八元数の左作用とクリフォード代数

非結合的な八元数の左作用を行列表現として取り出すことで現れる実クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)$の構造と、スピノル射影および積の復元関係を整理します。

概要

八元数は結合法則を満たさない非結合代数ですが、ベクトル空間としての八元数に左から元を掛ける線形作用（左作用）を行列として表現すると、結合代数である行列環の中で扱えます。本記事では、八元数の基本事項を前提として、左作用のなす符号付き置換行列からクリフォード代数$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R) \cong M_8(\mathbb R)$が生成される仕組み、体積要素（擬スカラー）としての第7の虚数単位、右作用やスピノルの記述、および射影行列を通じた八元数乗法の復元構造を解説します。7shi-oct1

左作用のクリフォード関係、体積要素の関係、64個の単項式の直交性と同型、左作用の復元式は証明します。右作用と射影行列の具体的な展開は、係数計算の結果として示します。群論（$G_2$やスピン群）の詳細には踏み込まず、作用が形成する線形代数的な構造の整理に焦点を当てます。

基本設定

正の三つ組を
$$ 123,\ 145,\ 176,\ 246,\ 257,\ 347,\ 365 $$
とする八元数代数$\mathbb O$を考えます。基底を$1,e_1,\dots,e_7$とし、$e_0=1$とも書きます。八元数$x$による左作用・右作用を
$$ L_x(z)=xz,\quad R_x(z)=zx $$
と書き、基底については$L_i=L_{e_i},\ R_i=R_{e_i}\ (i=0,\dots,7)$と略記します。$L_0=R_0=I$です。$x=x_0+\sum_{i=1}^7x_ie_i$に対しては、積の双線形性から$L_x=x_0I+\sum_{i=1}^7x_iL_i$となります。

左作用の行列表現

八元数のノルムは乗法性$|xy| = |x||y|$を持つため、長さ$1$の基底$e_i$を左から掛ける操作は、$\mathbb R^8$の長さや角度を保つ直交変換になります。具体的に各基底の行き先を見ると、結果は必ず$\pm e_j$の形になります。これは、基底$\{1, e_1, \dots, e_7\}$を並べ替えつつ符号を変化させる操作です。したがって、この作用を行列で表すと、各行および各列に$\pm 1$が1つだけあり、残りがすべて$0$となる$8 \times 8$の直交行列（符号付き置換行列）になります。hasebetian

例として、正の三つ組（$123, 145, 176, \dots$）に基づき、$e_1$による左作用$L_1$がどのように働くかを見てみましょう。基底の順序を$(1, e_1, \dots, e_7)$とし、八元数をその実係数の列ベクトルで表します。それぞれの基底に$e_1$を左から掛けると、次のようになります。

$$ \begin{aligned} &e_1 \times 1 = e_1 \\ &e_1 \times e_1 = -1 \\ &e_1 \times e_2 = e_3,&& e_1 \times e_3 = -e_2 &&(123\text{の組より}) \\ &e_1 \times e_4 = e_5,&& e_1 \times e_5 = -e_4 &&(145\text{の組より}) \\ &e_1 \times e_6 = -e_7,&& e_1 \times e_7 = e_6 &&(176\text{の組より}) \\ \end{aligned} $$

すべての基底が、符号を除いて別の基底へと1対1で移されます。$e_j$に$e_1$を掛けた結果の成分を第$j+1$列に並べると、$L_1$は次の行列になります。行は上から$1,e_1,\dots,e_7$の成分です。

$$ L_1= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

例えば左から3列目（$e_2$に$e_1$を掛けた列）を見ると、上から4番目（$e_3$の位置）だけが$1$になっています。各行・各列の1箇所にだけ$\pm 1$が現れる符号付き置換行列になっていることが確認できます。

7つの虚数単位から6つの生成元へ

このような行列表現の視点に立つと、左作用$L_1,\dots,L_7$は$\mathbb O \cong \mathbb R^8$上の直交変換であり、次の関係を満たします。

