大学数学基礎解説

文献あり

リー群・リー代数の初歩 1 複素数とSO(2)

リー群,リー代数

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単位複素数の群$\operatorname{U}(1)$と2次元回転群$\operatorname{SO}(2)$の具体例を通して、リー群とリー代数の基本概念を直観的に導きます。

シリーズ：リー群・リー代数の初歩

概要

対称性や連続的な変換を数学的に扱う枠組みとして「リー群」と「リー代数」があります。しかし、多様体論に基づく抽象的な定義から入ると、その幾何学的な意味や代数構造の役割が直観的に掴みにくくなります。

そこで本記事では、もっとも身近な数体系である複素数を題材として、単位円のなす群からリー群とリー代数の基本概念を具体的に導きます。数学的厳密さよりも直観性を重視し、連続的な変換がどのような代数的構造として捉えられるかの全体像を掴むことを目的とします。

前提とする知識は以下のとおりです。

オイラーの公式 $\exp(i\theta) = \cos\theta + i\sin\theta$
微分の基本的な計算と、$2\times 2$行列の積・行列式
群の初歩的な性質（結合法則・単位元・逆元・閉じていること）。以前の記事で扱った、マグマから群までの公理の整理を前提とします。7shi-group

本記事は次のように進めます。

単位複素数のリー群：単位複素数全体の集合$\operatorname{U}(1)$に積を定義し、滑らかな幾何学的構造を持つ群（リー群）であることを確認します。
単位元における接線とリー代数：$\operatorname{U}(1)$の単位元における接線方向を微分によって取り出し、リー代数$\mathfrak{u}(1)$の基底と指数写像$\exp$の対応関係を見ます。
演算の閉性と括弧積：リー代数内で演算を閉じるための独自の演算である括弧積（交換子）を導入し、$\operatorname{U}(1)$が可換群であることを反映して括弧積が$0$になることを確かめます。
行列表現と同型：複素数を$2\times 2$実行列で表現することで、$\operatorname{U}(1)$が2次元の特殊直交群$\operatorname{SO}(2)$と同型になることを導きます。

本記事では、実数のパラメータ1個で表される可換なリー群$\operatorname{U}(1) \cong \operatorname{SO}(2)$を扱い、微分多様体としての厳密な公理的定義や、非可換リー群の一般論は扱いません。

リー群

リー群は19世紀後半のノルウェーの数学者ソフス・リーの研究に由来する概念です。群のうち、特に連続的な変換が記述でき、積や逆元を取る操作が滑らかなものをリー群と呼びます。

リー群は多数あり、それぞれ記号的な名前で区別します。その中でも簡単な$\operatorname{U}(1)$を構成して、その基本的な性質を見ていきます。

$\operatorname{U}(1)$

$\operatorname{U}(1)$という名前について説明します。「U」はユニタリ（unitary）の頭文字で、unitaryはunit（単位）の派生語で「単位的」という意味を持ちます。ユニタリという用語は複素数に対して用いられ、複素ベクトルの長さ（内積）を保つ行列をユニタリ行列と呼びます。

直交

実数に対してはorthogonal（直交）という用語が用いられ、実ベクトルの内積を保つ行列を直交行列と呼びます。

括弧内の数字は正方行列のサイズを表します。$(1)$の場合、この群の元が「1次」の正方行列、つまり1個の成分で構成されることを表します。$\operatorname{U}(1)$の各元は、ユニタリが複素数を対象とすることから、1個の複素数を成分とする$1 \times 1$行列、つまり1個の複素数です。$1 \times 1$の場合、複素数$z$を掛けても長さが変わらない条件は$z\bar{z}=1$、つまり$|z|=1$となります。このように、その元は絶対値が$1$の単位複素数です。

括弧内の数字

$\operatorname{U}(1)$という名前の$(1)$は絶対値の$1$とは無関係です。

まとめると、$\operatorname{U}(1)$は単位複素数全体の集合を表します。

単位複素数のリー群 $\operatorname{U}(1)$

$$ \operatorname{U}(1) = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\} $$

絶対値が$1$の複素数は、複素平面上の単位円上の点として表せます。オイラーの公式を使えば、$\operatorname{U}(1)$の任意の元は、$\theta$を実数として以下の形で表せます。

$$ z = \exp(i\theta) = \cos\theta + i\sin\theta $$

群構造

$\operatorname{U}(1)$の元同士を掛け合わせても、その結果はまた$\operatorname{U}(1)$の元になります。これは積が$\exp(i\theta)$の形になるためです。任意の実数$\theta_1, \theta_2$に対して、指数法則より以下のように確認できます。

$$ \exp(i\theta_1) \exp(i\theta_2) = \exp(i(\theta_1 + \theta_2)) $$

また、$\exp(i\theta)$の逆元は$\exp(-i\theta)$となることから、どの元にも逆元が存在します。$\exp(i0)=1$より単位元$1$も含まれます。これにより、$\operatorname{U}(1)$は積について群となります。

