角運動量代数の表現と球面調和関数

【はじめに】

• 本記事は 角運動量の合成 の続きです
• 本記事は実質 猪木慶治・川合光著「量子力学 I」Igi の第7章問題3の解答を詳しく解説したものであることを断っておきます

水素原子の波動関数の角度依存性

この記事 で角運動量演算子の表現に関して述べました。このような考察が具体的に役に立つ例を示します。

水素原子の電子の波動関数の角度依存性を求めることを考えます。その波動関数は以下のシュレーディンガー方程式で記述されます：
\begin{align} \hspace{1.5cm} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\laplacian+V(r) \right]\varphi(\boldsymbol{x}) =E\varphi(\boldsymbol{x}) \end{align}
ここで$V(r)$はクーロンポテンシャルであり
\begin{align} \hspace{1.5cm} V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}=-\frac{\alpha\hbar c}{r}, \ \ \ \alpha:=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \end{align}
です。$c,\hbar$はそれぞれ光速と$\text{プランク定数}/2\pi$、$e$は電子の電荷、$\epsilon_0$は真空の誘電率、$\alpha$は微細構造定数と呼ばれおよそ$1/137$です。
ラプラシアンを極座標表示すれば
\begin{align} \hspace{1.5cm} \laplacian=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{align}
となります。よってシュレーディンガー方程式（$H\varphi=E\varphi$）は
\begin{align} \hspace{1cm} -\frac{\hbar^2}{2m} \left\{ \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right\} \varphi({r,\theta,\varphi}) +V(r)\varphi({r,\theta,\varphi})=E\varphi({r,\theta,\varphi}) \end{align}
となります。これは変数分離形なので$\varphi(\boldsymbol{x})=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$とすると
\begin{align} \hspace{1.5cm} \begin{cases} &\displaystyle\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}(rR) +\left\{\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))-\frac{\lambda}{r^2}\right\}R=0\\ &\displaystyle\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}+m^2\Phi(\varphi)=0\\ &\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) +\left(\lambda-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)\Theta(\theta)=0 \end{cases} \end{align}
が成立します。$\lambda,m$は変数分離をする際の定数です。角度依存する関数$\Phi,R$に関して、$\Phi$は$e^{im\varphi}$の形になることがすぐわかります。一方$\Theta$はそれほど簡単に求まりません。また$\lambda,m$は特定の値しかとれませんが、どのような値が可能かを調べるのも非自明です。

一方、前々回の記事で行った角運動量代数の表現論を用いれば、$\Theta(\theta)$および$\lambda,m$の取りうる値に関する議論を系統的に行うことができます。以下これを見ていきます。

球面調和関数

$\hat{\boldsymbol{j}}^2, \hat j_3$の同時固有状態$|j,m\rangle$を具体的に極座標表示で求めます。

まず この記事 より、可能な$j$はゼロ以上の整数であり、その$j$に対して可能な$m$は
\begin{align} \hspace{1.5cm}m=j,j-1,j-2,\cdots,-j+1,-j \end{align}
の計$2j+1$コです。$|j,m\rangle$の状態を構成するには、与えられた$j$に対して最も$m$の大きい状態$|j,j\rangle$を極座標表示で求め、これに$\hat j^-$を作用させて$m$を1ずつ下げていけばよいです。

最初に$\hat j^3, \ \hat j^\pm$を極座標で表します。

以下公式1を用いて$|j,m\rangle$を構成していきます。ちなみにふつう$\hat{\boldsymbol{j}}$や$j$等は習慣として$\hat{\boldsymbol{l}}, l$等と書くことに注意してください。本記事では以前の記事との整合性により$\hat{\boldsymbol{j}},j$を用います。

$|j,j\rangle$の極座標表示

$|j,j\rangle$の極座標表示は公式1で極座標表示された演算子の$|j,j\rangle$への作用
\begin{align} \hspace{1.5cm}\hat j^+|j,j\rangle&=0,\tag{1}\\ \hat{j}^3|j,j\rangle&=j|j,j\rangle \tag{2} \end{align}
から定まります。

いま上記の性質を満たす関数を
\begin{align} \hspace{1.5cm} Y^j_j(\theta,\varphi):=\Phi^j(\varphi)\Theta^j(\theta) \end{align}
のように変数分離して表します。$\hat j^3=-i\partial/\partial\varphi$およびEq.(2)より
\begin{align} \hspace{1.5cm} -i\frac{\partial}{\partial\varphi}\Phi^j(\varphi)&=j \Phi^j(\varphi)\\ \therefore\Phi^j(\varphi)&=e^{ij\varphi} \end{align}
となります。よって
\begin{align} \hspace{1.5cm} Y_j^j(\theta,\varphi)=e^{ij\varphi}\Theta^j(\theta) \tag{3} \end{align}
です。

