四元数のテンソル積とクリフォード代数の構成

四元数および分解型四元数のテンソル積から実クリフォード代数を構成する手順を整理し、テンソル積による生成元の拡張規則を体系化します。

概要

実クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$は、四元数$\mathbb H$や分解型四元数$\mathbb H'$とのテンソル積によって、生成元を2個ずつ増やして構成できることが知られています。本記事では、テンソル積の基礎概念を踏まえ、$\mathbb H$および$\mathbb H'$の基底から反交換関係を満たす生成元を体系的に選択し、$\mathbb H \otimes \mathbb H$や$\mathbb H \otimes \mathbb H'$がそれぞれどのクリフォード代数と同型になるかを具体的に導出します。さらに、一般の$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$に対して$\otimes \mathbb H$や$\otimes \mathbb H'$を作用させた際の符号数（計量）の変化公式を導き、テンソル積による拡張構造を整理します。7shi-tp

四元数のテンソル積

本記事のテンソル積はすべて実数上の通常のテンソル積$\otimes_{\mathbb R}$とし、添え字を省略します。また、本記事の同型はすべて実結合代数としての同型で、グレードや生成元の空間の保存は要求しません。テンソル積の基本的な計算規則は先行記事を参照してください。7shi-tp

四元数（全体の集合$\mathbb{H}$）は実数体上の4次元の除法代数であり、その基底は通常$\{1,i,j,k\}$で表されます。これらの基底は以下の関係式を満たします。

四元数のテンソル積（全体の集合$\mathbb{H}⊗\mathbb{H}$）は16次元の代数であり、その基底は四元数の基底のテンソル積$\{1,i,j,k\}⊗\{1,i,j,k\}$から得られます。

クリフォード代数の生成元

$\mathbb H$と$\mathbb H⊗\mathbb H$をクリフォード代数として扱う場合の、適切な生成元の選択とそれによって得られる代数構造を説明します。

ある代数の中で同じ関係を満たす元を見つけても、これらの単項式が一次独立になるとは限りません。たとえば、後で見る5個の反交換する元は、積が定数になるため16次元にしかなりません。そこで、代数との同型を次のように判定します。

$\mathbb H$の基底$\{1,i,j,k\}$は$4=2^2$個であることから、クリフォード代数としての生成元は2個です。虚数単位$i,j,k$は代数的な性質が同一なため、任意の2個を選択して生成元とすることができます。

$\{i,j\}$を生成元とすれば、$ij=k$より$k$はグレード2の基底に対応します。

本記事ではこの組み合わせを使用します。

$\mathbb H⊗\mathbb H$

$\mathbb{H}⊗\mathbb{H}$の基底は$4×4=16=2^4$個であることから、クリフォード代数としての生成元は4個です。

$\{1,i,j,k\}⊗\{1,i,j,k\}$から$1⊗1$を除く15個の基底について、互いに反交換し、包含関係で極大となる集合を総当たりで探索したところ、元の個数が3個と5個に分かれました。7shi-colab-cl

互いに反交換し2乗が$\pm1$となる3個の元が生成する代数は、単項式$2^3=8$個で張られるため、16次元の$\mathbb H⊗\mathbb H$全体を生成できません。3個では不足するため、5個の元からなる集合を選択します。

$$\{1⊗i,\ 1⊗j,\ i⊗k,\ j⊗k,\ k⊗k\} \tag{1}$$
$$\{1⊗i,\ 1⊗k,\ i⊗j,\ j⊗j,\ k⊗j\} \tag{2}$$
$$\{1⊗j,\ 1⊗k,\ i⊗i,\ j⊗i,\ k⊗i\} \tag{3}$$
$$\{i⊗1,\ j⊗1,\ k⊗i,\ k⊗j,\ k⊗k\} \tag{4}$$
$$\{i⊗1,\ j⊗i,\ j⊗j,\ j⊗k,\ k⊗1\} \tag{5}$$
$$\{i⊗i,\ i⊗j,\ i⊗k,\ j⊗1,\ k⊗1\} \tag{6}$$

