複素数の拡張で学ぶテンソル積

テンソル積,複素数,双複素数

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複素数の虚数単位を増やして拡張することから、テンソル積を導入します。

虚数単位を増やす

複素数の虚数単位$i$について$i^2=-1$が成り立ちます。ここに、同じ性質$j^2=-1$を満たす新しい虚数単位$j$を導入します。ただし、$i \ne \pm j$で、$i$と$j$は可換$ij=ji$とします。

積を計算します。（$a,b,c,d,e,f$は実数）

$$ \begin{aligned} &(a+bi+cj)(d+ei+fj) \\ &= a(d+ei+fj) + bi(d+ei+fj) + cj(d+ei+fj) \\ &= ad + aei + afj + bdi + bei^2 + bfij + cdj + ceij + cfj^2 \\ &= ad + aei + afj + bdi - be + bfij + cdj + ceij - cf \\ &= (ad-be-cf) + (ae+bd)i + (af+cd)j + (bf+ce)ij \end{aligned} $$

この計算結果から、$i,j$によって生成される数は

$$ a+bi+cj+dij \quad (a,b,c,d\text{ は実数}) $$

の形で表せることが分かります。このような数の体系を双複素数wiki-bc (bicomplex numberwiki-bc-en) と呼びます。

$ij$は$a+bi+cj$の形では表せないことから、三元数ではありません。
双複素数は$ij=ji$であることから、$ij=-ji$となる四元数wiki-qとは異なります。

零因子の存在

$0$でない$2$つの双複素数の積が$0$になる場合があります。

$$ \begin{aligned} &(1+ij)(1-ij) \\ &=1(1-ij)+ij(1-ij) \\ &=1-ij+ij-ijij \\ &=1-i^2j^2 \\ &=1-(-1)(-1) \\ &=1-1 \\ &=0 \end{aligned} $$

$1+ij,\ 1-ij$のように、$0$ではないのに積が$0$になる数を零因子wiki-0dと呼びます。

零因子は逆数を持ちません。なぜなら、$1+ij$に何かを掛けて$1$になると仮定すれば、その両辺に$1-ij$を掛けることで矛盾が生じるためです。

$$ \begin{aligned} (1+ij)x&=1 \\ (1-ij)(1+ij)x&=1-ij \\ 0&=1-ij \end{aligned} $$

これは$1-ij$が$0$でないという前提に矛盾します。

もう少し式変形を進めると$ij=1,\ j=-i$となって、前提$i \ne \pm j$に矛盾します。

テンソル積による構成

非可換な積の演算子$\otimes$を導入して、複素数の積を計算します。（$a,b,c,d$は実数）

$$ \begin{aligned} &(a+bi)\otimes(c+di) \\ &= a \otimes (c+di) + bi \otimes (c+di) \\ &= a \otimes c + a \otimes di + bi \otimes c + bi \otimes di \end{aligned} $$

これを双複素数と比較します。

$$ \begin{aligned} &(a+bi)(c+dj) \\ &= a(c+dj) + bi(c+dj) \\ &= ac + adj + bci + bdij \\ \end{aligned} $$

実部の基底として$1$を明示し、係数と基底 $\{1,i,j,ij\}$ を分離します。

$$ = ac(1) + ad(j) + bc(i) + bd(ij) $$

$\otimes$でも係数と基底を分離して、係数が括り出せるという計算規則を追加します。

$$ \begin{aligned} &= a(1) \otimes c(1) + a(1) \otimes d(i) + b(i) \otimes c(1) + b(i) \otimes d(i) \\ &= ac(1 \otimes 1) + ad(1 \otimes i) + bc(i \otimes 1) + bd(i \otimes i) \end{aligned} $$

以下の対応関係を認めれば、双複素数は$\otimes$による計算と一致します。

$$ 1 \cong 1 \otimes 1, \quad i \cong i \otimes 1, \quad j \cong 1 \otimes i, \quad ij \cong i \otimes i $$