一方、左作用の積は八元数の積と一致しません。

prop-cliffより、$L_1,\dots,L_7$は7個の生成元によるクリフォード代数$\operatorname{Cl}_{0,7}(\mathbb R)$の生成関係を満たすので、その行列表現を定めます。抽象的な$\operatorname{Cl}_{0,7}(\mathbb R)$の次元は、重複のない積の組み合わせの総数として二項係数を用いて
$$ \sum_{i=0}^7 \binom{7}{i} = 2^7 = 128 $$
と数えられます。しかし、表現先の$8 \times 8$実行列全体$M_8(\mathbb R)$の次元は$8 \times 8 = 64$しかありません。したがって、この表現は忠実ではなく、単項式の像のあいだには追加の関係があります。なお、$L_1,\dots,L_7$という7個の行列自体は線形独立です。単位元$1$に作用させた像$e_1,\dots,e_7$が線形独立だからです。

追加の関係は、次の命題で与えられます。

ここから逆順の積$L_1L_2L_3L_4L_5L_6L_7$を求めるために、prop-volの両辺に右から$L_1, L_2, \dots$を順に掛けて右辺へ移していく操作を行います。$L_i^2 = -I$であるため、掛けるたびに左辺の符号が反転することに注意してください。

$$ \begin{aligned}  L_7L_6L_5L_4L_3L_2L_1 &= I \\ -L_7L_6L_5L_4L_3L_2 &= L_1  &&(\text{右から } L_1 \text{ を掛ける}) \\  L_7L_6L_5L_4L_3 &= L_1L_2  &&(\text{右から } L_2 \text{ を掛ける}) \\ -L_7L_6L_5L_4 &= L_1L_2L_3  &&(\text{右から } L_3 \text{ を掛ける}) \\  L_7L_6L_5 &= L_1L_2L_3L_4  &&(\text{右から } L_4 \text{ を掛ける}) \\ -L_7L_6 &= L_1L_2L_3L_4L_5  &&(\text{右から } L_5 \text{ を掛ける}) \\  L_7 &= L_1L_2L_3L_4L_5L_6  &&(\text{右から } L_6 \text{ を掛ける}) \\ -I &= L_1L_2L_3L_4L_5L_6L_7 &&(\text{右から } L_7 \text{ を掛ける}) \end{aligned} $$

この変形の6段階目で、
$$ L_7=L_1L_2L_3L_4L_5L_6 $$
が導かれます。したがって$L_1,\dots,L_6$の6つをクリフォード代数の生成元として選べば、$L_7$はそれらの積として表されます。

単項式のトレースと直交性

$L_1,\dots,L_6$から選んだ添字集合$S=\{i_1<\cdots< i_r\}$に対して、単項式$B_S=L_{i_1}\cdots L_{i_r}$を考えます（$B_\varnothing=I$）。$r=|S|$を単項式の次数と呼びます。$S$の選び方は
$$ \sum_{r=0}^6 \binom{6}{r} = 2^6 = 64 $$
通りです。これらが$M_8(\mathbb R)$の基底をなすことを示すために、トレースを調べます。

次に転置を調べます。各生成元$L_i$は直交行列で$L_i^2=-I$なので、$L_i^T=L_i^{-1}=-L_i$を満たす反対称行列です。行列の積の転置は順序が逆転するので、次数$r$の単項式の転置は次のようになります。
$$ B_S^T=(L_{i_1} L_{i_2} \dots L_{i_r})^T = L_{i_r}^T \dots L_{i_2}^T L_{i_1}^T = (-1)^r L_{i_r} \dots L_{i_2} L_{i_1} $$
これはクリフォード代数の共役を与える操作に対応します。また、$B_SB_S^T$は内側から順に$L_{i_m} L_{i_m}^T = I$として相殺されるので$B_SB_S^T=I$、すなわち$B_S^T = B_S^{-1}$です。

クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)$と体積要素

prop-cliffより、$L_1,\dots,L_6$は実クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)$の生成関係を満たします。したがって、生成元をそれぞれ$L_1,\dots,L_6$に送る代数準同型$\rho:\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)\to M_8(\mathbb R)$が定まります。

この同型は文献でも扱われています。furey1furey2

このとき
$$ \omega:=L_1L_2L_3L_4L_5L_6 $$
は体積要素であり、prop-volから導いた関係式より$\omega=L_7$となります。つまり八元数の7番目の虚数単位は、新しい生成元ではなく、$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)$の擬スカラーとして現れています。

成分の抽出とフロベニウス内積

thm-isoより、任意の$A\in M_8(\mathbb R)$は$A=\sum_Sc_SB_S$と一意に書けます。prop-traceより$\operatorname{Tr}(A)=8c_\varnothing$なので、行列のトレースは、クリフォード代数の言葉ではスカラー成分の抽出（の8倍）にあたります。

一般の係数も同様に取り出せます。行列$A$に、抽出したい単項式の逆元$B_S^{-1}$（すなわち転置$B_S^T$）を左から掛けます。
$$ B_S^T A = c_S (B_S^{-1} B_S) + \sum_{T \neq S} c_T (B_S^{-1} B_T) $$
すると、目的の項だけが$c_S I$となります。それ以外の項は非スカラーの単項式の符号倍になるため、トレースをとるとprop-traceより消えます。

この式に現れる$\operatorname{Tr}(B_S^T A)$はフロベニウス内積と呼ばれ、$\langle B_S, A \rangle$と表記されます。

右作用$R_i$の左作用による表現

thm-isoより$8 \times 8$行列の空間全体が64個の単項式で張られる以上、各右作用$R_i$も左作用の積の線形結合として表されます。係数の抽出の公式で具体的に係数を計算し、$L_7=L_1\cdots L_6$を用いて整理すると、次の対称的な形になります。

ここで各$R_i$の後半3項は、三つ組を循環させて$e_ae_b=e_i$と読んだ3組$(a,b)$にちょうど対応しています。たとえば
$$ e_2e_3=e_1,\quad e_4e_5=e_1,\quad e_7e_6=e_1 $$
に対応して
$$ R_1=\frac12(-L_1+L_2L_3+L_4L_5+L_7L_6) $$
となります。

したがって右作用は独立な新要素ではなく、自身の左作用の符号を反転したものと、ファノ平面上で自身を作る3つの対の左作用の積とを加え、$\frac12$を掛けた線形結合として記述できます。

スピノルへの射影

クリフォード代数を演算子と見なしたとき、それが作用する加群の元をスピノルと呼ぶことがあります。本記事では、$M_8(\mathbb R)$の自然な実8次元既約加群$\mathbb R^8$の元をスピノルと呼びます。八元数の左作用から生成した行列をクリフォード代数とすれば、スピノルは八元数のベクトル表現に対応します。

クリフォード代数（行列）とスピノル（ベクトル）は形状が異なる別の数学的対象ですが、これらを統一的に扱うために「スピノルをクリフォード代数自身の内部に埋め込んで表現したい」という動機が生じます。

これを行列の言葉で実現する方法が、「第1列以外がすべて0であるような行列」を考えることです。これにより、8次元の列ベクトルを$8 \times 8$行列に埋め込んで、同一視することができます。この特殊な行列の集合に左からどのような行列を掛けても、結果の行列はやはり第1列以外が0のまま保たれます。つまり、この集合は左からの行列の掛け算に対して閉じており、左イデアルと呼ばれます。

左作用$L_x$の第1列は$x\cdot1=x$のベクトル表現です。特に$L_i$の第1列は、基底$e_i$のベクトル表現と一致しています。したがって、$L_x$の第1列以外をすべて$0$にすれば、スピノルと見なすことができます。

