素数計数関数の恒等式と無限極限
はじめに
この記事はpridから始めた
素数計数関数の恒等式
シリーズの第6回です。
おさらいすると、
1回目
で素数計数関数の恒等式を考え、
2回目
で複素数$s$乗に一般化しました。結果は、与えられた2以上の実数$N$について、
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),\quad \eta_{\ell m}=\frac{1}{\Omega(m)+\ell}
\end{equation}
が成り立つことでした。ここで$\eta_{\ell m}$を展開係数と呼び、
\begin{align}
H_s(N) &\equiv \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor N \rfloor} \frac{1}{k^s}, \\
q_s(N) &\equiv \displaystyle \sum_{p \leq N} \frac{1}{p^s}
\end{align}
と定義し、$p$は素数を表します。
3回目
と
4回目
で$H_s(N)$と$q_s(N)$の反転を考え、
\begin{equation}
q_s(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\mu_{\ell m}}{m^s}\Bigl(H_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)-1\Bigr)
\end{equation}
を得ました。ここで、$\mu_{\ell m}$を反転係数と呼びます。$\ell$と$m$を明確にしたい場合は、$\eta_{\ell,m}$や$\mu_{\ell,m}$と書きます。
これらの式には有限で離散的という特徴があったため、
5回目
では測度を用いて連続的な場合を考えました。今回は、恒等式の無限極限について考えます。
まず初めに$s$乗に一般化した恒等式の無限極限を取ります。
$\text{Re}\:s>1$に対して、次の式が成り立つ。
\begin{align}
\zeta(s)-1&=\sum_{k=1}^\infty P_k(s), \\
P_k(s)&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}P(js)P_{k-j}(s).
\end{align}
より一般的な理論である完全対称多項式を用いることで、オイラー積の対数表示との整合性を確認します。
\begin{equation} \ln \zeta(s)=\sum_{\ell=1}^\infty \frac{P(\ell s)}{\ell},\quad P(s)=\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\mu(\ell)}{\ell}\ln\zeta(\ell s). \end{equation}
次に、無限極限の式を基に「素因数分解の順序交換」という操作を考え、展開係数$\eta_{\ell m}$について再考します。展開係数の非一意性が示されますが、この操作において不変な展開係数と対応する反転係数の存在も確認できます。
$n \ge 1$に対し、$m_n=p_1\cdots p_n$と定義する。
ここで、$p_1,\dots,p_n$は互いに相異なる素数である。また$m_0=1$と定める。
以下の展開係数と対応する反転係数は、素因数分解の順序交換を行っても変わらない。
\begin{align}
&\eta_{1,m_{n}}=\frac{1}{n+1},\quad \eta_{\ell,1}=\frac{1}{\ell}, \\
&\mu_{1,m_{n}}=B_n,\quad \mu_{\ell,1}=\frac{\mu(\ell)}{\ell}.
\end{align}
ここで、$B_n$は第一種ベルヌーイ数、$\mu(\cdot)$はメビウス関数である。
最後に、これまで考えてきた標準形$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$の性質について考えます。
$s$乗に一般化された恒等式の無限極限
では$s$乗に一般化された恒等式
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),\quad \eta_{\ell m}=\frac{1}{\Omega(m)+\ell}
\end{equation}
の無限極限$N\to\infty$を取ることから始めます。
$\text{Re}\:s>1$に対して、次の式が成り立つ。
\begin{align}
\zeta(s)-1&=\sum_{k=1}^\infty P_k(s), \\
P_k(s)&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}P(js)P_{k-j}(s).
\end{align}
ここで、リーマンゼータ関数$\zeta(s)$と素数ゼータ関数$P(s)$は
\begin{align}
\zeta(s) &\equiv \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s},\\
P(s) &\equiv \displaystyle \sum_{p:\text{prime}}^{\infty} \frac{1}{p^s}
\end{align}
と定義され、$P_k(s)$は$k$-概素数(重複を含めた$k$個の素数の積)の$s$乗の逆数の無限和である。
なお、$P_0(s)=1$とした。
prid-exの命題11で示した$N$以下の$k$-概素数の$s$乗の逆数和$q_s^{(k)}(N)$の公式から始める。
2以上の自然数$k$に対し、
\begin{equation}
q_s^{(k)}(N) = \Biggl( q_{ks} \bigl( \sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)s} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{(p_{i_1}\dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k
\end{equation}
が成り立つ。ここで$\displaystyle \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor }$は$\lfloor N/2^{(k-j)}\rfloor$以下の重複を含む全ての$p_{i_1}\cdots p_{i_j}$について総和を取ることを意味する。
この式を次のように書き換える。
\begin{equation}
q_s^{(k)}(N) = \Biggl( q_{ks}(N) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N \rfloor } \frac{q_{(k-j)s}(N)}{(p_{i_1}\dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k+\varepsilon_k(N),
\end{equation}
ここで、$\varepsilon_k(N)$は$k$-概素数での書き換えで生じた誤差を表す。$n$番目の素数$p_n$を用いて次のように書ける。
\begin{equation}
\varepsilon_k(N)=\frac{1}{k}\sum_{\substack{N < p_1^{\alpha_1}\cdots p_{\pi(N)}^{\alpha_{\pi(N)}} \\ \alpha_1+\cdots +\alpha_{\pi(N)}=k}} \frac{1}{p_1^{\alpha_1}\cdots p_{\pi(N)}^{\alpha_{\pi(N)}}},