このように

因子に含まれる基底は非可換
因子に含まれる実成分（係数）は可換で、括り出せる

という規則を持った積の演算子$\otimes$を導入することで、双複素数を構成することができます。このような$\otimes$による積をテンソル積wiki-tpと呼びます。

双線形性

このような性質を双線形性と呼びます。テンソル積と、2つの引数を取る双線形関数$B$を比較します。
$$ \begin{alignedat}{2} ax⊗y\ &=& x⊗ay\ &= a(x⊗y) \\ B(ax,y) &=& B(x,ay) &= aB(x,y) \end{alignedat} $$
分配法則も双線形性に含まれます。
$$ \begin{alignedat}{2} (ax+by)⊗z &=& ax⊗z\ +\ by⊗z\ &= a(x⊗z)+b(y⊗z) \\ B(ax+by,z) &=& B(ax,z)+B(by,z) &= aB(x,z)+bB(y,z) \end{alignedat} $$

テンソル積による構成によって「複素数$\otimes$複素数」という構造が明確となり、これが双複素数という名前の由来となっています。

双複素数での$i \neq j$は$(i \otimes 1) \neq (1 \otimes i)$に対応します。言い換えると、双複素数での基底の区別が、テンソル積の因子の非可換性として現れます。
双複素数では$ij=ji$ですが、テンソル積では両辺とも$i \otimes i$となるため区別がありません。言い換えると、双複素数での可換性が、テンソル積では同一な表現として現れます。

テンソル積の積

双複素数の積を、テンソル積で書き直します。

$$ \begin{aligned} ii&=-1 &(i \otimes 1)(i \otimes 1) &= -(1 \otimes 1) \\ jj&=-1 &(1 \otimes i)(1 \otimes i) &= -(1 \otimes 1) \\ (i)(j)&=ij &(i \otimes 1)(1 \otimes i) &= i \otimes i \\ (ij)(ij)&=1 &(i \otimes i)(i \otimes i) &= 1 \otimes 1 \end{aligned} $$

対応関係の観察から、左因子は左因子と、右因子は右因子と積を計算すると定義します。

テンソル積の積

$$ (\alpha \otimes \beta)(\gamma \otimes \delta) = \alpha\gamma \otimes \beta\delta \quad(\alpha,\beta,\gamma,\delta\text{ は複素数}) $$

計算例

冒頭に挙げた双複素数での計算例をテンソル積で書き直します。

$$ \begin{aligned} &(a+bi+cj)(d+ei+fj) \\ &\cong (a \otimes 1 + bi \otimes 1 + c \otimes i)(d \otimes 1 + ei \otimes 1 + f \otimes i) \\ &= (a \otimes 1)(d \otimes 1 + ei \otimes 1 + f \otimes i) \\ &\ +(bi \otimes 1)(d \otimes 1 + ei \otimes 1 + f \otimes i) \\ &\ +(c \otimes i)(d \otimes 1 + ei \otimes 1 + f \otimes i) \\ &= ad \otimes 1 + aei \otimes 1 + af \otimes i \\ &\ + bdi \otimes 1 + bei^2 \otimes 1 + bfi \otimes i \\ &\ + cd \otimes i + cei \otimes i + cf \otimes i^2 \\ &= ad(1 \otimes 1) + ae(i \otimes 1) + af(1 \otimes i) \\ &\ + bd(i \otimes 1) - be(1 \otimes 1) + bf(i \otimes i) \\ &\ + cd(1 \otimes i) + ce(i \otimes i) - cf(1 \otimes 1) \\ &=(ad-be-cf)(1 \otimes 1) + (ae+bd)(i \otimes 1) + (af+cd)(1 \otimes i) + (bf+ce)(i \otimes i) \\ &\cong (ad-be-cf) + (ae+bd)i + (af+cd)j + (bf+ce)ij \end{aligned} $$

双複素数の計算結果と一致しました。