複素2次元ベクトルから2次元球面への射影

複素数のペア$(z_0, z_1)$を2次元球面上の座標に対応させる方法を、なるべく初等的に説明します。

オイラーの公式を前提とします。

複素数のペアと球面

複素数のペア$(z_0, z_1)$があり、その大きさの和が 1 になるように正規化されているとします。

$$ |z_0|^2 + |z_1|^2 = 1 $$

これは4次元空間（複素数は実数2つ分なので$2+2=4$次元）の中にある3次元球面の方程式です。

複素数$z_0, z_1$を極形式（絶対値と偏角）で表します。$|z_0|^2 + |z_1|^2 = 1$なので、絶対値を$\cos\theta,\ \sin\theta$とおくことができます（$0 \le \theta \le \pi/2$）。

$$ \begin{pmatrix}z_0 \\ z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{i\alpha} \cos\theta \\ e^{i\beta} \sin\theta\end{pmatrix} $$

グローバル位相の無視（自由度の減少）

複素数のペアは実数で4自由度を持つため、3次元空間内の2次元球面に射影するには自由度を1つ捨てる必要があります。

そのために、この複素数のペアに対して「全体を回転させても同じとみなす」というルールを導入します。複素数の掛け算における回転とは、絶対値が1の複素数$e^{i\omega}$を掛けることです。

$$ \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} \sim e^{i\omega} \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{i\omega}z_0 \\ e^{i\omega}z_1 \end{pmatrix} $$

これは、2つの数の比$z_0 : z_1$だけに注目し、全体にかかる余分な係数を無視することに相当します。

代表元の選び方（第1成分の絶対値化）

同値と見なされる無数の組み合わせの中から、代表となる1つを選び出して形を固定します。

第1成分$z_0 = e^{i\alpha} \cos\theta$の位相を打ち消すため、全体に$e^{-i\alpha}$を掛けます。

$$ \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} \sim e^{-i\alpha} \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} = e^{-i\alpha} \begin{pmatrix} e^{i\alpha} \cos\theta \\ e^{i\beta} \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ e^{i(\beta-\alpha)} \sin\theta \end{pmatrix} $$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ですが、符号の違いはオイラーの等式$e^{i\pi}=-1$より同値と見なされます。

$$ -\begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} = e^{i\pi} \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} z_0 \\ z_1 \end{pmatrix} $$

符号の違いを吸収するため、$\theta$の定義域により正の値域に制限します。これは第1成分の絶対値に相当します。

$$ \cos\theta = |z_0| \ge 0 \quad \left( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \right) $$

ここで$\phi = \beta-\alpha$とおきます。標準的なブロッホ球の定義では、第1成分を北極と南極を貫く軸として扱うため、$Z$とおきます。第2成分は複素数なので、実部$X$と虚部$Y$に分けます。

$$ \begin{pmatrix} Z \\ X+iY \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ e^{i\phi} \sin\theta \end{pmatrix} $$

座標$(X, Y, Z) \in \mathbb R^3$は以下のように求まります。これは標準的な3次元の極座標表示です。

$$ \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{Re}\left( e^{i\phi} \sin\theta \right) \\ \text{Im}\left( e^{i\phi} \sin\theta \right) \\ \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix} $$

3次元座標と半球

この$(X, Y, Z)$が2次元球面$S^2$上の一点を指すことを確認します。

$$ \begin{aligned} X^2 + Y^2 + Z^2 &= \cos^2\phi \sin^2\theta + \sin^2\phi \sin^2\theta + \cos^2\theta \\ &= (\cos^2\phi + \sin^2\phi) \sin^2\theta + \cos^2\theta \\ &= \sin^2\theta + \cos^2\theta \\ &= 1 \end{aligned} $$

ただし、$Z \ge 0$という制限により、この段階で表される範囲は、球面の北半球になります。

赤道の縮退（巾着絞り）

ここで、半球の縁である赤道に注目します。赤道は$Z=0$であり、元の第1成分も$z_0=0$です。

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ z_1 \end{pmatrix} $$

このとき、第2成分$z_1$は（正規化により大きさは1ですが）どのような位相$e^{i\phi}$を持っていても構いません。しかし、ルール「全体を回転させても同じ」より

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ e^{i\phi} \end{pmatrix} = e^{i\phi} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

