Andrewsの恒等式から得られるq-Saalschützの和公式の二重類似
今回は
Andrewsの恒等式
の系として, $q$-Saalschützの和公式の二重類似
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e,q^{-N};q)_n}{(ab,ac,q^{1-N}/w;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}=\frac{(a,wd,we;q)_N}{(w,ab,ac;q)_N}
\end{align}
を示す. ここで, $w=abc/de$である.
導出
Andrewの恒等式
\begin{align}
&\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{\frac{a^3q^{N+3}}{bcdefg}}\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_N}{(aq/f,aq/g;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/d,aq/e,fgq^{-N}/a;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc,d,e;q)_k}{(q,aq/b,aq/c;q)_k}\left(\frac{aq}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
において, $b=aq/f,c=aq/g$とすると,
\begin{align}
&\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,e,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq/e,aq^{N+1}}{\frac{aq^{N+1}}{de}}\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_N}{(aq/f,aq/g;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/d,aq/e,fgq^{-N}/a;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(fg/aq,d,e;q)_k}{(q,f,g;q)_k}\left(\frac{aq}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
となる. この左辺は
Rogersの和公式
より,
\begin{align}
\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/d,aq/e,fgq^{-N}/a;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(fg/aq,d,e;q)_k}{(q,f,g;q)_k}\left(\frac{aq}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(aq/f,aq/g,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e,aq/fg;q)_N}
\end{align}
を得る. ここで, $a\mapsto ade/q$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(f,g,q^{-N};q)_n}{(ad,ae,fgq^{1-N}/ade;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(fg/ade,d,e;q)_k}{(q,f,g;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(ade/f,ade/g,a;q)_N}{(ad,ae,ade/fg;q)_N}
\end{align}
となる. 変数を置き換えて以下を得る.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e,q^{-N};q)_n}{(ab,ac,q^{1-N}/w;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}=\frac{(a,wd,we;q)_N}{(w,ab,ac;q)_N}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $w=abc/de$である.
これは
前の記事
で示したHeineの和公式の二重類似
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n}{(\lambda a,\lambda b;q)_n}\left(\frac{\lambda ab}{cd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k\frac{(\lambda;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(\lambda,\lambda ab/c,\lambda a/d,\lambda b/d;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b,\lambda/d,\lambda ab/cd;q)_{\infty}}
\end{align}
の類似と言える. 特に$a=q$とすると, $w=bcq/de$となり, 部分和を含む和公式
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e,q^{-N};q)_n}{(bq,cq,q^{1-N}/w;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}q^k=\frac{(q,wd,we;q)_N}{(w,bq,cq;q)_N}
\end{align}
を得る.
定理1において$N\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e;q)_n}{(ab,ac;q)_n}w^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}=\frac{(a,wd,we;q)_{\infty}}{(w,ab,ac;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $w=abc/de$である.
古典極限
定理1の古典極限として以下を得る.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e,-N)_n}{(a+b,a+c,1-N-w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-w,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}=\frac{(a,w+d,w+e)_N}{(w,a+b,a+c)_N}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $w=a+b+c-d-e$である.
$N\to\infty$として以下の系を得る.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(d,e)_n}{(a+b,a+c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-w,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}=\frac{\Gamma(w)\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)\Gamma(w+d)\Gamma(w+e)}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $w=a+b+c-d-e$である.