\end{equation}
ここで、$i$番目の$\alpha_i$は0以上の整数であり、$k = \sum_{i=1}^{\pi(N)}\alpha_i
$を満たす。そして$N$以下の素数によって作られる積$p_1^{\alpha_1}\cdots p_{\pi(N)}^{\alpha_{\pi(N)}}$が$N$より大きい場合について総和を取る。
誤差$\varepsilon_k(N)$については一度忘れて、書き換えた式の無限極限$N\to \infty$を取る。
$\text{Re}\; s>1$であれば$q_s(N)\to P(s)$,$q_s^{(j)}(N)\to P_j(s)$に収束するので、
\begin{align}
P_k(s) &= \lim_{N\to\infty}\Biggl( q_{ks}(N) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} q_{(k-j)s}(N) \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N \rfloor } \frac{1}{(p_{i_1}\dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k \\
&= \lim_{N\to\infty}\Biggl( q_{ks}(N) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} q_{(k-j)s}(N) q_s^{(j)}(N) \Biggr)/k\\
&= \Biggl( P(ks) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} P((k-j)s)P_j(s) \Biggr)/k \\
&= \Biggl(\sum_{j=1}^{k} P(js)P_{k-j}(s) \Biggr)/k
\end{align}
と2つ目の式が得られる。最後の行で$P_0(s)=1$を使用し、$j$の取り方を変えた。
そして、prid-exの補題7の式
\begin{equation}
H_s(N)-1 = \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}q_s^{(k)}(N)
\end{equation}
で無限極限を取ると、1つ目の式
\begin{equation}
\zeta(s)-1=\sum_{k=1}^\infty P_k(s)
\end{equation}
が得られる。ここで$\text{Re}\;s>1$で$H_s(N)\to \zeta(s)$に収束することを用いた。
最後に、誤差について考える。全ての$k$-概素数の誤差$\varepsilon_k(N)$の総和を$\varepsilon(N)$とする。
\begin{equation}
\varepsilon(N)\equiv \sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_k(N).
\end{equation}
$\varepsilon(N)$は$N$より大きい自然数の$s$乗和で抑えることができ、
\begin{align}
0\le \varepsilon(N)\le\sum_{N< n}^{\infty}\frac{1}{n^s}\le \frac{1}{N^s}+\int_N^\infty \frac{1}{t^s}dt
\end{align}
となる。$\text{Re} \; s>1$を考えているので、計算を進め
\begin{align}
0\le \varepsilon(N)&\le \frac{1}{N^s}+\int_N^\infty \frac{1}{t^s}dt \\
&=\frac{1}{N^s}+\biggl[ \frac{1}{-s+1}t^{-s+1}\biggr]_N^\infty \\
&=\frac{1}{N^s}+\frac{1}{(s-1)N^{s-1}} \\
&\to 0 \quad(N\to \infty)
\end{align}
を得る。すなわち、この変形に伴う誤差の総和$\varepsilon(N)$は、$\text{Re}\;s>1$で0に収束することが分かる。
$s$乗に一般化された恒等式の無限極限を取ることができました。
この結果を基に、$\ell=3$まで書き下すと、
\begin{align}
\zeta(s)&=1+P(s)+\frac12\Bigl(P(s)^2+P(2s)\Bigr)+
\frac13\Bigl(P(s)P_2(s)+P(2s)P(s)+P(3s)\Bigr)\\
&=1+P(s)+\frac{1}{2}\Bigl(P(s)^2+P(2s)\Bigr) \\
&+\frac{1}{6}\Bigl(P(s)^3+3P(s)P(2s)+2P(3s)\Bigr)+\cdots
\end{align}
となります。
次に、より一般的な議論である完全対称多項式を紹介し、その結果からオイラー積の対数表示との整合性を確認します。
完全対称多項式とオイラー積の対数表示
まずMacdonaldを参考に、いくつかの用語を定義します。
各$r\ge 0$に対し、次数$r$の完全対称多項式$h_r$は、変数$x_1,x_2,\dots$における総次数$r$の全ての単項式の和であり、
\begin{align}
h_r\equiv\sum_{i_1\le i_2\le\cdots\le i_r}x_{i_1}x_{i_2}\cdots{x_{i_r}}.
\end{align}
特に$h_0=1,h_1=\sum_{i_1}x_{i_1}$で、$r<0$に対しては$h_r=0$と定める。
そして$h_r$の母関数は、
\begin{equation}
H(t)\equiv \sum_{r \ge0}h_r t^r =\prod_{i\ge 1}(1-x_i t)^{-1}
\end{equation}
と定義する。
\begin{align} h_0&=1, \\ h_1&=\sum_{i_1}x_{i_1}=x_1+x_2+x_3+\cdots, \\ h_2&=\sum_{i_1\le i_2}x_{i_1}x_{i_2}=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+x_1x_3+\cdots, \\ h_3&=\sum_{i_1\le i_2 \le i_3}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3} =x_1^3+x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2x_3+x_2^3+\cdots, \\ H(t)&=1+(x_1+x_2+\cdots)t+(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+\cdots)t^2+\cdots. \end{align}
各$r\ge0$に対し、$r$乗の累乗和は、
\begin{align}
u_r\equiv\sum x_i^r
\end{align}
で表す。$u_r$の母関数は、
\begin{equation}
U(t)\equiv \sum_{r\ge1}u_rt^{r-1}=\sum_{i\ge1}\sum_{r\ge1}x_i^rt^{r-1}
\end{equation}
と定義する。
$r$乗の累乗和は通常$p_r$と表すが、$n$番目の素数$p_n$との混合を避けるため、$u_r$と記す。
それに伴い、母関数も$P(t)$ではなく$U(t)$と記す。
母関数$H(t)$と$U(t)$の関係を示します。
母関数$H(t)$と$U(t)$には、次の関係式が成り立つ。
\begin{equation}
U(t)=\frac{d}{dt}\ln H(t)=H'(t)/H(t).
