【はじめに】
- 本記事は
角運動量の合成
の続きです
- 本記事は実質 猪木慶治・川合光著「量子力学 I」Igi の第7章問題3の解答を詳しく解説したものであることを断っておきます
水素原子の波動関数の角度依存性
この記事
で角運動量演算子の表現に関して述べました。このような考察が具体的に役に立つ例を示します。
水素原子の電子の波動関数の角度依存性を求めることを考えます。その波動関数は以下のシュレーディンガー方程式で記述されます:
ここではクーロンポテンシャルであり
です。はそれぞれ光速と、は電子の電荷、は真空の誘電率、は微細構造定数と呼ばれおよそです。
ラプラシアンを極座標表示すれば
となります。よってシュレーディンガー方程式()は
となります。これは変数分離形なのでとすると
が成立します。は変数分離をする際の定数です。角度依存する関数に関して、はの形になることがすぐわかります。一方はそれほど簡単に求まりません。または特定の値しかとれませんが、どのような値が可能かを調べるのも非自明です。
一方、前々回の記事で行った角運動量代数の表現論を用いれば、およびの取りうる値に関する議論を系統的に行うことができます。以下これを見ていきます。
球面調和関数
の同時固有状態を具体的に極座標表示で求めます。
まず
この記事
より、可能なはゼロ以上の整数であり、そのに対して可能なは
の計コです。の状態を構成するには、与えられたに対して最もの大きい状態を極座標表示で求め、これにを作用させてを1ずつ下げていけばよいです。
最初にを極座標で表します。
空間微分を極座標で表すと
である。これを用いて計算すれば公式1を得る
以下公式1を用いてを構成していきます。ちなみにふつうや等は習慣として等と書くことに注意してください。本記事では以前の記事との整合性によりを用います。
の極座標表示
の極座標表示は公式1で極座標表示された演算子のへの作用
から定まります。
いま上記の性質を満たす関数を
のように変数分離して表します。およびEq.(2)より
となります。よって
です。
【注】
表現論的な観点からは、等の演算子を以下のように具体的な表示をとることで"行列"とするのが正しい手続きなのだと思います。
を極座標の角度部分の基底とします。
の左辺のとの間に完全系を挟み、かつ両辺に左からをかけると
を得ます。、として積分を実行すれば
となります。のように演算子を状態で挟んだものを「行列要素(matrix element)」と呼びます。
つぎにEq.(1)にEq.(3)を代入すると
になります。これは簡単に積分できて、積分定数をとすると
を得ます。を決めるため、を半径1の球面上で積分して1になる条件
を課します。これより
を得ます。部分積分により
が成立するので、これをくりかえし用いることにより
となります。最終的な表式の都合上、の符号をに選べば
を得ます。
これでに対応する、で表示された状態が
となることがわかりました。「公式1」にあるの極座標表示をに作用させると
となることはちょっと計算すれば確認できます。
の極座標表示
つぎににを作用させることでを求めます。ここで
です。よってにを作用させると
になります。とすれば
を得ます。これを計算するには次の公式が便利です:
公式2の証明はここをクリック
帰納法で示す。
あるでこの式が成立したとする。のとき
を代入すると
ここで上の式の大括弧内の初項は
だが、この第1項とEq.(A)の大括弧の中の第2項は打ち消し合う。以上からあるで公式2が成立すれば
となってでも成立する。
のとき
である。左辺は
右辺は
で等しい。
以上から公式2が成立する
Eq.(4)においてとすると、左辺はになります。一方右辺は
以上からの極座標表示は以下のようになります(球面調和関数と呼ばれます):
まとめ
本記事では、角運動量の大きさおよび角運動量の第3成分の固有値がそれぞれである状態の極座標における表示を具体的に求めました。
最初の章「水素原子の波動関数の角度依存性」に現れた変数分離の変数はそれぞれ、の固有値および角運動量の第3成分の固有値に対応します。それらの取りうる可能な値は角運動量が満たす代数関係で決定されます。またも
の2つの関係式からを求め、これをで下げていくという系統的な方法で求めることができました。ちなみに水素原子の状態を表す際に用いられる等の記号はに対応します。
このように水素原子のような具体的な物理系を調べる際にも代数の表現論が重要です。表現論は物理学において見通しのよい議論を与えます。
おしまい。