これらは虚数単位$i,j,k$の置換や、左右の因子の交換によって移り合うため、本質的に同じ代数構造を与えます。

生成元の候補の選択

次のセクションの模式図$(7)$で左右の因子の構造を整理しやすいことから、$(3)$を生成元の候補として選択します。

$$\{1⊗j,\ 1⊗k,\ i⊗i,\ j⊗i,\ k⊗i\} \tag{3}$$

$(3)$の性質を調べます。

生成元の選択

prop-tensor-spanとprop-tensor-fourより、$(3)$から任意の4元を選択すれば、それらは$\mathbb H⊗\mathbb H$を生成します。これらは互いに反交換し、2乗は$\pm1$であり（次節で計算します）、$\dim(\mathbb H⊗\mathbb H)=16=2^4$なので、prop-cl-isoにより、対応する符号数のクリフォード代数の生成元となります。

基礎にある結合代数は生成元の選択によって変わりませんが、クリフォード代数としての符号数は選択によって変わります。どのようにすればテンソル積の構造が解釈しやすいかを検討します。

$(3)$の構造を捉えるため模式化します。

$$ \begin{array}{c|ccccc} \text{左因子}&\color{red}{i}&\color{red}{j}&\color{red}{k}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \text{右因子}&i&i&\color{red}{i}&\color{red}{j}&\color{red}{k} \end{array} \tag{7} $$

左因子が元となった$\mathbb H$で、それに右因子を付加して拡張していると解釈します。$\mathbb H$のクリフォード代数としての生成元を$\{i,j\}$とすれば、左因子に$k$を含まないように生成元を選択することで、テンソル積による拡張の様子が分かりやすくなります。また、右因子の$k$は$ij$に書き換えます。

$$ \begin{array}{c|cccc} \text{左因子}&\color{red}{i}&\color{red}{j}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \text{右因子}&i&i&j&ij \\ \hline \operatorname{Cl}&e_1&e_2&e_3&e_4 \end{array} $$

本記事では、この組み合わせを$\mathbb H⊗\mathbb H$のクリフォード代数の生成元として使用します。

計量と符号数

生成元をそれぞれ2乗します。

$$ \begin{alignedat}{7} (i&⊗i)^2 &&= &i^2&⊗i^2    &&= &(-1)&⊗(-1) &&= &\color{red}{ 1}&(1⊗1) \\ (j&⊗i)^2 &&= &j^2&⊗i^2    &&= &(-1)&⊗(-1) &&= &\color{red}{ 1}&(1⊗1) \\ (1&⊗j)^2 &&= &1^2&⊗j^2    &&= &   1&⊗(-1) &&= &\color{red}{-1}&(1⊗1) \\ (1&⊗k)^2 &&= &1^2&⊗(ij)^2 &&= &   1&⊗(-1) &&= &\color{red}{-1}&(1⊗1) \end{alignedat} $$

これら2乗の係数（赤字部分）を、生成元の計量（正規直交基底での計量の対角成分）、計量の値ごとの生成元の個数を符号数と呼びます。本記事では$1,-1$の順に符号数を数えます。

• 計量$1$が2個、計量$-1$が2個 → 符号数$(2,2)$

計量を含めて、テンソル積による拡張の様子を示します。

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c|cc} \mathbb H&\color{red}{i}&\color{red}{j} \\ \hline \operatorname{Cl}&e_1&e_2 \\ \hline \text{計量}&-1&-1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\mathbb H} & \begin{array}{c|cccc} \mathbb H&\color{red}{i}&\color{red}{j}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H&i&i&j&ij \\ \hline \operatorname{Cl}&e_1&e_2&e_3&e_4 \\ \hline \text{計量}&1&1&-1&-1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R) \end{array} $$

一般化と公式

$\operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R)$を更に拡張しても、同じ構造が繰り返されます。

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c|cccc} \operatorname{Cl}&e_1&e_2&e_3&e_4 \\ \hline \text{計量}&1&1&-1&-1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\mathbb H} & \begin{array}{c|cccccc} \operatorname{Cl}&e_1&e_2&e_3&e_4&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H&i&i&i&i&j&ij \\ \hline \text{計量}&-1&-1&1&1&-1&-1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{2,4}(\mathbb R) \end{array} $$

この構造を一般化します。

この構成が実際にクリフォード代数の生成元を与えることを、$\mathbb H$と$\mathbb H'$に共通する形で示します。

次元は$\dim(\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)⊗B)=2^n\cdot4=2^{n+2}$なので、prop-cl-isoにより、$E_a,F,G$は$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)⊗B$の生成元となります。$(u,v)$と$(s,t)$の選び方は次のとおりです。

• $\mathbb H$の$(u,v)=(i,j)$：$(s,t)=(-1,-1)$
• $\mathbb H'$の$(u,v)=(i,j)$：$(s,t)=(-1,1)$
• $\mathbb H'$の$(u,v)=(j,k)$：$(s,t)=(1,1)$