リー群としての基本的性質

$\operatorname{U}(1)$は単なる群ではなく、リー群と呼ばれる特別な性質を持つ群です。それについて簡単に説明します。

$\operatorname{U}(1)$は複素平面上の単位円です。単位円上のどの点にも接線を引くことができます。これは円を構成する曲線が滑らかに変化し、尖った点や不連続点がないためです。リー群はこのような「滑らかな性質を持つ群」です。

接線

$\operatorname{U}(1)$は複素平面上の単位円で表されるため「接線」という用語を使用しています。より高次元も含めて一般化する場合は「接空間」という用語が使用されます。

また、$\operatorname{U}(1)$の積と逆元を取る操作も滑らかです。積は角度の加算、逆元は角度の符号反転に対応するため、$\theta$が少しずつ変わると、対応する$\exp(i\theta)$やその逆元$\exp(-i\theta)$も、不連続点などはなく滑らかに変化していきます。

多様体としてのリー群

数学的には、リー群は滑らかな多様体であると同時に群であり、積と逆元を取る操作も滑らかであるものとして定義されます。本記事では、多様体の厳密な定義には立ち入らず、最低限必要となる事項に絞って直観的な説明を試みています。

リー代数

リー群$\operatorname{U}(1)$のすべての元は$\exp(i\theta)$の形で表せました。リー代数は、リー群の接線方向、つまり滑らかな変化の方向を記述するための概念で、単位円上のどの点にも接線を引くことができるという性質と密接に関係しています。$\operatorname{U}(1)$では、その方向が$\exp$の引数$i\theta$に現れます。

指数写像の全射性と単射性

$\operatorname{U}(1)$のすべての元は$\exp(z)$の形で表せますが、他のリー群では必ずしもすべての元が指数写像で表せるとは限りません。また、$\operatorname{U}(1)$では$\exp(i(\theta+2\pi k))=\exp(i\theta)$（$k$は整数）なので、指数写像は全射ですが単射ではなく、元から引数を一意には取り出せません。

リー代数は、加法と実数倍ができる集合（実ベクトル空間）で、さらに括弧積と呼ばれる独自の演算を持ちます。名称に「群」ではなく「代数」という用語が使われるのは、このように複数の演算を備えた構造だからです。

リー環

「リー環」という用語が使われることもありますが、「リー代数」と同じものを指します。

$\mathfrak{u}(1)$

リー群が大文字で表記されるのに対して、対応するリー代数は小文字で表記されます。また、リー代数であることを明示するためフラクトゥールで表記することが一般的です。

リー群$\operatorname{U}(1)$に対応するリー代数は$\mathfrak{u}(1)$となります。$\exp(i\theta)$で表される$\operatorname{U}(1)$の元に対して、$\exp$の引数$i\theta$が$\mathfrak{u}(1)$の元となります。

リー代数 $\mathfrak{u}(1)$

$$ \mathfrak{u}(1) = \{i\theta \mid \theta \in \mathbb{R}\} $$

元の性質

$\mathfrak{u}(1)$の元は、実部が$0$の複素数です。

この関係を逆に見れば、指数写像$\exp$を通すことで、リー代数$\mathfrak{u}(1)$の元$i\theta$から、対応するリー群$\operatorname{U}(1)$の元$\exp(i\theta)$が得られることになります。

$$ \exp: \mathfrak{u}(1) \to \operatorname{U}(1), \quad i\theta \mapsto \exp(i\theta) $$

リー代数の基底

$\operatorname{U}(1)$上の点の接線方向を考えます。$\operatorname{U}(1)$の元$\exp(i\theta)$を$\theta$で微分します。

$$ \frac{d}{d\theta}\exp(i\theta) = \frac{d}{d\theta}(\cos\theta + i\sin\theta) = -\sin\theta + i\cos\theta = i \exp(i\theta) $$

微分によって$i$が生じることがわかります。$i$を掛けることは、複素平面上で反時計回りの90度回転を表します。これは、原点から点$\exp(i\theta)$に引いた直線に対して、その接線が直交することを表します。

