2が並んだ多重Eisenstein級数の母関数
2が並んだ多重ゼータ値の母関数は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\zeta(\{2\}^n)t^{2n}&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}
\end{align}
と表される. その一般化として, 今回は2が並んだ多重Eisenstein級数$G_{\{2\}^n}(\tau)$の母関数を計算したいと思う.
導出
前の記事
の記法を用いる.
\begin{align}
G_{\{2\}^n}(\tau)=\sum_{k=0}^n\zeta(\{2\}^k)h_{\{2\}^{n-k}}(\tau)
\end{align}
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}G_{\{2\}^n}(\tau)t^{2n}&=\sum_{0\leq n}\zeta(\{2\}^n)t^{2n}\sum_{0\leq m}h_{\{2\}^m}(\tau)t^{2m}\\
&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}\sum_{0\leq m}h_{\{2\}^m}(\tau)t^{2m}
\end{align}
となる. ここで
\begin{align}
\sum_{0\leq m}h_{\{2\}^m}(\tau)t^{2m}&=\sum_{0\leq m}t^{2m}\sum_{\substack{0\leq j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=(\{2\}^m)\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq \varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}(n_1\tau)\cdots \Psi_{\bk_j}(n_j\tau)\\
&=\sum_{0\leq m}t^{2m}\sum_{\substack{0\leq j,0< k_1,\dots,k_j\\k_1+\cdots+k_j=m}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\{2\}^{k_1}}(n_1\tau)\cdots \Psi_{\{2\}^{k_j}}(n_j\tau)\\
&=\sum_{\substack{0\leq j,0< k_1,\dots,k_j}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\{2\}^{k_1}}(n_1\tau)t^{2k_1}\cdots \Psi_{\{2\}^{k_j}}(n_j\tau)t^{2k_j}\\
&=\prod_{0< n}\left(1+\sum_{0< k}\Psi_{\{2\}^k}(n\tau)t^{2k}\right)
\end{align}
と表される. また,
Bouillotの定理
より
\begin{align}
\Psi_{\{2\}^n}(w)&=\sum_{k=1}^{n}\zeta(\{2\}^{k-1})\zeta(\{2\}^{n-k})\Psi_2(w)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0< k}\Psi_{\{2\}^k}(n\tau)t^{2k}&=t^2\left(\sum_{0\leq k}\zeta(\{2\}^k)t^k\right)^2\Psi_2(n\tau)\\
&=\frac{\sinh^2\pi t}{\pi^2}\Psi_2(n\tau)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}G_{\{2\}^n}(\tau)t^{2n}&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}\prod_{0< n}\left(1+\frac{\sinh^2\pi t}{\pi^2}\Psi_2(n\tau)\right)\\
&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}\prod_{0< n}\left(1+\frac{\sinh^2\pi t}{\sin^2\pi n\tau}\right)
\end{align}
を得る. つまり以下を得る.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}G_{\{2\}^n}(\tau)t^{2n}&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}\prod_{0< n}\left(1+\frac{\sinh^2\pi t}{\sin^2\pi n\tau}\right)
\end{align}
が成り立つ.
これは$q=e^{2\pi i\tau}$とすると,
\begin{align}
\prod_{0< n}\left(1+\frac{\sinh^2\pi t}{\sin^2\pi n\tau}\right)&=\prod_{0< n}\left(1-\frac{(e^{\pi t}-e^{-\pi t})^2}{(q^{\frac n2}-q^{-\frac n2})^2}\right)\\
&=\prod_{0< n}\frac{(q^{\frac n2}-q^{-\frac n2}+e^{\pi t}-e^{-\pi t})(q^{\frac n2}-q^{-\frac n2}-e^{\pi t}+e^{-\pi t})}{(q^{\frac n2}-q^{-\frac n2})^2}\\
&=\prod_{0< n}\frac{(1-e^{2\pi t}q^n)(1-e^{-2\pi t}q^n)}{(1-q^n)^2}\\
&=\frac{(e^{2\pi t}q,e^{-2\pi t}q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}^2}
\end{align}
と$q$上昇冪を用いて表すこともできる. つまり, 定理1は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}G_{\{2\}^n}(\tau)t^{2n}&=\frac{\sinh\pi t}{\pi t}\frac{(e^{2\pi t}q,e^{-2\pi t}q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}^2}
\end{align}
と書き換えられる.
別の表示
多重Eisenstein級数は調和関係式を満たすので
\begin{align}
\sum_{0\leq n}G_{\{2\}^n}(\tau)t^{2n}&=\exp\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}nG_{2n}(\tau)t^{2n}\right)
\end{align}
と書きかえることもできる. これと定理1の表示を合わせると
前の記事
の定理1が得られる.