となり、赤道上の点 $X^2+Y^2=1,\ Z=0$ は、位相が違ってもすべて同じ点とみなされます。

つまり、座標上では円（赤道）に見えているものが、同値関係により「たった1つの点」に潰れているのです。

閉じた球面の完成

この状況を幾何学的にイメージしてみましょう。

1. 北半球があります。
2. その縁である赤道を、ぎゅっと絞って1点にします。

半球の口を閉じれば、それはもはや半球ではなく、閉じた完全な球面になります。赤道だった部分は、閉じた後の球面の南極になります。

角度の倍加（仕上げ）

この「口を閉じた球面」が単位球面に一致するように座標を補正します。

元の座標では北極$\theta=0,\ Z=1$から赤道$\theta=\pi/2,\ Z=0$までしかありませんでした。

$$ \begin{alignedat}{2} \left. \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\phi}\sin \theta\end{pmatrix} \right|_{\theta=0} &= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} &&\mapsto \left. \begin{pmatrix}   \cos\phi \sin \theta \\   \sin\phi \sin \theta \\   \cos \theta \end{pmatrix} \right|_{\theta=0} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \\ \left. \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\phi}\sin \theta\end{pmatrix} \right|_{\theta=\frac{\pi}{2}} &= \begin{pmatrix}0 \\ e^{i\phi}\end{pmatrix} &&\mapsto \left. \begin{pmatrix}   \cos\phi \sin \theta \\   \sin\phi \sin \theta \\   \cos \theta \end{pmatrix} \right|_{\theta=\frac{\pi}{2}} = \begin{pmatrix}\cos\phi \\ \sin\phi \\ 0\end{pmatrix} \end{alignedat} $$

しかし、閉じてしまった赤道を南極として扱うため、新しい球面では北極から南極まで$(0 \sim \pi)$の広がりを持つべきです。したがって、元の角度$\theta\ (0 \sim \pi/2)$を2倍に引き伸ばして、新しい角度$2\theta\ (0 \sim \pi)$に対応させる必要があります。

$$ \begin{alignedat}{2} \left. \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\phi}\sin \theta\end{pmatrix} \right|_{\theta=0} &= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} &&\mapsto \left. \begin{pmatrix}   \cos\phi \sin 2\theta \\   \sin\phi \sin 2\theta \\   \cos 2\theta \end{pmatrix} \right|_{2\theta=0} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \\ \left. \begin{pmatrix}\cos \theta \\ e^{i\phi}\sin \theta\end{pmatrix} \right|_{\theta=\frac{\pi}{2}} &= \begin{pmatrix}0 \\ e^{i\phi}\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} &&\mapsto \left. \begin{pmatrix}   \cos\phi \sin 2\theta \\   \sin\phi \sin 2\theta \\   \cos 2\theta \end{pmatrix} \right|_{2\theta=\pi} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \end{alignedat} $$

以上をまとめると、$\theta \to 2\theta$によって補正した3次元座標$(x,y,z) \in \mathbb R^3$は、以下のようになります。

$$ \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}     \cos\phi \sin \theta \\     \sin\phi \sin \theta \\     \cos \theta   \end{pmatrix} \xrightarrow{\theta \to 2\theta}   \begin{pmatrix}     \cos\phi \sin 2\theta \\     \sin\phi \sin 2\theta \\     \cos 2\theta   \end{pmatrix} =: \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} $$

この補正によって、射影された球面は単位球面に一致します。

このように、複素数のペアを単位球面に射影しようとすると、必然的に俯角$\theta$が2倍になります。

複素数のまま計算する

最後に、この結果$(x,y,z)$を、角度$\theta, \phi$を使わずに元の複素数$z_0, z_1$だけで表してみましょう。

まず、$z$成分（高さ）について、2倍角の公式を用いて計算します。

$$ z = \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $$

ここで、$|z_0| = \cos\theta,\ |z_1| = \sin\theta$より、

$$ z = |z_0|^2 - |z_1|^2 $$

となります。

次に、$x, y$成分（水平方向）について計算します。

$$ x + iy = (\cos\phi + i\sin\phi) \sin 2\theta = e^{i\phi} \sin 2\theta $$

ここで、$\phi = \beta - \alpha$ と2倍角の公式より、

$$ \begin{aligned} x + iy &= e^{i(\beta-\alpha)} \cdot 2\sin\theta\cos\theta \\ &= 2 (e^{-i\alpha}\cos\theta) (e^{i\beta}\sin\theta) \\ &= 2 z_0^* z_1 \end{aligned} $$

となります。（$z_0^*$は$z_0$の複素共役）

まとめると、正規化された複素数のペア$(z_0, z_1)$から2次元球面上の点$(x,y,z)$への変換式は以下のようになります。

「グローバル位相の無視による代表元の固定」と「閉じた球面の形成」という幾何学的な要請から、この数式が自然に導かれました。