Brafmanによる超球多項式の母関数
超球多項式は
\begin{align}
C_n^{(a)}(x):=\frac{(2a)_n}{n!}\F21{-n,2a+n}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
によって定義される多項式である. 今回はこの超球多項式に関する以下の母関数表示を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{(2a)_n}C_n^{(a)}(x)t^n&=(1-xt)^{-b}\F21{\frac b2,\frac{b+1}2}{a+\frac 12}{\frac{t^2(x^2-1)}{(1-xt)^2}} \end{align}
二次変換公式
\begin{align}
\F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}{z}&=(1-2z)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac{a+b+1}2}{-\frac{4z(1-z)}{(1-2z)^2}}
\end{align}
より,
\begin{align}
C_n^{(a)}(x)&=\frac{(2a)_n}{n!}\F21{-n,2a+n}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}\\
&=\frac{(2a)_n}{n!}x^n\F21{-\frac n2,\frac{1-n}2}{a+\frac 12}{\frac{x^2-1}{x^2}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{(2a)_n}C_n^{(a)}(x)t^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!}(xt)^n\F21{-\frac n2,\frac{1-n}2}{a+\frac 12}{\frac{x^2-1}{x^2}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!}(xt)^n\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!\left(a+\frac 12\right)_k(n-2k)!}\left(\frac{x^2-1}{4x^2}\right)^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{1}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{x^2-1}{4x^2}\right)^k\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{(n-2k)!}(xt)^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b)_{2k}}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{t^2(x^2-1)}{4}\right)^k\sum_{0\leq n}\frac{(b+2k)_{n}}{n!!}(xt)^n\qquad n\mapsto n+2k\\
&=(1-xt)^{-b}\sum_{0\leq k}\frac{(b)_{2k}}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{t^2(x^2-1)}{4(1-xt)^2}\right)^k\\
&=(1-xt)^{-b}\F21{\frac b2,\frac{b+1}2}{a+\frac 12}{\frac{t^2(x^2-1)}{(1-xt)^2}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
上の議論は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}t^n\F{r+2}s{-\frac n2,\frac{1-n}2,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}{x}\\
&=(1-t)^{-a}\F{r+2}{s}{\frac a2,\frac{a+1}2,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}{\frac{xt^2}{(1-t)^2}}
\end{align}
と一般化される. ここから, 全く同様にHermite多項式の母関数
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}H_n(x)t^n&=(1-2xt)^{-a}\F20{\frac a2,\frac{a+1}2}{-}{-\frac{4t^2}{(1-2xt)^2}}
\end{align}
もBrafmanによって得られている. ただし, 両辺は通常のべき級数としては発散しているので, 形式的べき級数としての等式である.
Legendre多項式の場合
定理1において$a=\frac 12$とすると以下の系を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!}P_n(x)t^n&=(1-xt)^{-b}\F21{\frac b2,\frac{b+1}2}{1}{\frac{t^2(x^2-1)}{(1-xt)^2}} \end{align}
さらに$b=\frac 12$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}P_n(x)t^n&=\frac 1{\sqrt{1-xt}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{t^2(x^2-1)}{(1-xt)^2}}
\end{align}
となる. これは
前の記事
で示したWanによるLegendre多項式の双線形母関数
\begin{align}
\sum_{0\leq n}P_n(x)P_n(y)t^n&=\frac 1{\sqrt{1-2xyt+t^2}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{4(1-x^2)(1-y^2)t^2}{(1-2xyt+t^2)^2}}
\end{align}
において, $t\mapsto \frac t{2y}$としてから$y\to\infty$とすることによっても得ることができる.
Brafmanは同じ論文で, Jacobi多項式について別の母関数の表示
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n}{(1+a,1+b)_n}P_n^{(a,b)}(x)t^n&=\F21{c,1+a+b-c}{1+a}{\frac{1-t-\sqrt{1-2xt+t^2}}{2}}\\
&\qquad\cdot \F21{c,1+a+b-c}{1+b}{\frac{1+t-\sqrt{1-2xt+t^2}}{2}}
\end{align}
も示しており, それは
前の記事
で解説したものである.