この$i$は、$\exp$の引数$i\theta$を$\theta$で微分したときの係数で、リー代数の変化方向です。$\exp(i\theta)=1$となる$\theta=0$における接線方向と一致します。

$$ \left.\frac{d}{d\theta}\exp(i\theta)\right|_{\theta=0} = i \exp(i0) = i $$

これはリー代数$\mathfrak{u}(1)$が、リー群$\operatorname{U}(1)$の単位元$1$における接線方向と対応することを示します。群の元を掛ける操作によって、単位元の近傍を任意の点の近傍へ滑らかに移せるため、局所的な変化を調べるには単位元における接線方向を考えれば十分です。ただし、群の大域的な構造まで接線方向だけで決まるわけではありません。

接線と接空間

厳密には、複素平面内で点$1$に接する直線は$1+i\mathbb{R}$で、これは点の集合です。この接線を原点へ平行移動した$i\mathbb{R}$、つまり接線方向を表すベクトル全体が接空間で、これを$\mathfrak{u}(1)$と同一視します。

このことから、単位元における接線の方向$i$はリー代数の基底として扱われます。これにより、リー代数$\mathfrak{u}(1)$の任意の元は、基底$i$の実数倍$i\theta$の形で表されます。

ここでは、リー代数の元を単に実数$\theta$ではなく、基底$i$を伴う$i\theta$の形で書きます。この形であれば、指数関数$\exp$を通してリー代数の元をそのままリー群の元に変換できます。

高次元における基底

基底$i$を固定すれば、$\mathfrak{u}(1)$の元$i\theta$を実数の座標$\theta$だけで表すこともできます。本記事では、座標と元を区別するため$i$を明記します。より高次元のリー代数では基底は複数の基底ベクトルからなり、それらが異なる方向を表します。

括弧積

リー群は積について閉じているのに対して、リー代数は複素数や行列の通常の積について閉じているとは限りません。例えば$\mathfrak{u}(1)$において、$i$同士の積は虚数単位$i$が打ち消されて実数になるため、リー代数の集合から外れてしまいます。

$$ i \cdot i = -1 \not\in \mathfrak{u}(1) $$

そこでリー代数では、通常の積の代わりに括弧積と呼ばれる演算を使います。括弧積は2つのリー代数の元$x,y$に対して$[x,y]$と表記され、複素数や行列では以下のように定義されます。

括弧積

$$ [x, y] = xy - yx $$

$xy-yx$は積の因子を交換したときのずれを表しており、交換子と呼ばれます。括弧積は、群の積の非可換性を無限小のレベルで表す演算です。複素数の積は可換なため、$\mathfrak{u}(1)$において括弧積は常に$0$となります。

双線形性と積としての性質

括弧積は$xy-yx$という差の形で定義されていますが、$x,y$それぞれについて線形（双線形）であり、それ自体がリー代数の上に定義された独自の「積」とみなせる演算です。一般のリー代数では、括弧積は双線形性、$[x,x]=0$、ヤコビ恒等式を満たす演算として公理的に定められます。

$$ [i\theta_1, i\theta_2] = (i\theta_1)(i\theta_2) - (i\theta_2)(i\theta_1) = 0 $$

$\operatorname{U}(1)$が可換なリー群であることは、リー代数では括弧積が常に$0$になることに反映されます。これは可換なリー群に共通する性質であり、非可換なリー群のリー代数では括弧積は必ずしも$0$にはならず、リー代数の構造を特徴付ける重要な情報となります。

行列のリー群

リー群は行列の形で表現されることが多いです。代表的なものを以下に挙げます。

直交群 $\operatorname{O}(n)$：実行列で$A A^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} A = I$を満たすもの（$A^\mathsf{T}$は$A$の転置行列）
特殊直交群 $\operatorname{SO}(n)$：$\operatorname{O}(n)$のうち、行列式が$1$のもの（$\operatorname{S}$はspecialの頭文字）
ユニタリ群 $\operatorname{U}(n)$：複素行列で$A A^\dagger = A^\dagger A = I$を満たすもの（$A^\dagger$は$A$の共役転置行列）
特殊ユニタリ群 $\operatorname{SU}(n)$：$\operatorname{U}(n)$のうち、行列式が$1$のもの

ここで$(n)$は行列のサイズで、$n \times n$の正方行列を表します。$\operatorname{S}$はspecial（特殊）を意味し、行列式が$1$であることを表します。「直交」と「ユニタリ」は本質的に同じ概念で、実か複素かの違いです。