この操作を実現するために、
$$ P=\operatorname{diag}(1,0,0,0,0,0,0,0) $$
という射影行列を導入します。任意の行列に右から$P$を掛けると、第1列だけが残り他の列はすべてゼロになります。この射影によって、
$$ L_x P \mapsto x $$
というように、演算子$L_x$から$x$のベクトル表現を抽出することができます。特に$L_iP\mapsto e_i$です。第1列以外が$0$の行列全体$M_8(\mathbb R)P=\{L_xP\mid x\in\mathbb O\}$は実8次元の極小左イデアルであり、既約加群$\mathbb R^8$と同型です。

射影行列$P$の第1列は単位元$1$のベクトル表現で、第1列以外は$0$であるため、単位元$1$に対応するスピノルとも見なせます。$P$を係数の抽出の公式で$L_1,\dots,L_6$の単項式に展開し、$L_7=L_1\cdots L_6$を用いてファノ平面の対称性が見える形に書き直すと、次のようになります。

この7つの三重積は、ちょうど
$$ 123,\ 145,\ 176,\ 246,\ 257,\ 347,\ 365 $$
というファノ平面の7本の直線に対応します。したがって$P$は、恒等行列と、7本の線に対応する負号付き三重積の、計8項の平均として解釈できます。なお、$L_7$を含む三重積は、$L_1,\dots,L_6$の単項式としては次数3とは限りません。ここでの「三重」は表示上の因子の数です。

単項式の射影と八元数への対応

64個の単項式は$8 \times 8$行列の空間全体を張ります。$P$は単位元$1$を表すスピノルと同一視できるため、行列に右から$P$を掛けることは、その行列を単位元$1$に作用させたとき、八元数のどの元に着地するかを表しています。

$8P$を構成する8つの符号付き項は、それぞれ単独で$1$を$1$に送ります。恒等項は自明に$IP\mapsto1$であり、たとえば$-L_1L_2L_3$の項は
$$ -L_1L_2L_3P \mapsto -e_1(e_2e_3) = -e_1e_1 = 1 $$
となります。残り6つの三重積の項も同様です。したがって、それらに左から$L_i$を掛けた$8L_iP$の各項は、どれも$1$を$e_i$に送ります。たとえば$8L_1P$の項$L_2L_3$は
$$ L_2L_3P \mapsto e_2e_3 = e_1 $$
です。$8L_iP$を単項式で展開すると、次の8本の等式が得られます。$L_7$を含む項は、$L_7=L_1\cdots L_6$を用いた表示です。

この対応を積の観点から言い換えると、2つの左作用の合成$L_iL_j$に右から$P$を掛けることは、八元数の積$e_ie_j$のベクトル表現を取り出す操作にほかなりません。

$$ L_iL_jP \mapsto e_ie_j $$

$L_x$は$x$について線形なので、この関係は一般の八元数$x,y$にも拡張され、$L_xL_yP \mapsto xy$が成り立ちます。射影後の行列として書けば、次の等式です。

$$ L_xL_yP=L_{xy}P $$

射影前には一般に$L_xL_y\ne L_{xy}$ですが、第1列だけを見れば一致します。なお、$A\mapsto AP$は一般には代数準同型ではありません。結合的な行列の積だけで非結合性が消えたのではなく、行列の積の後に射影を挟むことで、八元数の積を取り出しています。

射影の復元と積の左作用化

前節の射影$L_xP \mapsto x$とは逆に、スピノル$L_xP$から演算子$L_x$を復元することを考えます。左イデアルは左からの積に対して閉じているため、左からどのような行列を掛けてもイデアルの外へ戻ることはできません。しかし、右から掛ける操作はこの拘束を受けません。実際、右作用$R_i$による共役の和として、次の復元式が成り立ちます。

ただし、第1列だけから任意の行列を復元できるわけではありません。行列$A$について、単位元$1$の座標ベクトルに$A$を作用させた結果（$A$の第1列）を八元数と同一視したものを$A(1)$と書きます。任意の$A \in M_8(\mathbb R)$について$AP=L_{A(1)}P$なので、この和は常に$L_{A(1)}$を返します。復元先を左作用に限ることで、射影で失われた残りの列を八元数の乗法から補っているわけです。

