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八元数の基本事項

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8次元の実ノルム可除代数である八元数の代数的定義と共役・ノルムの性質を導入し、ファノ平面による乗法構造の規則および非結合性の特徴を整理します。

以前別の記事に含まれていた内容を分離して再構成したものです。7shi-7rot

概要

八元数（ケイリー数）は、四元数を拡張した8次元の実ノルム可除代数です。本記事では、7つの虚数単位と実部からなる基底、共役およびノルムを導入し、ノルムの乗法性を紹介します。ノルムの乗法性の証明は本記事では扱いません。さらに、乗法関係を視覚的に表現するファノ平面と7組の三つ組の規則を整理し、四元数との本質的な違いである非結合性（結合法則の不成立）について具体例を交えて解説し、結合性が部分的に残る交代性を紹介します。

八元数の基本構造

八元数は、四元数を拡張した8次元の代数系です。実数、複素数、四元数に続く実ノルム可除代数として知られます。wiki-norm

八元数は以下のような特徴を持ちます。

八元数の主要な代数的特徴

実数上8次元の代数
非交換的（交換法則が成り立たない）
非結合的（結合法則が成り立たない）
ノルムを持つ（ノルムの乗法性が成立）

八元数は以下の8つの基底から構成されます。

八元数の基底

$$ \{1, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\} $$

ここで、$1$は実数成分に対応する基底で、乗法の単位元です。$e_1$から$e_7$は7つの虚数単位を表します。

実部の基底

$1$ではなく$e_0$と表記することもあります。本記事では、実部は基底を付けない実数として表記します。

八元数$o$は一般に以下の形で表されます。

$$ o = o_0 + o_1e_1 + o_2e_2 + o_3e_3 + o_4e_4 + o_5e_5 + o_6e_6 + o_7e_7 $$

ここで、$o_0, o_1, \dots, o_7$は実数であり、$e_1, e_2, \ldots, e_7$は虚数単位です。

虚数単位の性質

これらの虚数単位は以下の性質を持ちます。

各虚数単位の2乗は$-1$となる
$e_i^2 = -1$ （$i = 1, 2, \ldots, 7$）
積の順序を変えると符号が反転する（反交換性）
$e_ie_j = -e_je_i$ （$i \neq j$）
異なる虚数単位の積は、別の虚数単位またはその符号を反転したものとなる
$e_ie_j = e_k$または$-e_k$ （$i,j,k$は相異なる）

3番目の性質で、どの虚数単位になるかと、その符号は、後述する三つ組の規則で決まります。順序を交換したときに符号が反転することは、2番目の反交換性によります。

共役とノルム

複素数や四元数と同様に、八元数でも共役を用いると、元の長さを実数として取り出せます。八元数の共役は、虚部の符号を反転させて定義します。本記事では上付きの$*$で共役を表記します。

八元数とその共役

\begin{alignedat}{2} &o &&=o_0+o_1e_1+o_2e_2+o_3e_3+o_4e_4+o_5e_5+o_6e_6+o_7e_7 \\ &o^*&&=o_0-o_1e_1-o_2e_2-o_3e_3-o_4e_4-o_5e_5-o_6e_6-o_7e_7 \end{alignedat}

八元数のノルムは次のように定義されます。

八元数のノルム

$$ |o|=\sqrt{o_0^2 + o_1^2 + o_2^2 + o_3^2 + o_4^2 + o_5^2 + o_6^2 + o_7^2} $$

このとき、共役との積はノルムの2乗となります。

$$ oo^*=o^*o=|o|^2 $$

このノルムは、八元数の幾何学的な長さを表すと同時に、代数的な性質も持っています。特に、ノルムの乗法性が成立します。

ノルムの乗法性

$$ |op| = |o||p| $$

ここで$o$と$p$は任意の八元数です。この定理の証明は本記事では扱いません。

八元数の乗法構造とファノ平面

八元数の乗法構造を理解するために、7つの三つ組（triads）を導入します。三つ組は、互いに直交する3つの虚数単位$(e_a,e_b,e_c)$の組で、四元数の$i,j,k$と同じ乗法関係を持ちます。三つ組の3つの虚数単位と$1$が張る4次元部分空間は、四元数と同型な部分代数になります。

7つの三つ組の古典的な定義は以下の通りです。ここでの「7つ」は、基底$e_1,\ldots,e_7$を固定したときにその中から選ばれる三つ組の数です。

グレイブスとケイリーによる三つ組

$(e_1, e_2, e_3)$
$(e_1, e_4, e_5)$
$(e_1, e_7, e_6)$
$(e_2, e_4, e_6)$
$(e_2, e_5, e_7)$
$(e_3, e_4, e_7)$
$(e_3, e_6, e_5)$

三つ組$(e_a,e_b,e_c)$は、次の積を循環順序で指定します。逆順の積には負号が付きます。

$$ e_ae_b=e_c,\quad e_be_c=e_a,\quad e_ce_a=e_b $$

1つの虚数単位は3つの三つ組に含まれ、異なる2つの虚数単位を含む三つ組はちょうど1つあります。したがって、虚数単位どうしの積はすべて三つ組によって決まります。最初の三つ組では、四元数と同じ次の乗算規則となります。

$$ \begin{aligned} e_1e_2 &= -e_2e_1 = e_3 \\ e_2e_3 &= -e_3e_2 = e_1 \\ e_3e_1 &= -e_1e_3 = e_2 \end{aligned} $$