\end{equation}
累乗和の母関数$U(t)$の表式
\begin{align}
U(t)&=\sum_{i\ge1}\sum_{r\ge1}x_i^r t^{r-1}\\
&=\sum_{i\ge1}x_i\sum_{r\ge1}x_i^{r-1} t^{r-1}
\end{align}
において、等比級数の公式を形式的に用いる。
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}a^n = \frac{1}{1-a}.
\end{align}
すると、
\begin{align}
U(t)=\sum_{i\ge1}\frac{x_i}{1-x_it}
\end{align}
と書き直すことができ、さらに微分を使って次のように表せる。
\begin{equation}
U(t)=\sum_{i\ge1}\frac{d}{dt}\ln\frac{1}{1-x_it}.
\end{equation}
ここで、微分と総和の順序を入れ替えて、
\begin{align}
U(t)&=\frac{d}{dt}\sum_{i\ge1}\ln(1-x_it)^{-1} \\
&=\frac{d}{dt}\ln\prod_{i\ge1}(1-x_it)^{-1} \\
&=\frac{d}{dt}\ln H(t)\\
&=\frac{H'(t)}{H(t)}
\end{align}
と目的の式が導かれた。3行目の式変形で$H(t)=\prod_{i\ge1}(1-x_it)^{-1}$を利用した。
この補題から、次の命題が導かれます。
完全対称多項式$h_r$と累乗和$u_r$には、次の関係式
\begin{equation}
nh_n=\sum_{r=1}^{n}u_rh_{n-r}
\end{equation}
が成り立つ。また、母関数$H(t)$は累乗和$u_r$を用いて、
\begin{equation}
H(t)=\exp\biggl(\sum_{r\ge1}\frac{u_rt^r}{r}\biggr)
\end{equation}
と表される。
補題2より
\begin{equation}
H'(t)=U(t)H(t)
\end{equation}
の関係があるため、$U(t)$と$H(t)$に定義式を代入して
\begin{align}
\sum_{n\ge1}nh_nt^{n-1}&=\Bigl(\sum_{r\ge1}u_r t^{r-1}\Bigr)\Bigl(\sum_{j\ge0}h_jt^j\Bigr) \\
&=\sum_{r\ge1}\sum_{j\ge0}u_rh_jt^{r+j-1}
\end{align}
を得る。ここで$t^{n-1}$の係数を比較することで、
\begin{equation}
nh_n=\sum_{r+j=n}u_rh_j=\sum_{r=1}^n u_rh_{n-r},
\end{equation}
目的の式が導かれる。
再び補題2から
\begin{equation}
U(t)=\frac{d}{dt}\ln H(t)
\end{equation}
の関係が成り立つ。$U(t)=\sum_{r\ge1}u_rt^{r-1}$なので、形式的に積分を行って、
\begin{equation}
\ln H(t)=\sum_{r\ge1}\frac{u_rt^r}{r}+C
\end{equation}
となる。ここで$C$は積分定数だが、$H(0)=1$で$\ln H(0)=0$となるため、$C=0$と分かる。
両辺に形式的に指数関数を取ることで、
\begin{equation}
H(t)=\exp\biggl(\sum_{r\ge1}\frac{u_rt^r}{r}\biggr)
\end{equation}
が得られる。
完全対称多項式$h_r$とその母関数$H(t)$を累乗和$u_r$によって表すことができました。
今までは、変数$x_1,x_2,\dots$の一般的な議論をしてきましたが、$i$番目の変数$x_i$を、$i$番目の素数$p_i、\text{Re} \;s>1$を満たす複素数$s$として、$x_i=1/p_i^s$の場合を考えます。
$\text{Re}\:s>1$に対して、次の式が成り立つ。
\begin{align}
\zeta(s)-1&=\sum_{k=1}^\infty P_k(s), \\
P_k(s)&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}P(js)P_{k-j}(s).
\end{align}
なお、$P_0(s)=1$とした。
完全対称多項式の理論において$x_i=1/p_i^s$の場合を考えると、次の対応が成り立つ。
\begin{align}
h_r&\to P_r(s), \\
u_r&\to P(rs).
\end{align}
$h_r$の母関数$H(t=1)$を考えることで、
\begin{align}
&H(t=1)=\sum_{k\ge0}h_k(s) \\
&\to\zeta(s)=1+\sum_{k\ge1}P_k(s)
\end{align}
と第一式が得られる。そして命題3の$h_r$と$u_r$の関係式が第二式に対応する。
\begin{align}
&kh_k=\sum_{j=1}^{k}u_jh_{k-j} \\
&\to k P_k(s)=\sum_{j=1}^kP(js)P_{k-j}(s).
\end{align}
命題1の結果を再び得ることができました。
さらに命題3からリーマンゼータ関数$\zeta(s)$の対数表示も導くことができます。
$\zeta(s)$を素数ゼータ関数を用いて、
\begin{equation}
\ln \zeta(s)=\sum_{\ell=1}^\infty \frac{P(\ell s)}{\ell}
\end{equation}
と表すことができる。
さらに、メビウス反転することで、
\begin{equation}
P(s)=\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\mu(\ell)}{\ell}\ln\zeta(\ell s)
\end{equation}
を得る。ここで$\mu(\cdot)$はメビウス関数である。
命題3における$H(t)$の累乗和$u_r$による表式で、$t=1$の場合は
\begin{align}
H(t=1)&=\exp\biggl(\sum_{\ell\ge1}\frac{u_\ell}{\ell}\biggr)
\end{align}
となる。変数$x_i$を$1/p_i^s$に取ることで、
\begin{align}
&H(t=1)=\zeta(s), \\
&u_r=P(rs)
\end{align}
と対応するため、次の式を得る。
\begin{align}
\zeta(s)=\exp\biggl(\sum_{\ell=1}^\infty\frac{P(\ell s)}{\ell}\biggr).