この復元式を、前節の$L_xL_yP=L_{xy}P$と組み合わせると、八元数の積を左作用のレベルで閉じた形にできます。

非結合性のため$L_xL_y$は一般には単一の左作用ではありませんが、射影$P$で積$xy$を取り出し、右作用による共役で左作用へ復元することで、行列代数$M_8(\mathbb R)$の演算だけで八元数の積$xy$を再現しています。

ここで$P$が取り出すのは、単位元$1$に対する作用の結果だけです。$P=\operatorname{diag}(1,0,\dots,0)$自体は一般の行列代数にも置けるもので、八元数の乗法の情報は、左作用$L_x$と右作用$R_i$の構成が担っています。復元では、その乗法を用いて残りの列を補っています。

非結合性が見せる構造

結合的な四元数と非結合的な八元数を比較します。

四元数の左作用を符号付き置換行列$L_I,L_J,L_K$として表現すれば$4 \times 4$実行列となります。四元数では結合律が成り立つため$L_IL_J=L_K$となり、左作用をいくら合成しても再び単一の左作用に戻ります。q-rm

四元数でも八元数でも、元$x$を左作用$L_x$に対応させた部分空間の次元は、元の空間と同じです（四元数では4、八元数では8）。違いは、その部分空間が合成で閉じているかどうかにあります。四元数では左作用だけで4次元の部分代数にとどまり、$M_4(\mathbb R)$全体を張るには右作用も必要です。

これに対して八元数では、非結合性のため、異なる$i,j$について$L_iL_j$はどの左作用とも一致しません。左作用の積が新しい変換を生み出し、その結果、左作用の合成だけで64次元の行列代数$M_8(\mathbb R)$全体が生成され、右作用はその内部に吸収されます。

したがって八元数における本質は、単に左作用と右作用が違うことではありません。非結合性によって左作用が合成で閉じず、作用を受ける8次元のスピノル空間と、作用する64次元の演算子代数とが、左作用だけから得られることにあります。

八元数によるスピノルの具体的モデル

一般のクリフォード代数において、作用する演算子（行列表現）と、作用を受けるスピノル（極小左イデアルや既約加群の元）は別の空間に属します。スピノルは抽象的な加群の元として定義されることが多く、成分にどのような意味を与えるかは構成によります。

本構成では、作用を受ける8次元のスピノル空間を八元数と同一視し、スピノルを八元数の実部と7つの虚部によって具体的に記述できました。ただし、この記述には八元数としての同一視と、単位元$1$の選択（射影$P$）を用いています。

八元数は非結合性のため計算が煩雑ですが、スピノルを具体的な成分計算やファノ平面の対称性として扱えるという点で、スピノルを理解するための具体例となります。

まとめ

本記事では、八元数の左作用を行列として表現し、そこから結合的なクリフォード代数を取り出す構成を整理しました。左作用は交代性からクリフォード関係を満たし、$L_1,\dots,L_6$を生成元として選ぶと、64個の単項式の直交性から$\operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb R)\cong M_8(\mathbb R)$が得られます。残る$L_7$は新しい生成元ではなく、その体積要素（擬スカラー）として現れます。右作用$R_i$も左作用の積の線形結合として表され、その項はファノ平面で$e_i$を生成する三つ組に対応します。

第1列だけを残す射影行列$P$を右から掛けると、行列からスピノルが取り出されます。2つの左作用の合成に$P$を掛けると$L_xL_yP=L_{xy}P$として八元数の積が取り出され、さらに右作用による共役で左作用$L_{xy}$へ戻せます。これにより、行列の積に射影と復元を組み合わせることで、非結合的な八元数の積が再現されます。

四元数でも八元数でも、左作用がなす部分空間の次元は元の空間と同じです。四元数では左作用が合成で閉じて4次元にとどまるのに対し、八元数では非結合性によって左作用の合成から64次元の行列代数全体が生成されます。