないため、名称にも「群」ではなく「代数」という用語が使われます。

$\mathfrak{u}(1)$

リー群が大文字で表記されるのに対して、対応するリー代数は小文字で表記されます。また、リー代数であることを明示するためフラクトゥールで表記することが一般的です。

リー群$\mathrm{U}(1)$に対応するリー代数は$\mathfrak{u}(1)$となります。$\mathrm{U}(1)$の元は$\exp \left(i\theta \right)$で表されるのに対して、その引数$i\theta$が$\mathfrak{u}(1)$の元となります。

$$\mathfrak{u}(1)=\{i\theta \mid \theta \in \mathbb{R}\}$$

この関係を逆に見れば、指数写像$\exp$を通すことで、リー代数$\mathfrak{u}(1)$の元$i\theta$から、対応するリー群$\mathrm{U}(1)$の元$\exp \left(i\theta \right)$が得られることになります。

$$\exp :\mathfrak{u}(1)\to \mathrm{U}(1),i\theta \mapsto \exp \left(i\theta \right)$$

リー代数の基底

$\mathrm{U}(1)$上の点の接線方向を考えます。$\mathrm{U}(1)$の元$\exp \left(i\theta \right)$を$\theta$で微分します。

$$\frac{d}{d\theta }\exp \left(i\theta \right)=\frac{d(i\theta )}{d\theta }\frac{d}{d(i\theta )}\exp \left(i\theta \right)=i\exp \left(i\theta \right)$$

微分によって$i$が生じることがわかります。$i$を掛けることは、複素平面上で反時計回りの90度回転を表します。これは、原点から点$\exp \left(i\theta \right)$に引いた直線に対して、その接線が直交することを表します。

計算過程を見ると、その$i$は合成関数の微分において、$i\theta$の微分によって生じることがわかります。これはリー代数の変化方向であり、$\exp \left(i\theta \right)=1$となる$\theta =0$における接線方向と一致します。

$${\frac{d}{d\theta }\exp \left(i\theta \right)|}_{\theta =0}=i\exp \left(i0\right)=i$$

これはリー代数$\mathfrak{u}(1)$が、リー群$\mathrm{U}(1)$の単位元$1$における接線と同一視できることを示します。リー群に含まれるすべての点は局所的な構造が等しいため（等質空間）、数学的な性質を調べるには、単位元とその接線で代表して考えることができます。

このことから、単位元における接線の方向$i$はリー代数の基底として扱われます。これにより、リー代数$\mathfrak{u}(1)$の任意の元は、基底$i$の実数倍$i\theta$の形で表されます。

ここで重要なのは、リー代数の元が単に実数$\theta$ではなく、必ず$i\theta$の形で基底$i$を伴っていることです。この基底$i$があることで、指数関数$\exp$を通してリー代数の元をリー群の元に変換できます。

括弧積

リー群は積について閉じているのに対して、リー代数は積について閉じていません。例えば$\mathfrak{u}(1)$において、2つのリー代数の元は虚数単位$i$が打ち消されて実数になるため、リー代数の集合から外れてしまいます。

$$(i{\theta }_1)(i{\theta }_2)=-{\theta }_1{\theta }_2\notin \mathfrak{u}(1)$$

リー代数の中で演算が閉じるように、括弧積と呼ばれる独自の演算があります。括弧積は2つのリー代数の元$x,y$に対して$[x,y]$と表記され、複素数や行列では一般に以下のように定義されます。

$$[x,y]=xy-yx$$

$xy-yx$は積の因子を交換したときのずれを表しており、交換子と呼ばれます。複素数の積は可換なため、$\mathfrak{u}(1)$において括弧積は常に$0$となります。

$$[i{\theta }_1,i{\theta }_2]=(i{\theta }_1)(i{\theta }_2)-(i{\theta }_2)(i{\theta }_1)=0$$

括弧積が$0$であることは、$\mathrm{U}(1)$が可換なリー群であることを意味します。これは$\mathrm{U}(1)$の特殊な性質であり、一般のリー代数では括弧積は$0$にはならず、リー代数の構造を特徴付ける重要な情報となります。