$ $
つぎにEq.(1)にEq.(3)を代入すると
\begin{align} \hspace{1.5cm} \left(\frac{\partial}{\partial\theta}-l\cot\theta\right)\Theta^j(\theta)=0 \end{align}
になります。これは簡単に積分できて、積分定数を$N_l$とすると
\begin{align} \hspace{1.5cm} \Theta^j(\theta)=N_j(\sin\theta)^j \end{align}
を得ます。$N_j$を決めるため、$|Y_j^j(\theta,\varphi)|^2$を半径1の球面上で積分して1になる条件
\begin{align} \hspace{1.5cm} \int d\Omega|Y_j^j(\theta,\varphi)|^2=1 \end{align}
を課します。これより
\begin{align} \hspace{1.5cm} N_j^2=\left(2\pi\int_0^\pi d\theta (\sin\theta)^{2j+1}\right)^{-1} \end{align}
を得ます。部分積分により
\begin{align} \hspace{1.5cm} \int_0^\pi\sin^n\theta=\frac{n-1}{n}\int_0^\pi (\sin\theta)^{n-2} d\theta \end{align}
が成立するので、これをくりかえし用いることにより
\begin{align} \hspace{1.5cm} \int_0^\pi (\sin\theta)^{2j+1}d\theta=\frac{(2j)!!}{(2l+1)!!}\times 2 \end{align}
となります。最終的な表式の都合上、$N_j$の符号を$(-1)^j$に選べば
\begin{align} \hspace{1.5cm} N_j=\frac{(-1)^j}{2^j j!}\sqrt{\frac{(2j+1)!}{4\pi}} \end{align}
を得ます。

これで$|j,j\rangle$に対応する、$\theta,\varphi$で表示された状態が

となることがわかりました。「公式1」にある$\hat{\boldsymbol{j}}^2$の極座標表示を$Y_j^j$に作用させると
\begin{align} \hspace{1.5cm} \hat{\boldsymbol{j}}^2Y_j^j=j(j+1)Y_j^j \end{align}
となることはちょっと計算すれば確認できます。

$|j,m\rangle \ \ \ (m=j,j-1,\cdots,-j)$の極座標表示

つぎに$Y_j^j(\theta,\varphi)$に$\hat j^-$を作用させることで$Y_j^m(\theta,\varphi), \ m=j,j-1,\cdots,-j$を求めます。ここで
\begin{align} \hspace{1.5cm} \hat j^-|j,m\rangle=\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}|j,m-1\rangle \end{align}
です。よって$Y^j_j$に$\hat j^k$を作用させると
\begin{align} \hspace{1.5cm} (\hat j^-)^kY_j^j(\theta,\varphi)= \sqrt{j(j+1)-(j-k+1)(j-k)} \sqrt{j(j+1)-(j-k+2)(j-k+1)} \cdots\\ \times\sqrt{j(j+1)-j(j-1)}Y^{j-k}_j(\theta,\varphi) \end{align}
になります。$m:=j-k$とすれば
\begin{align} \hspace{1.5cm} Y_j^m(\theta,\varphi) &=\frac{1}{\sqrt{j(j+1)-(m+1)m}} \frac{1}{\sqrt{j(j+1)-(m+2)(m+1)}} \cdots \frac{1}{\sqrt{2j}}(\hat{j}^-)^{j-m}Y_j^j(\theta,\varphi)\\ &=\prod_{k=0}^{j-m-1}\frac{1}{\sqrt{(2j-k)(1+k)}}(\hat j^-)^{j-m}Y_l^l(\theta,\varphi)\\ &=\sqrt{\frac{(j+m)!}{(2j)!(j-m)!}}(\hat j^-)^{j-m}Y_j^j(\theta,\varphi) \end{align}
を得ます。これを計算するには次の公式が便利です：

Eq.(4)において$m\to j, k=j-m, f(\theta)=\sqrt{\frac{(j+m)!}{(2j)!(j-m)!}}\Theta^j(\theta)=\sqrt{\frac{(j+m)!}{(2j)!(j-m)!}}N_j(\sin\theta)^j$とすると、左辺は$Y_j^m(\theta,\varphi)$になります。一方右辺は
\begin{align} \hspace{1.5cm} (\text{右辺})=e^{im\varphi} \times(-1)^m \frac{1}{2^j j!}\sqrt{\frac{1}{4\pi}\frac{(2j+1)(j+m)!}{(j-m)!}} \frac{1}{(\sin\theta)^m} \left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)^{j-m} (\sin\theta)^{2j} \end{align}
以上から$|j,m\rangle \ \ \ (m=j,j-1,\cdots,-j)$の極座標表示は以下のようになります（球面調和関数と呼ばれます）:

まとめ

本記事では、角運動量の大きさおよび角運動量の第3成分の固有値がそれぞれ$j,m$である状態$|j,m\rangle$の極座標における表示を具体的に求めました。

最初の章「水素原子の波動関数の角度依存性」に現れた変数分離の変数$\lambda,m$はそれぞれ、$\hat{\boldsymbol{j}}^2$の固有値$j(j+1)$および角運動量の第3成分の固有値$m$に対応します。それらの取りうる可能な値は角運動量が満たす代数関係で決定されます。また$\Phi(\varphi),\Theta(\theta)$も
\begin{align} \hspace{1.5cm} \hat j^+ |j,j\rangle=0　, \hat j_3 |j,j\rangle=j|j,j\rangle \end{align}
の2つの関係式から$|j,j\rangle$を求め、これを$\hat j^-$で下げていくという系統的な方法で求めることができました。ちなみに水素原子の状態を表す際に用いられる$s,p,d,f,g,\cdots$等の記号は$j=0,1,2,3,4,\cdots$に対応します。

このように水素原子のような具体的な物理系を調べる際にも代数の表現論が重要です。表現論は物理学において見通しのよい議論を与えます。

おしまい。${}_\blacksquare$