\end{align}
両辺に対数を取ることで、第一式
\begin{equation}
\ln \zeta(s)=\sum_{\ell=1}^\infty\frac{P(\ell s)}{\ell}
\end{equation}
が成り立つ。この式はprid-exのように
\begin{equation}
\ln \zeta(s)=\sum_{\ell=1}^\infty\eta_{\ell1}P(\ell s), \quad \eta_{\ell1}=\frac{1}{\ell},
\end{equation}
と展開できる。同様に反転式は
\begin{equation}
P(s)=\sum_{\ell=1}^\infty \mu_{\ell1}\ln\zeta(\ell s),
\end{equation}
と考えることができる。prin1の例4で、この反転係数は
\begin{equation}
\mu_{\ell1}=\frac{\mu(\ell)}{\ell}
\end{equation}
と求めたため、第二式を得る。
この結果は、primathで$\zeta(s)$のオイラー積から導かれる対数表示と一致しています。$s$乗に一般化された恒等式の無限極限$N\to\infty$が、オイラー積と整合することを確認できました。
無限極限を踏まえた展開係数の再考
今度は無限極限の式から有限の恒等式への影響(展開係数や反転係数)について考えます。
さきほど得た$s$乗に一般化された恒等式の無限極限の式
\begin{align}
\zeta(s)&=1+P(s)+\frac12\Bigl(P(s)^2+P(2s)\Bigr)+
\frac13\Bigl(P(s)P_2(s)+P(2s)P(s)+P(3s)\Bigr)\\
&=1+P(s)+\frac{1}{2}\Bigl(P(s)^2+P(2s)\Bigr) \\
&+\frac{1}{6}\Bigl(P(s)^3+3P(s)P(2s)+2P(3s)\Bigr)+\cdots
\end{align}
では、$P(2s)P(s)$などの順序を入れ替えても結果が変わりません。
そこで、この入れ替え操作を「素因数分解の順序交換」とし、有限の場合について考えます。
2以上の自然数$n$までの$\alpha_1,\dots,\alpha_n$をそれぞれ任意の自然数とする。
素数ゼータ関数の積
\begin{equation}
P(\alpha_n s)P(\alpha_{n-1}s)\cdots P(\alpha_2s)P(\alpha_1 s)
\end{equation}
は、$\alpha_n,\dots,\alpha_1$の任意の入れ替え(素因数分解の順序交換)に対して不変である。
この式は有限の実数$N$の場合、
\begin{align}
\sum_{i_n=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_n]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots2^{\alpha_{n-1}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_n}^{\alpha_n s}}\sum_{i_{n-1}=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_{n-1}]{N/2^{\alpha_1}\cdots 2^{\alpha_{n-2}}p_{i_n}^{\alpha_n}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_{n-1}}^{\alpha_{n-1} s}}\cdots \sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}p_{i_3}^{\alpha_3}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}}\;q_{\alpha_1 s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)
\end{align}
に対応し、これも$\alpha_n,\dots,\alpha_1$の任意の入れ替え(素因数分解の順序交換)に対して不変である。
素数ゼータ関数の積に対応する有限の表式を考える。
1つの場合は$P(\alpha_1 s)\leftrightarrow q_{\alpha_1s}\bigl(\sqrt[\alpha_1]{N}\bigr)$と対応し、$N$以下の$p^{\alpha_1}$で表される数の$s$乗の逆数和である。ここで$p$は任意の素数とする。
2つの場合、$P(\alpha_2s)P(\alpha_1s)$は
\begin{align}
\sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}}\Bigr)}
\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2s}}q_{\alpha_1s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}}}\Biggr)
\end{align}
と対応する。1つの場合の式の$N$が$N/p_{i_2}^{\alpha_2}$に変化している。また$q_{\alpha_1s}(x)$が2未満の$x$で0となることから、$i_2$の範囲を制限した。
prid-exの補題10では、以下の主張を示した。
与えられた実数$N$以下の$mp^\ell$で表される数の$s$乗の逆数和は$q_{\ell s} \bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \bigr)/m^s$と等しい。
これを用いると、得られた式は$N$以下の$p^{\alpha_1}p_{i_2}^{\alpha_2}$で表される数の$s$乗の逆数和と等しいことが分かる。
3つの場合も同様に、$P(\alpha_3s)P(\alpha_2s)P(\alpha_1s)$が
\begin{align}
\sum_{i_3=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_3]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_3}^{\alpha_3}}
\sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}p_{i_3}^{\alpha_3}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2}}q_{\alpha_1s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}p_{i_3}^{\alpha_3}}}\Biggr)
\end{align}
と対応し、$N$以下の$p^{\alpha_1}p_{i_2}^{\alpha2}p_{i_3}^{\alpha_3}$で表される数の$s$乗の逆数和に等しい。2つの場合の式の$N$が$N/p_{i_3}^{\alpha_3}$に変化している。
これを繰り返し、$n$個の場合は
\begin{align}
\sum_{i_n=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_n]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots2^{\alpha_{n-1}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_n}^{\alpha_n s}}\sum_{i_{n-1}=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_{n-1}]{N/2^{\alpha_1}\cdots 2^{\alpha_{n-2}}p_{i_n}^{\alpha_n}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_{n-1}}^{\alpha_{n-1} s}}\cdots \sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}p_{i_3}^{\alpha_3}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}}\;q_{\alpha_1 s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)