$\operatorname{U}(1)$のユニタリ条件

$\operatorname{U}(1)$に$A A^\dagger = I$を適用すると、$A$は1個の複素数のため$A^\dagger$は共役複素数となり、$A^\dagger A$は絶対値の2乗となります。絶対値の2乗が$1$となるのは単位複素数であることを意味します。

行列のリー群の例として、複素数の行列表現を利用して、既に見た$\operatorname{U}(1)$と同じ性質を持った$\operatorname{SO}(2)$を構成します。

複素数の行列表現

複素数は$2 \times 2$の実行列としても表現できます。複素数 $z = a + ib$ は以下の行列に対応します。

$$ z = a + ib \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$

この対応関係は複素数の演算をそのまま再現します。例えば、複素数の積は対応する行列の積になります。

$$ \begin{aligned} (a+ib)(c+id)&=(ac-bd)+i(ad+bc) \\ &\Updownarrow \\ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} \end{aligned} $$

複素数の絶対値の2乗は、対応する行列の行列式に等しくなります。

$$ |a + ib|^2 = a^2 + b^2 = \det\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$

$\operatorname{SO}(2)$

先ほど見た複素数と行列の対応で、絶対値$1$の複素数は行列式$1$の$2 \times 2$実行列に対応します。

$$ \cos\theta + i\sin\theta \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

右辺は2次元の回転行列で、特殊直交群$\operatorname{SO}(2)$の元です。実際、$A=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$は$A A^\mathsf{T} = (a^2+b^2)I$を満たすので、$a^2+b^2=1$のとき直交行列であり、行列式も$1$です。逆に、$\operatorname{SO}(2)$の任意の元は、第1列が単位ベクトル$(\cos\theta, \sin\theta)^\mathsf{T}$と表せ、直交性と行列式$1$から第2列が$(-\sin\theta, \cos\theta)^\mathsf{T}$に定まるため、すべてこの形になります。

したがって、$\operatorname{U}(1)$と$\operatorname{SO}(2)$は積を保つ1対1の対応で結ばれ、この対応とその逆は滑らかです。これは両者が本質的に同じ構造を持つことを意味します。このような対応関係を同型と呼び、$\operatorname{U}(1) \cong \operatorname{SO}(2)$と表記します。

$\mathfrak{so}(2)$

$\operatorname{SO}(2)$に対応するリー代数も、$\mathfrak{u}(1)$と同様に単位元$I$における接線方向として求めます。回転行列を$\theta$で微分して$\theta=0$とおきます。

$$ \left.\frac{d}{d\theta}\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\right|_{\theta=0} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

これは複素数$i$に対応する行列で、以下では$J$と書きます。

リー代数 $\mathfrak{so}(2)$

$$ \mathfrak{so}(2) = \{\theta J \mid \theta \in \mathbb{R}\} = \{A \mid A \text{は} 2 \times 2 \text{実行列で} A^\mathsf{T} = -A\} $$

$i\theta$に$\theta J$を対応させることで、$\mathfrak{u}(1) \cong \mathfrak{so}(2)$となります。

行列の指数関数は、複素数の指数関数と同じ級数で定義します。

$$ \exp(A) = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots $$

回転行列の指数表示

$$ \exp(\theta J) = I\cos\theta + J\sin\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

$J^2=-I$より、$J^{2k}=(-1)^k I$、$J^{2k+1}=(-1)^k J$である。級数を偶数次と奇数次に分けると、次のようになる。

$$ \exp(\theta J) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!} I + \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} J = I\cos\theta + J\sin\theta $$

これは$\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$と同じ形で、複素数で理解したリー群とリー代数の関係は、行列の世界でも同様に成り立ちます。

まとめ

リー群は、図形として表現すれば、すべての点で微分可能な滑らかな形をした群で、積と逆元を取る操作も滑らかです。群の元を掛けることで局所的な構造をすべての点に移せるため、単位元における接空間を考えて括弧積を入れ、リー代数を構成します。リー代数からリー群へは指数写像$\exp$を通して変換できます。

代表的なリー群には、実行列で構成される直交群$\operatorname{O}(n)$と、複素行列で構成されるユニタリ群$\operatorname{U}(n)$があります。それらのうち行列式が$1$となるものが、特殊直交群$\operatorname{SO}(n)$と特殊ユニタリ群$\operatorname{SU}(n)$です。なお、$n$は正方行列のサイズを表します。

複素数で構成されるリー群$\operatorname{U}(1)$は、複素平面上の単位円を表します。$\operatorname{U}(1)$は複素数の行列表現を通じて$\operatorname{SO}(2)$と同型です。