この結果を公式の形にまとめます。wiki-clif

分解型四元数

四元数を一部変更して、$j$を$j^2=1$となる実数ではない虚数単位としたものが分解型四元数です。wiki-sq

この定義から$k^2=1$が導かれます。

分解型四元数全体の集合を$\mathbb H'$と表記します。

クリフォード代数

虚数単位によって2乗の値が変わるため、どれをクリフォード代数の生成元として使うかで符号数が変わります。

1. $\operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb R)$: $\{i,j\},\{i,k\}$
2. $\operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb R)$: $\{j,k\}$

クリフォード代数としての性質は符号数にのみ依存するため、$\operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb R)$の生成元としては$\{i,j\}$のみを使用します。

$\mathbb H'⊗\mathbb H'$

2×2=4種類の組み合わせを確認します。

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c|cc} \mathbb H'&\color{red}{i}&\color{red}{j} \\ \hline \text{計量}&-1&1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\{i,j\}} & \begin{array}{c|cccc} \mathbb H'&\color{red}{i}&\color{red}{j}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H'&i&i&j&ij \\ \hline \text{計量}&1&-1&1&1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{3,1}(\mathbb R) \\ \ \\ \begin{array}{c|cc} \mathbb H'&\color{red}{j}&\color{red}{k} \\ \hline \text{計量}&1&1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\{i,j\}} & \begin{array}{c|cccc} \mathbb H'&\color{red}{j}&\color{red}{k}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H'&i&i&j&ij \\ \hline \text{計量}&-1&-1&1&1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R) \\ \ \\ \begin{array}{c|cc} \mathbb H'&\color{red}{i}&\color{red}{j} \\ \hline \text{計量}&-1&1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\{j,k\}} & \begin{array}{c|cccc} \mathbb H'&\color{red}{i}&\color{red}{j}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H'&j&j&k&jk \\ \hline \text{計量}&-1&1&1&-1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R) \\ \ \\ \begin{array}{c|cc} \mathbb H'&\color{red}{j}&\color{red}{k} \\ \hline \text{計量}&1&1 \end{array} & \xrightarrow{⊗\{j,k\}} & \begin{array}{c|cccc} \mathbb H'&\color{red}{j}&\color{red}{k}&1&1 \\ &⊗&⊗&⊗&⊗ \\ \mathbb H'&j&j&k&jk \\ \hline \text{計量}&1&1&1&-1 \end{array} \\ \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb R) & & \operatorname{Cl}_{3,1}(\mathbb R) \end{array} $$

結果をまとめます。

$$ \mathbb H'⊗\mathbb H' \cong \operatorname{Cl}_{3,1}(\mathbb R) \cong \operatorname{Cl}_{2,2}(\mathbb R) $$

この結果から、以下の関係が分かります。

一般化と公式

この構造を一般化します。

この構成が生成元を与えることは、prop-extの$(u,v)=(i,j),(j,k)$の場合です。この結果を公式の形にまとめます。wiki-clif

$\mathbb H'⊗\mathbb H,\ \mathbb H⊗\mathbb H'$

fml-ext-hより

$$ \begin{aligned} \mathbb H'⊗\mathbb H &\cong \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb R)⊗\mathbb H \cong \operatorname{Cl}_{0,4}(\mathbb R) \\ &\cong \operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb R)⊗\mathbb H \cong \operatorname{Cl}_{1,3}(\mathbb R) \\ \end{aligned} $$

fml-ext-hsより

$$ \begin{aligned} \mathbb H⊗\mathbb H' \cong \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)⊗\mathbb H' &\cong \operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb R) \\ &\cong \operatorname{Cl}_{1,3}(\mathbb R) \end{aligned} $$

どちらも$\operatorname{Cl}_{1,3}(\mathbb R)$を含みますが、これは同型対応におけるテンソル積の可換性を反映しています。

$$ \mathbb{H} ⊗ \mathbb{H}' \cong \mathbb{H}' ⊗ \mathbb{H} \cong \operatorname{Cl}_{1,3}(\mathbb R) \cong \operatorname{Cl}_{0,4}(\mathbb R) \cong \operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb R) $$

まとめ

本記事では、$\mathbb H$と$\mathbb H'$とそれらのテンソル積によって構成されるクリフォード代数の構造を分析しました。

テンソル積によって$\mathbb H,\mathbb H'$を付加することで、クリフォード代数としての生成元は2個増えます。