\end{align}
と対応する。2~$n$の間の$j$番目について、$i_j$の動く範囲は次のように決定される。
まず$q_{\alpha_1s}(x)$は2以上の$x$で非負の値を持つ。そのため、$i_j$について
\begin{align}
&\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}} \ge 2,
\end{align}
整理して、
\begin{align}
&N/2^{\alpha_1}p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_{j-1}}^{\alpha_{j-1}}p_{i_{j+1}}^{\alpha_{j+1}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}\ge p_{i_j}^{\alpha_j}
\end{align}
を満たす場合を考えればよい。($p_{i_1}$や$p_{i_{n+1}}$は1とする。)
$i_2,\dots ,i_{j-1}$が全て1のとき、すなわち$p_{i_2}=\cdots =p_{i_{j-1}}=2$のとき、$i_j$の動く範囲が最大となる。
よって、$i_j$の動く範囲は
\begin{align}
&\sqrt[\alpha_j]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots 2^{\alpha_{j-1}}p_{i_{j+1}}^{\alpha_{j+1}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\ge p_{i_j}, \\
&\to\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_j]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots 2^{\alpha_{j-1}}p_{i_{j+1}}^{\alpha_{j+1}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\Bigr)\ge i_j
\end{align}
と求められる。
得られた表式はprid-exの補題10に基づくと、$N$以下の$p^{\alpha_1}p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}$で表される数の$s$乗の逆数和に等しい。これは与えられた$\alpha_1,\dots,\alpha_n$によって値が定まり、$\alpha_1,\dots,\alpha_n$を入れ替えても変わらない。
有限における素因数分解の順序交換について考えました。これを使うと、$s$乗に一般化された恒等式を別の方法で表せます。
2以上の$N$に対し、$s$乗に一般化された恒等式は
\begin{equation}
\begin{split}
H_s(N)-1 = q_s(N) +\displaystyle \sum_{k=2}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\Biggl( q_{ks} \bigl(\sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{i=1}^{\pi\bigl(\sqrt[j]{N/2^{k-j}}\bigr)} \frac{1}{{p_i}^{js}}q_s^{(k-j)}\bigl(N/p_i^j\bigr) \Biggr)/k
\end{split}
\end{equation}
としても表せる。ここで、$q_s^{(k)}(N)$は$N$以下の$k$-概素数の$s$乗の逆数和である。
以前までの恒等式は、prid-exの定理12の証明にあるように
\begin{equation}
H_s(N)-1 = q_s(N) +\displaystyle \sum_{k=2}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\Biggl( q_{ks} \bigl(\sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor } \frac{q_{(k-j)s} \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr)}{(p_{i_1} \dotsm p_{i_j})^s} \Biggr)/k
\end{equation}
と展開していた。命題1の結果として、この式の無限極限が
\begin{align}
\zeta(s)-1&=\sum_{k=1}^\infty P_k(s), \\
P_k(s)&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}P_{k-j}(s)P(js)
\end{align}
であった。定理6では、素数ゼータ関数の積の交換が有限でも成り立つことを確認した。
$P_{k-j}(s)$は素数ゼータ関数で表せるため、$P_{k-j}(s)$と$P(js)$を入れ替えることができる。
ここからは、入れ替えた式
\begin{align}
P_k(s)&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}P(js)P_{k-j}(s)
\end{align}
に対応する有限での表式を求める。$P_{k-j}(s)\leftrightarrow q_s^{(k-j)}(N)$の対応があるため、
\begin{align}
\Biggl( q_{ks} \bigl(\sqrt[k]{N} \bigr) + \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{i=1}^{\pi\bigl(\sqrt[j]{N/2^{k-j}}\bigr)} \frac{1}{{p_i}^{js}}q_s^{(k-j)}\bigl(N/p_i^j\bigr) \Biggr)/k
\end{align}
と求められる。ここで$q_s^{(0)}(N)$を定義していないので、$j=k$の場合だけ分けた。また$i$の範囲は、$q_s^{(k-j)}(x)$が$x\ge2^{k-j}$で値を持つことを考慮し、制限した。
これをprid-exの補題7の式
\begin{equation}
H_s(N) = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}q_s^{(k)}(N)
\end{equation}
に代入することで、目的の式が導かれる。
素因数分解の順序交換によって、$s$乗に一般化された恒等式の別表現が得られました。$k$-概素数の逆数和$q^{(k)}_s(N)$を使っていますが、特別な総和を導入することなく簡潔に表現できています。一方で、これまで私達は$q_s(N),q_{2s}(N),\dots$で展開していたため、$k$-概素数の総和を取る必要があったことに気付きます。
今度は、展開要素を素数の$s$乗の逆数和$q_s(N),q_{2s}(N),\dots$のままにし、展開係数が一意でないことを確認します。
自然数の$s$乗の逆数和$H_s(N)$を素数の$s$乗の逆数和によって、
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)
\end{equation}
と展開する。このとき展開係数$\eta_{\ell m}$は、任意の実数$t$を使って
\begin{equation}
\eta_{\ell m}=
\begin{cases}
(2-t)/3, & (\ell=1, m=p^2),\\
t/3, & (\ell=2, m=p), \\
1/(\Omega(m)+\ell), & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