行列のリー群

リー群は行列の形で表現されることが多いです。代表的なものを以下に挙げます。

• 直交群$\mathrm{O}(n)$：実行列で$A^{\mathsf{T}}A=I$を満たすもの（$A^{\mathsf{T}}$は$A$の転置行列）
• 特殊直交群$\mathrm{SO}(n)$：$\mathrm{O}(n)$のうち、行列式が$1$のもの（$\mathrm{S}$はspecialの頭文字）
• ユニタリ群$\mathrm{U}(n)$：複素行列で$A^{†}A=I$を満たすもの（$A^{†}$は$A$の共役転置行列）
• 特殊ユニタリ群$\mathrm{SU}(n)$：$\mathrm{U}(n)$のうち、行列式が$1$のもの

ここで$(n)$は行列のサイズで、$n\times n$の正方行列を表します。$\mathrm{S}$はspecial（特殊）を意味し、行列式が$1$であることを表します。「直交」と「ユニタリ」は本質的に同じ概念で、実か複素かの違いです。

行列のリー群の例として、複素数の行列表現を利用して、既に見た$\mathrm{U}(1)$と同じ性質を持った$\mathrm{SO}(2)$を構成します。

複素数の行列表現

複素数は2×2の実行列としても表現できます。複素数 $z=a+ib$ は以下の行列に対応します。

$$z=a+ib\iff \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$

この対応関係は複素数の演算をそのまま再現します。例えば、複素数の積は対応する行列の積になります。

$$\begin{array}{rl}(a+ib)(c+id)& =(ac-bd)+i(ad+bc)\\ & \Updownarrow \\ \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(ad+bc)\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right)\end{array}$$

複素数の絶対値の2乗は、対応する行列の行列式に等しくなります。

$$|a+ib{|}^2=a^2+b^2=\det \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$

$\mathrm{SO}(2)$

先ほど見た複素数と行列の対応で、絶対値$1$の複素数は行列式$1$の$2\times 2$実行列に対応します。

$$\cos \theta +i\sin \theta \iff \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

右辺は2次元の回転行列で、特殊直交群$\mathrm{SO}(2)$の元です。これは$\mathrm{U}(1)$と$\mathrm{SO}(2)$が本質的に同じ構造を持つことを意味します。このような対応関係を同型と呼び、$\mathrm{U}(1)\cong \mathrm{SO}(2)$と表記します。

この対応関係は指数写像でも成り立ちます。

$$\exp \left(i\theta \right)\iff \exp \left(\begin{array}{cc}0& -\theta \\ \theta & 0\end{array}\right)$$

右辺の$\exp$の引数は反対称行列で、リー代数$\mathfrak{so}(2)$の元です。このように、複素数で理解したリー群とリー代数の関係は、行列の世界でも同様に成り立ちます。

ここからさらに高次元のリー群である$\mathrm{SO}(3)$や$\mathrm{SU}(2)$などへと拡張できます。それらはより複雑な構造を持ち、物理学（特に量子力学）との深い関連があります。

まとめ

リー群は、図形として表現すれば、すべての点で微分可能な滑らかな形をした群です。局所的な構造はすべての点で等しいため、単位元において接空間を代表させて括弧積を入れ、リー代数を構成します。リー代数からリー群へは指数写像$\exp$を通して変換できます。

代表的なリー群には、実行列で構成される直交群$\mathrm{O}(n)$と、複素行列で構成されるユニタリ群$\mathrm{U}(n)$があります。それらのうち行列式が$1$となるものが、特殊直交群$\mathrm{SO}(n)$と特殊ユニタリ群$\mathrm{SU}(n)$です。なお、$n$は正方行列のサイズを表します。

複素数で構成されるリー群$\mathrm{U}(1)$は、複素平面上の単位円を表します。$\mathrm{U}(1)$は複素数の行列表現を通じて$\mathrm{SO}(2)$と同型です。