一般の八元数の積は、虚数単位どうしの積から、実数に関する双線形性（分配法則と実数倍との両立）によって定めます。

三つ組の選択とバリエーション

固定した7つの虚数単位に対する乗法表の付け方には、480種類のバリエーションがあります。どれに基づいても八元数の代数的な性質は同じであるため、本記事では最初に発見されたグレイブス（1843）とケイリー（1845）による定義を使用します。7shi-480

ファノ平面による乗法規則の視覚化

八元数の乗法構造は、ファノ平面と呼ばれる幾何学的図形を用いて視覚化できます。ファノ平面は、7つの点と7本の線からなる有限射影平面で、各線は3点を含みます。下の図では、そのうち1本の線を円で描いています。

ファノ平面

この図では、向き付けられた円と6本の線（三角形の3辺と3本の垂線）が、7つの三つ組に対応しています。点と線の関係が積の結果となる虚数単位の添字を決め、線に付けた向きが符号を決めます。円上に$e_1,e_2,e_3$を配置し、円の中心に$e_4$を置いて、$e_1e_4=e_5,\ e_2e_4=e_6,\ e_3e_4=e_7$のように積の添字が足し算に対応するよう$e_5,e_6,e_7$を配置しています。円と三角形上の線の向きは反時計回りで統一しています。

ファノ平面から、八元数の乗法規則を以下のように読み取れます。

ファノ平面による乗法規則

各線（円を含む）上の3点には、矢印によって循環順序が指定されている。直線として描かれた線も、最後の点から最初の点へ戻るものとして読む。
線上の順序が$e_a\to e_b\to e_c\to e_a$なら、$e_ae_b=e_c,\ e_be_c=e_a,\ e_ce_a=e_b$であり、逆順の積には負号が付く。
（任意の異なる2つの虚数単位を含む線が存在し、残りの1つは一意に決まる）

例えば、以下のようになります。

$e_1e_2 = e_3$ （円上で$e_1\to e_2\to e_3$の順）
$e_2e_1 = -e_3$ （円上の順序の逆順）
$e_1e_4 = e_5$ （垂線上で$e_1\to e_4\to e_5$の順）

実用上は、まずファノ平面を描いて、そこから三つ組が再構成できれば十分です。

ファノ平面のバリエーション

ファノ平面は虚数単位の置き方や線の向きにバリエーションがあります。三つ組の選択にも依存するため、他の資料に掲載されているファノ平面は必ずしも同じではありません。その場合でも、ファノ平面からの乗法規則の構成方法は同じです。

非結合性

八元数の重要な特徴の一つに非結合性があります。これは、3つ以上の八元数の積を計算する際に、括弧の位置によって結果が変わることを意味します。7shi-nonassoc

非結合的な組み合わせ

$$ \begin{aligned} (e_1e_2)e_4 &= e_3e_4 = e_7 \\ e_1(e_2e_4) &= e_1e_6 = -e_7 \end{aligned} $$

したがって、$(e_1e_2)e_4 \neq e_1(e_2e_4)$であり、括弧の位置によって結果が変わる。

この例では結果が異なりましたが、一致する場合もあります。

結合的な組み合わせ

$$ \begin{aligned} (e_1e_2)e_3 &= e_3e_3 = -1 \\ e_1(e_2e_3) &= e_1e_1 = -1 \end{aligned} $$

したがって、$(e_1e_2)e_3 = e_1(e_2e_3)$である。

三つ組の部分代数と結合性

同じ三つ組と$1$が張る四元数と同型な部分代数の元どうしでは、結合法則が成り立ちます。これは四元数が結合的であることに対応します。

このように、八元数の乗法では必ずしも結合法則が成り立ちません。これは四元数までには見られなかった性質です。非結合性があるため、八元数の計算では括弧の位置に注意を払う必要があります。

交代性

結合法則は一般には成り立ちませんが、3つの因子のうち2つが等しい場合には結合的になります。この性質に名前を付けます。

交代性

任意の$x,y$について次の等式が成り立つ性質を交代性と呼ぶ。
$$ (xx)y=x(xy),\qquad (yx)x=y(xx) $$

八元数は交代性を持ちます。このことから$(xy)x=x(yx)$も成り立ちます。交代性の詳しい説明と計算への応用は別記事で扱っています。7shi-nonassoc

行列表現

非結合的な積を、行列の積として忠実に表すことはできません。行列の積は結合的だからです。ただし、左からの乗法$x\mapsto ox$のような線形な作用は行列で表せます。その構造は別記事で解説しています。7shi-cl6

まとめ

本記事では、四元数を拡張した8次元の代数である八元数について、実部と7つの虚数単位からなる基底、共役、ノルムを導入し、ノルムの乗法性$|op|=|o||p|$を紹介しました。乗法規則は7つの三つ組によって定まり、一般の八元数の積は双線形性によって定まります。乗法規則は、ファノ平面の線の向きに沿った積が正、逆向きの積が負となる形で視覚化できます。八元数の積は一般には非結合的ですが、1つの三つ組と$1$が張る部分代数の中では四元数と同様に結合的であり、また2つの因子が等しい場合には交代性によって結合的です。