としても成立する。ここで$p_i$は任意の素数を表す。
よって、展開係数は一意に決まらない。
命題1で得た$s$乗に一般化された恒等式の無限極限の式において、3-概素数の項
\begin{align}
\frac13\Bigl(P_2(s)P(s)+P(s)P(2s)+P(3s)\Bigr)
\end{align}
に注目する。特に$P(s)P(2s)$を、任意の実数$t$を用いて
\begin{align}
tP(s)P(2s)+(1-t)P(2s)P(s)
\end{align}
に分解する。$P(s)$と$P(2s)$はただの数で可換なので、このように分解できる。
定理6より、$P(s)P(2s)$,$P(2s)P(s)$はそれぞれ、
\begin{align}
P(s)P(2s)&\leftrightarrow \sum_{i=1}^{\pi(N/2^2)}\frac{1}{p_i^s}q_{2s}\Biggl(\sqrt{\frac{N}{p_i}}\Biggr),\\
P(2s)P(s)&\leftrightarrow \sum_{i=1}^{\pi\bigl(\sqrt{N/2}\bigr)}
\frac{1}{p_i^{2s}}q_s\Biggl(\frac{N}{p_i^2}\Biggr)
\end{align}
と有限の表式に対応づけられる。
展開係数$\eta_{\ell m}$が$q_{\ell s}\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)/m^s$の係数であったため、分解前の$P(s)P(2s)$では$\eta_{2p}=1/3$となる。
今回の分解によって、展開係数は
\begin{align}
&\eta_{2p}=t/3, \\
&\eta_{1p^2}=\frac{1}{3}+\frac{1-t}{3}=\frac{2-t}{3},
\end{align}
のように変化する。ここで$\eta_{1p^2}$の最初の1/3は、元から存在する$P_2(s)P(s)$の項によるものである。
このような展開係数でも恒等式が成り立つため、非一意性が確認された。
恒等式の展開係数が一意に決まらないことが確認できました。
以降は、これまで考えてきた$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$を標準形と呼ぶことにします。
次に、素因数分解の順序交換によって変化しない展開係数を見ていきます。
$n \ge 1$に対し、$m_n=p_1\cdots p_n$と定義する。
ここで、$p_1,\dots,p_n$は互いに相異なる素数である。また$m_0=1$と定める。
以下の展開係数は、素因数分解の順序交換を行っても変わらない。
\begin{equation}
\eta_{1,m_{n}}=\frac{1}{n+1},\quad \eta_{\ell,1}=\frac{1}{\ell}.
\end{equation}
まず、素数ゼータ関数が1つしかないときは、素因数分解の順序交換ができない。そのため、次の対応関係
\begin{equation}
\frac{1}{k}P(ks)\leftrightarrow \frac{1}{\ell}q_{\ell s}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)
\end{equation}
が成り立たなければならず、2番目の式$\eta_{\ell1}=1/\ell$となる。
次に、定理6より$P(\alpha_ns)\cdots P(\alpha_1s)$の有限の表式は
\begin{align}
\sum_{i_n=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_n]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots2^{\alpha_{n-1}}}\Bigr)}\cdots\sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}p_{i_3}^{\alpha_3}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}\cdots p_{i_n}^{\alpha_ns}}\;q_{\alpha_1 s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)
\end{align}
である。これと展開係数の定義より
\begin{equation}
\eta_{\ell,m}=\eta_{\alpha_1,p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}},
\end{equation}
すなわち$\ell=\alpha_1,m=p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_n}^{\alpha_n}$での展開係数に関係する。
全てが1のとき$(\alpha_1=\cdots=\alpha_n=1)$は、素因数分解の順序交換を行っても展開係数が変化しない。
$m_n$の定義を用いて、そのときの展開係数は$\eta_{1,m_{n-1}}$と書くことができる。
さて、$s$乗に一般化された恒等式は
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)
\end{equation}
であった。2以上の$N$に対する恒等式なので$N=m_n$での両辺の変化が等しくなければならない。そのため、
\begin{equation}
1=n\times\eta_{1,m_{n-1}}
\end{equation}
が成り立ち、1番目の関係式を得る。
今度は、不変な展開係数に対応する反転係数$\mu_{\ell m}$について考えます。prin2の命題7より、反転係数$\mu_{\ell m}$は$s$乗に一般化された恒等式の反転式
\begin{equation}
q_s(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\mu_{\ell m}}{m^s}\Bigl(H_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)-1\Bigr)
\end{equation}
の係数として定義されています。対応する反転係数は以前の結果から直ちに得られます。
$n \ge 1$に対し、$m_n=p_1\cdots p_n$と定義する。
ここで、$p_1,\dots,p_n$は互いに相異なる素数である。また$m_0=1$と定める。
以下の反転係数は、素因数分解の順序交換を行っても変わらない。
\begin{equation}
\mu_{1,m_{n}}=B_n,\quad \mu_{\ell,1}=\frac{\mu(\ell)}{\ell}.
\end{equation}
ここで、$B_n$は第一種ベルヌーイ数、$\mu(\cdot)$はメビウス関数である。
不変な反転係数は、第一種ベルヌーイ数やメビウス関数などの数論で重要なものと結びついています。
前回までの議論(反転公式や恒等式の積分printなど)は、文字$\eta_{\ell m}$を使っていたため、標準形以外でもほとんど成り立ちます。
一方で、prin2の命題2は標準形特有の結果であることに注意しましょう。
命題2 第2種ベルヌーイ数との関係
$n \ge 1$に対し、$m_n={p_1}^n$と定義する。
ここで$p_1$は任意の素数である。
そのとき、素数計数関数の恒等式の反転係数$\mu_{\ell,m}$について
$\mu_{1,m_n}=(-1)^nG_n$
が成り立つ。ここで、$G_n$は第2種ベルヌーイ数である。
最後に、標準形について考えていきます。
標準形は次の性質を満たすことが分かります。
展開係数が標準形$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$であれば、展開係数は「展開係数の入れ替え」に関して不変である。
\begin{equation}
\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}=
\eta_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}.
