Heineの和公式の二重類似3
前の記事
でHeineの和公式の二重類似
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n}{(a,b;q)_{n+1}}\left(\frac{abq}{cd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k=\frac{(q,abq/c,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}{(a,b,q/d,abq/cd;q)_{\infty}}
\end{align}
を示した. これは一見して新しそうな公式に見えたが, 今回はこの公式の一般化である
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n}{(\lambda a,\lambda b;q)_n}\left(\frac{\lambda ab}{cd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k\frac{(\lambda;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(\lambda,\lambda ab/c,\lambda a/d,\lambda b/d;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b,\lambda/d,\lambda ab/cd;q)_{\infty}}
\end{align}
が
Andrewsの恒等式
の系として従うことを示す.
導出
Andrewsの恒等式(
前の記事
の定理2)の$r=2$の場合
\begin{align}
&\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{\frac{a^3q^{N+3}}{bcdefg}}\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_N}{(aq/f,aq/g;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/d,aq/e,fgq^{-N}/a;q)_n}q^n\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc,d,e;q)_k}{(aq/b,aq/c,q;q)_k}\left(\frac{aq}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
において, $N\to\infty, b\to 0$とすると
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,c,d,e,f,g}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g}{\frac{a^2q^2}{cdefg}}\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_{\infty}}{(aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(f,g;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{fg}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(d,e;q)_k}{(aq/c,q;q)_k}\left(\frac{aq}{cde}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
となる. ここで, $c=aq/g$とすると,
\begin{align}
&\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{aq}{def}}\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_{\infty}}{(aq/f,aq/g;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(f,g;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{fg}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(d,e;q)_k}{(g,q;q)_k}\left(\frac{g}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
となり, 左辺は
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より
\begin{align}
\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{aq}{def}}=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(f,g;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{fg}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(d,e;q)_k}{(g,q;q)_k}\left(\frac{g}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(aq/g,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/fg,aq/def;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. ここで,
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
\frac{(atq/de;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q21{d,e}g{\frac{gt}{de}}=\frac{(atq/de;q)_{\infty}}{(gt/de;q)_{\infty}}\Q21{g/d,g/e}{g}{t}
\end{align}
であるから, この両辺の$t^n$の係数を比較して
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(d,e;q)_k}{(g,q;q)_k}\left(\frac{g}{de}\right)^k\frac{(aq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}=\left(\frac{g}{de}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(g/d,g/e;q)_k}{(g,q;q)_k}\left(\frac{de}{g}\right)^k\frac{(aq/g;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
となるから
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(f,g;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{def}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(g/d,g/e;q)_k}{(g,q;q)_k}\left(\frac{de}{g}\right)^k\frac{(aq/g;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(aq/g,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/fg,aq/def;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. 変数を置き換えて以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n}{(\lambda a,\lambda b;q)_n}\left(\frac{\lambda ab}{cd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k\frac{(\lambda;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(\lambda,\lambda ab/c,\lambda a/d,\lambda b/d;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b,\lambda/d,\lambda ab/cd;q)_{\infty}} \end{align}
古典極限
定理1の古典極限として以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,d)_n}{(\lambda+a,\lambda+b)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(\lambda)_{n-k}}{(n-k)!}=\frac{\Gamma(\lambda+a)\Gamma(\lambda+b)\Gamma(\lambda-d)\Gamma(\lambda+a+b-c-d)}{\Gamma(\lambda)\Gamma(\lambda+a+b-c)\Gamma(\lambda+a-d)\Gamma(\lambda+b-d)} \end{align}
