八元数の基本事項

八元数の基本事項について説明します。必ずしも四元数を前提とはしませんが、その延長線上で扱うため、四元数の知識があればスムーズです。

※ 以前別の記事に含まれていた内容を分離して再構成したものです。oct-7rot

八元数の基本構造

八元数は、四元数を拡張した8次元の代数系です。実数、複素数、四元数に続くノルム付き可除代数として知られます。wiki-norm

八元数は以下のような特徴を持ちます：

八元数は以下の8つの基底から構成されます：

ここで、1は実部を表し、$e_1$から$e_7$は7つの虚数単位を表します。

八元数$o$は一般に以下の形で表されます：

$$ o = o_0 + o_1e_1 + o_2e_2 + o_3e_3 + o_4e_4 + o_5e_5 + o_6e_6 + o_7e_7 $$

ここで、$o_0, o_1, \dots, o_7$は実数であり、$e_1, e_2, \ldots, e_7$は虚数単位です。

虚数単位の性質

これらの虚数単位は以下の性質を持ちます：

1. 各虚数単位の2乗は$-1$となる
   $e_i^2 = -1$ （$i = 1, 2, \ldots, 7$）
2. 積の順序を変えると符号が反転する（反交換性）
   $e_ie_j = -e_je_i$ （$i \neq j$）
3. 異なる虚数単位の積は別の虚数単位となり、組み合わせによっては負となる（反交換性を反映）
   $e_ie_j = e_k$または$-e_k$ （$i,j,k$は相異なる）

これらの性質により、八元数の乗法構造は複雑になりますが、同時に豊かな代数的・幾何学的構造を持つことになります。

八元数の共役は、虚部を符号反転として定義されます。この記事では上付きの$*$で共役を表記します。

八元数のノルムは以下のように定義されます：

このノルムは、八元数の幾何学的な長さを表すと同時に、代数的な性質も持っています。特に、ノルムの積の法則が成立します：

ここで$o$と$p$は任意の八元数です。

八元数の乗法構造とファノ平面

八元数の乗法構造を理解するために、7つの三つ組（triads）を導入します。これらの三つ組は、互いに直交する3つの虚数単位から成り、四元数と同型な部分構造を形成します。

7つの三つ組の古典的な定義は以下の通りです：

1つの虚数単位は3つの三つ組に含まれます。各三つ組内では、四元数と同じ乗算規則が成り立ちます（例として最初の三つ組を使用）：

$$ \begin{aligned} e_1e_2 &= -e_2e_1 = e_3 \\ e_2e_3 &= -e_3e_2 = e_1 \\ e_3e_1 &= -e_1e_3 = e_2 \end{aligned} $$

ファノ平面による乗法規則の視覚化

八元数の乗法構造は、ファノ平面と呼ばれる幾何学的図形を用いて視覚化できます。ファノ平面は、7つの点と7つの線（うち1つは円）から成る射影平面です。

ファノ平面

この図では、向き付けられた円と6本の線（三角形の3辺と3本の垂線）が、7つの三つ組に対応しています。円上に$e_1,e_2,e_3$を配置し、それらと円の中心に置かれた$e_4$との添え字の足し算によって、$e_5,e_6,e_7$が生成されるように配置しています。円と三角形上の線の向きは反時計回りで統一しています。

ファノ平面を用いて、八元数の乗法規則を以下のように構成できます：

例えば：

• $e_1e_2 = e_3$ （$e_1,e_2$は円上で順方向に隣接）
• $e_2e_1 = -e_3$ （$e_2,e_1$は円上で逆方向に隣接）
• $e_1e_4 = e_5$ （$e_1, e_4$は線上で順方向に隣接）

このように、八元数の複雑な乗法構造を視覚的に理解することができます。実用上は、まずファノ平面を描いて、そこから三つ組が再構成できれば十分です。

非結合性

八元数の重要な特徴の一つに非結合性があります。これは、3つ以上の八元数の積を計算する際に、括弧の位置によって結果が変わることを意味します。

具体的に計算してみると：

1. $(e_1e_2)e_4 = e_3e_4 = e_7$
2. $e_1(e_2e_4) = e_1e_6 = -e_7$

この例では結果が異なりましたが、一致する場合もあります：

1. $(e_1e_2)e_3 = e_3e_3 = -1$
2. $e_1(e_2e_3) = e_1e_1 = -1$

このように、八元数の乗法では必ずしも結合法則が成り立ちません。これは四元数までには見られなかった性質で、八元数の複雑さを示す特徴の一つです。非結合性があるため、八元数の計算では括弧の位置に注意を払う必要があります。