\end{equation}
ここで、「展開係数の入れ替え」は
\begin{equation}
\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}\leftrightarrow
\eta_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}
\end{equation}
とする操作で、$j$は2から$n$までの任意の整数とする。
定理6より、有限の場合の素因数分解の順序交換は
\begin{align}
\sum_{i_n=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_n]{N/2^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots2^{\alpha_{n-1}}}\Bigr)}\cdots\sum_{i_2=1}^{\pi\Bigl(\sqrt[\alpha_2]{N/2^{\alpha_1}p_{i_3}^{\alpha_3}\cdots p_{i_n}^{\alpha_{n}}}\Bigr)}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}\cdots {p_{i_j}^{\alpha_j s}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_ns}}\;q_{\alpha_1 s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_j}^{\alpha_j} \cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)
\end{align}
において$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$の内、任意の2つを入れ替えることである。
$\alpha_1\leftrightarrow\alpha_j$を行うと、
\begin{align}
&\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}\sum_{i_n=1}\cdots\sum_{i_2=1}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}\cdots {p_{i_j}^{\alpha_j s}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_ns}}\;q_{\alpha_1 s}\Biggl(\sqrt[\alpha_1]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_j}^{\alpha_j} \cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)\\
&\to \eta'_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}\sum_{i_n=1}\cdots\sum_{i_2=1}\frac{1}{p_{i_2}^{\alpha_2 s}\cdots {p_{i_j}^{\alpha_1 s}}\cdots p_{i_n}^{\alpha_ns}}\;q_{\alpha_j s}\Biggl(\sqrt[\alpha_j]{\frac{N}{p_{i_2}^{\alpha_2}\cdots p_{i_j}^{\alpha_1} \cdots p_{i_n}^{\alpha_n}}}\Biggr)
\end{align}
となり、元の展開係数$\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}$が、別の展開要素の展開係数$ \eta'_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}$に変わる。ここで、問題とならないため総和の範囲は省略した。
今度は逆に$\alpha_j\leftrightarrow\alpha_1$を行い、
\begin{equation}
\eta_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}\to \eta'_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}},
\end{equation}
とする。このようにして「展開係数の入れ替え」すなわち
\begin{equation}
\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}\leftrightarrow
\eta_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}}
\end{equation}
が実現する。展開係数が標準形$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$であれば
\begin{align}
\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_j}\cdots p_n^{\alpha_n}}&=\frac{1}{\alpha_2+\cdots+\alpha_j+\cdots +\alpha_n +\alpha_1} \\
&=
\eta_{\alpha_j,p_2^{\alpha_2}\cdots p_j^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}},
\end{align}
となり、展開係数の入れ替えに関して不変である。
標準形が、展開係数の入れ替えという操作に関して不変であることが分かりました。ここで、命題9の逆について考え、次の予想を立てます。
展開係数が「展開係数の入れ替え」に関して不変であれば、展開係数は標準形$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$に一意に定まる。
展開係数$\eta_{\ell m}$は無限極限との接続から$\eta_{\alpha_1,p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}}$の形のとき、総和を取るため$p_2,\cdots ,p_n$の具体的な値に依らない。
すなわち$m$の素因数分解の形が同じなら$\eta_{\ell m}$は同じ値を取る。
そして、$s$乗に一般化された恒等式
\begin{equation}
H_s(N)-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m^s}q_{\ell s} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)
\end{equation}
の$N=k$-概素数での変化を考えると、$k=\Omega(m)+\ell$を満たす展開係数$\eta_{\ell m}$についての方程式を得る。展開係数は$m$の素因数分解の形で決まるため、$N=k$-概素数も素因数分解の形で分けて考えれば十分である。
具体例として、$k=4$の場合を考える。$p_1,p_2,p_3,p_4$を互いに相異なる素数とする。
考えるべき展開係数は
\begin{equation}
\eta_{4,1},\eta_{3,p_1},\eta_{2,p_1^2},\eta_{2,p_1p_2},\eta_{1,p_1^3},\eta_{1,p_1^2p_2},\eta_{1,p_1p_2p_3}
\end{equation}
の7つである。展開係数は$m$の素因数分解の形に依存するので、$\eta_{3,p_1}=\eta_{3,p_2}$や$\eta_{2,p_1p_2}=\eta_{2,p_2p_3}$となることに注意する必要がある。
$N=4$-概素数での恒等式の変化を考えることで、これらの展開係数間の関係は次の連立方程式で与えられる。
\begin{cases}
\eta_{4,1}+\eta_{3,p_1}+\eta_{2,p_1^2}+\eta_{1,p_1^3}=1, & (N=p_1^4),\\
\eta_{3,p_2}+\eta_{2,p_1p_2}+\eta_{1,p_1^3}+\eta_{1,p_1^2p_2}=1, & (N=p_1^3p_2),\\
\eta_{2,p_1^2}+\eta_{2,p_2^2}+\eta_{1,p_1^2p_2}+\eta_{1,p_1p_2^2}=1, & (N=p_1^2p_2^2),\\
\eta_{2,p_2p_3}+\eta_{1,p_1^2p_2}+\eta_{1,p_1^2p_3}+\eta_{1,p_1p_2p_3}=1, & (N=p_1^2p_2p_3),\\
\eta_{1,p_1p_2p_3}+\eta_{1,p_1p_2p_4}+\eta_{1,p_1p_3p_4}+\eta_{1,p_2p_3p_4}=1, & (N=p_1p_2p_3p_4).
