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複素数の拡張で学ぶテンソル積

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複素数の虚数単位を増やして拡張することから、テンソル積を導入します。

虚数単位を増やす

複素数の虚数単位 $i$ について $i^{2} = - 1$ が成り立ちます。ここに、同じ性質 $j^{2} = - 1$ を満たす新しい虚数単位 $j$ を導入します。ただし、 $i \neq \pm j$ で、 $i$ と $j$ は可換 $i j = j i$ とします。

積を計算します。（ $a, b, c, d, e, f$ は実数）

$\begin{aligned} (a + b i + c j) (d + e i + f j) \\ = a (d + e i + f j) + b i (d + e i + f j) + c j (d + e i + f j) \\ = a d + a e i + a f j + b d i + b e i^{2} + b f i j + c d j + c e i j + c f j^{2} \\ = a d + a e i + a f j + b d i - b e + b f i j + c d j + c e i j - c f \\ = (a d - b e - c f) + (a e + b d) i + (a f + c d) j + (b f + c e) i j \end{aligned}$

この計算結果から、 $i, j$ によって生成される数は

$a + b i + c j + d i j (a, b, c, d は実数)$

の形で表せることが分かります。このような数の体系を双複素数wiki-bc (bicomplex numberwiki-bc-en) と呼びます。

$i j$ は $a + b i + c j$ の形では表せないことから、三元数ではありません。
双複素数は $i j = j i$ であることから、 $i j = - j i$ となる四元数wiki-qとは異なります。

零因子の存在

$0$ でない $2$ つの双複素数の積が $0$ になる場合があります。

$\begin{aligned} (1 + i j) (1 - i j) \\ = 1 (1 - i j) + i j (1 - i j) \\ = 1 - i j + i j - i j i j \\ = 1 - i^{2} j^{2} \\ = 1 - (- 1) (- 1) \\ = 1 - 1 \\ = 0 \end{aligned}$

$1 + i j, 1 - i j$ のように、 $0$ ではないのに積が $0$ になる数を零因子wiki-0dと呼びます。

零因子は逆数を持ちません。なぜなら、 $1 + i j$ に何かを掛けて $1$ になると仮定すれば、その両辺に $1 - i j$ を掛けることで矛盾が生じるためです。

$\begin{aligned} (1 + i j) x & = 1 \\ (1 - i j) (1 + i j) x & = 1 - i j \\ 0 & = 1 - i j \end{aligned}$

これは $1 - i j$ が $0$ でないという前提に矛盾します。

もう少し式変形を進めると $i j = 1, j = - i$ となって、前提 $i \neq \pm j$ に矛盾します。

テンソル積による構成

非可換な積の演算子 $\otimes$ を導入して、複素数の積を計算します。（ $a, b, c, d$ は実数）

$\begin{aligned} (a + b i) \otimes (c + d i) \\ = a \otimes (c + d i) + b i \otimes (c + d i) \\ = a \otimes c + a \otimes d i + b i \otimes c + b i \otimes d i \end{aligned}$

これを双複素数と比較します。

$\begin{aligned} (a + b i) (c + d j) \\ = a (c + d j) + b i (c + d j) \\ = a c + a d j + b c i + b d i j \end{aligned}$

実部の基底として $1$ を明示し、係数と基底 ${1, i, j, i j}$ を分離します。

$= a c (1) + a d (j) + b c (i) + b d (i j)$

$\otimes$ でも係数と基底を分離して、係数が括り出せるという計算規則を追加します。

$\begin{aligned} = a (1) \otimes c (1) + a (1) \otimes d (i) + b (i) \otimes c (1) + b (i) \otimes d (i) \\ = a c (1 \otimes 1) + a d (1 \otimes i) + b c (i \otimes 1) + b d (i \otimes i) \end{aligned}$

以下の対応関係を認めれば、双複素数は $\otimes$ による計算と一致します。

$1 ≅ 1 \otimes 1, i ≅ i \otimes 1, j ≅ 1 \otimes i, i j ≅ i \otimes i$

このように

因子に含まれる基底は非可換
因子に含まれる実成分（係数）は可換で、括り出せる

という規則を持った積の演算子 $\otimes$ を導入することで、双複素数を構成することができます。このような $\otimes$ による積をテンソル積wiki-tpと呼びます。

双線形性

このような性質を双線形性と呼びます。テンソル積と、2つの引数を取る双線形関数 $B$ を比較します。
$\begin{aligned} a x \otimes y & = & x \otimes a y & = a (x \otimes y) \\ B (a x, y) & = & B (x, a y) & = a B (x, y) \end{aligned}$
分配法則も双線形性に含まれます。
$\begin{aligned} (a x + b y) \otimes z & = & a x \otimes z + b y \otimes z & = a (x \otimes z) + b (y \otimes z) \\ B (a x + b y, z) & = & B (a x, z) + B (b y, z) & = a B (x, z) + b B (y, z) \end{aligned}$

テンソル積による構成によって「複素数 $\otimes$ 複素数」という構造が明確となり、これが双複素数という名前の由来となっています。

双複素数での $i \neq j$ は $(i \otimes 1) \neq (1 \otimes i)$ に対応します。言い換えると、双複素数での基底の区別が、テンソル積の因子の非可換性として現れます。
双複素数では $i j = j i$ ですが、テンソル積では両辺とも $i \otimes i$ となるため区別がありません。言い換えると、双複素数での可換性が、テンソル積では同一な表現として現れます。

テンソル積の積

双複素数の積を、テンソル積で書き直します。

$\begin{aligned} i i & = - 1 & (i \otimes 1) (i \otimes 1) & = - (1 \otimes 1) \\ j j & = - 1 & (1 \otimes i) (1 \otimes i) & = - (1 \otimes 1) \\ (i) (j) & = i j & (i \otimes 1) (1 \otimes i) & = i \otimes i \\ (i j) (i j) & = 1 & (i \otimes i) (i \otimes i) & = 1 \otimes 1 \end{aligned}$

対応関係の観察から、左因子は左因子と、右因子は右因子と積を計算すると定義します。

テンソル積の積

$(α \otimes β) (γ \otimes δ) = α γ \otimes β δ (α, β, γ, δ は複素数)$

計算例

冒頭に挙げた双複素数での計算例をテンソル積で書き直します。

$\begin{aligned} (a + b i + c j) (d + e i + f j) \\ ≅ (a \otimes 1 + b i \otimes 1 + c \otimes i) (d \otimes 1 + e i \otimes 1 + f \otimes i) \\ = (a \otimes 1) (d \otimes 1 + e i \otimes 1 + f \otimes i) \\ + (b i \otimes 1) (d \otimes 1 + e i \otimes 1 + f \otimes i) \\ + (c \otimes i) (d \otimes 1 + e i \otimes 1 + f \otimes i) \\ = a d \otimes 1 + a e i \otimes 1 + a f \otimes i \\ + b d i \otimes 1 + b e i^{2} \otimes 1 + b f i \otimes i \\ + c d \otimes i + c e i \otimes i + c f \otimes i^{2} \\ = a d (1 \otimes 1) + a e (i \otimes 1) + a f (1 \otimes i) \\ + b d (i \otimes 1) - b e (1 \otimes 1) + b f (i \otimes i) \\ + c d (1 \otimes i) + c e (i \otimes i) - c f (1 \otimes 1) \\ = (a d - b e - c f) (1 \otimes 1) + (a e + b d) (i \otimes 1) + (a f + c d) (1 \otimes i) + (b f + c e) (i \otimes i) \\ ≅ (a d - b e - c f) + (a e + b d) i + (a f + c d) j + (b f + c e) i j \end{aligned}$