\end{cases}
これを表1にまとめた。
表1 : 各$N$における方程式での展開係数の出現回数
| $N$ | $\eta_{4,1}$ | $\eta_{3,p_1}$ | $\eta_{2,p_1^2}$ | $\eta_{2,p_1p_2}$ | $\eta_{1,p_1^3}$ | $\eta_{1,p_1^2p_2}$ | $\eta_{1,p_1p_2p_3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $p_1^4 $ | +1 | +1 | +1 | +1 | |||
| $p_1^3p_2$ | +1 | +1 | +1 | +1 | |||
| $p_1^2p_2^2$ | +2 | +2 | |||||
| $p_1^2p_2p_3$ | +1 | +2 | +1 | ||||
| $p_1p_2p_3p_4$ | +4 |
ここで展開係数の入れ替えに関して不変であることを使うと、$\eta_{3,p_1}=\eta_{1,p_1^3},\;\eta_{2,p_1p_2}=\eta_{1,p_1^2p_2}$となり、次のようにまとめられる。
表2 : 各$N$における方程式での展開係数の出現回数(展開係数の入れ替えに関して不変の場合)
| $N$ | $\eta_{4,1}$ | $\eta_{3,p_1}$ | $\eta_{2,p_1^2}$ | $\eta_{2,p_1p_2}$ | $\eta_{1,p_1p_2p_3}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_1^4 $ | +1 | +2 | +1 | ||
| $p_1^3p_2$ | +2 | +2 | |||
| $p_1^2p_2^2$ | +2 | +2 | |||
| $p_1^2p_2p_3$ | +3 | +1 | |||
| $p_1p_2p_3p_4$ | +4 |
これを線形代数の拡大係数行列で書き、掃き出し法を使って解を求めると
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1
\end{array} \right) \to
\left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/4\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1/4\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1/4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1/4
\end{array} \right)
\end{align}
が得られる。よって、$k=\Omega(m)+\ell=4$のときは標準形$\eta_{\ell m}=1/k=1/(\Omega(m)+\ell)$となることが確かめられた。
$k=3,5$のときも同様に成り立つことが分かる。
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 1
\end{array} \right) &\to
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1/3\\
0 & 1 & 0 & 1/3\\
0 & 0 & 1 & 1/3
\end{array} \right), \\
\left( \begin{array}{ccccccc|c}
1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1
\end{array} \right) &\to
\left( \begin{array}{ccccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/5 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1/5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1/5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1/5
\end{array} \right).
\end{align}
一般に、$k$-概素数の係数行列を$H_k$として
\begin{align}
(H_k | \boldsymbol{1}) \to (I | \boldsymbol{1}/k)
\end{align}
を示せばよい。ここで、$\boldsymbol{1}$は全成分1の列ベクトル、$I$は単位行列を表す。
より一般に、方程式と未知数の関係を見る。
これらの個数を表すため、IntPaを参考に分割数$p(n)$を導入する。
自然数$n$に対し、$n$の分割とは総和が$n$となる自然数の非増加列$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$のことである。各$\lambda_i$をその部分と呼び、$p(n)$は整数$n$の分割数を表す。
$n=5$の場合、$p(5)=7$であり、その分割を下に示す。
\begin{align}
5&=5 \\
&=4+1 \\
&=3+2 \\
&=3+1+1 \\
&=2+2+1 \\
&=2+1+1+1 \\
&=1+1+1+1+1.
\end{align}
これを用いると、$k=\Omega(m)+\ell$となる未知数$\eta_{\ell m}$の個数は$\sum_{j=0}^{k-1}p(j)$で表せる。それらに関する方程式は$N=k$-概素数での変化を考えるので、$p(k)$本である。
そして展開係数の入れ替えに関して不変であることを課すと、未知数の個数が$p(k)$個となる。
これらの関係を表3にまとめた。
表3 : 方程式の本数と未知数の個数の関係
| $k$ | 方程式 $p(k)$本 | 未知数 $\sum_{j=0}^{k-1}p(j)$個 | → | 展開係数の入れ替え不変の下 $p(k)$個 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | → | 1 |
| 2 | 2 | 2 | → | 2 |
| 3 | 3 | 4 | → | 3 |
| 4 | 5 | 7 | → | 5 |
| 5 | 7 | 12 | → | 7 |
この表から、通常の展開において$k=3$以上で方程式の本数$<$未知数の個数となるので、展開係数の非一意性が現れたと分かる。一方で、展開係数の入れ替え不変性を課すことで、方程式の本数$=$未知数の個数が成り立つ。
その上、命題7で示した素因数分解の順序交換で不変な展開係数
\begin{equation}
\eta_{1,m_{n}}=\frac{1}{n+1},\quad \eta_{\ell,1}=\frac{1}{\ell}
\end{equation}
より、方程式の本数-1$>$未知数の個数-2となる。
よって、ナイーブには展開係数の一意性を期待できる。ただし、厳密には一般の$k$について$(H_k | \boldsymbol{1}) \to (I | \boldsymbol{1}/k)$を示す必要がある。
$k=3,4,5$では成り立ち、方程式の本数と未知数の個数の関係から、展開係数の一意性をナイーブに期待できます。また、展開係数の入れ替えは未知数の個数を減らし、方程式の本数と一致させる役割を担っています。
おわりに
$s$乗に一般化された恒等式の無限極限を取り、完全対称多項式との対応から、オイラー積の対数表示との整合を確かめました。
逆に、恒等式の無限極限で不変な操作、素因数分解の順序交換を考えました。有限の表式では展開要素が変わり、恒等式の別表現や展開係数の非一意性が現れました。
その後は、素因数分解の順序交換で不変な展開係数・反転係数を導き、標準形$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$と展開係数の入れ替えの関係を調べました。
有限で離散的な恒等式を、連続や無限に接続することができました。次回は、素因数分解の順序交換で不変な反転係数を基に、素数計数関数$\pi(N)$の近似式について書く予定です。
