四元数のテンソル積とクリフォード代数の構成

四元数のテンソル積7shi-tpからクリフォード代数を構成する方法を確認します。同様に分解型四元数でも確認します。

四元数のテンソル積

四元数（全体の集合$\mathbb{H}$）は実数体上の4次元の除法代数であり、その基底は通常$\{1,i,j,k\}$で表されます。これらの基底は以下の関係式を満たします：

四元数のテンソル積（全体の集合$\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$）は16次元の代数であり、その基底は四元数の基底のテンソル積$\{1,i,j,k\}\otimes \{1,i,j,k\}$から得られます。

クリフォード代数の生成元

$\mathbb{H}$と$\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$をクリフォード代数として扱う場合の、適切な生成元の選択とそれによって得られる代数構造を説明します。

$\mathbb{H}$の基底$\{1,i,j,k\}$は$4=2^2$個であることから、クリフォード代数としての生成元は2個です。虚数単位$i,j,k$は代数的な性質が同一なため、任意の2個を選択して生成元とすることができます。

$\{i,j\}$を生成元とすれば、$ij=k$より$k$はグレード2の基底に対応します。

本記事ではこの組み合わせを使用します。

$\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$

$\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$の基底は$4\times 4=16=2^4$個であることから、クリフォード代数としての生成元は4個です。

$\{1,i,j,k\}\otimes \{1,i,j,k\}$から反交換関係を満たす基底の集合を総当たりで探索したところ、元の個数が3個と5個に分かれました。7shi-colab-cl

クリフォード代数として必要な生成元は4個であることから、3個では不足するため、5個の元からなる集合を選択します：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{1\otimes i,1\otimes j,i\otimes k,j\otimes k,k\otimes k\}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{1\otimes i,1\otimes k,i\otimes j,j\otimes j,k\otimes j\}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{1\otimes j,1\otimes k,i\otimes i,j\otimes i,k\otimes i\}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{i\otimes 1,j\otimes 1,k\otimes i,k\otimes j,k\otimes k\}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{i\otimes 1,j\otimes i,j\otimes j,j\otimes k,k\otimes 1\}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{i\otimes i,i\otimes j,i\otimes k,j\otimes 1,k\otimes 1\}\end{array}$$

これらは虚数単位$i,j,k$の置換や、左右の因子の交換によって移り合うため、本質的に同じ代数構造を与えます。

生成元の候補の選択

模式化しやすさの観点から、$(3)$を生成元の候補として選択します：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{1\otimes j,1\otimes k,i\otimes i,j\otimes i,k\otimes i\}\end{array}$$

$(3)$の性質を調べます。

生成元の選択

互いに反交換ですべての基底を生成する最小の元の集合は、クリフォード代数の生成元となります。命題1,2より、$(3)$から任意の4元を選択すれば、クリフォード代数の生成元となります。

代数的な性質は生成元の選択に依存しませんが、どのようにすればテンソル積の構造が解釈しやすいかを検討します。

$(3)$の構造を捉えるため模式化します。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{cccccc}\text{左因子}& i& j& k& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ \text{右因子}& i& i& i& j& k\end{array}\end{array}$$

左因子が元となった$\mathbb{H}$で、それに右因子を付加して拡張していると解釈します。$\mathbb{H}$のクリフォード代数としての生成元を$\{i,j\}$とすれば、左因子に$k$を含まないように生成元を選択することで、テンソル積による拡張の様子が分かりやすくなります。また、右因子の$k$は$ij$に書き換えます。

$$\begin{array}{ccccc}\text{左因子}& i& j& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ \text{右因子}& i& i& j& ij\\ \mathrm{Cl}& e_1& e_2& e_3& e_4\end{array}$$

本記事では、この組み合わせを$\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$のクリフォード代数の生成元として使用します。

計量と符号数

生成元をそれぞれ2乗します：

$$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrl}(i& \otimes i{)}^2& & =& i^2& \otimes i^2& & =& (-1)& \otimes (-1)& & =& 1& (1\otimes 1)\\ (j& \otimes i{)}^2& & =& j^2& \otimes i^2& & =& (-1)& \otimes (-1)& & =& 1& (1\otimes 1)\\ (1& \otimes j{)}^2& & =& 1^2& \otimes j^2& & =& 1& \otimes (-1)& & =& -1& (1\otimes 1)\\ (1& \otimes k{)}^2& & =& 1^2& \otimes (ij{)}^2& & =& 1& \otimes (-1)& & =& -1& (1\otimes 1)\end{array}$$

これら2乗の係数（赤字部分）を計量、計量の値ごとの生成元の個数を符号数と呼びます。本記事では$1,-1$の順に符号数を数えます。

• 計量$1$が2個、計量$-1$が2個 → 符号数$(2,2)$

計量を含めて、テンソル積による拡張の様子を示します。

$$\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\mathbb{H}& i& j\\ \mathrm{Cl}& e_1& e_2\\ \text{計量}& -1& -1\end{array}& \stackrel{\otimes \mathbb{H}}{\to }& \begin{array}{ccccc}\mathbb{H}& i& j& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ \mathbb{H}& i& i& j& ij\\ \mathrm{Cl}& e_1& e_2& e_3& e_4\\ \text{計量}& 1& 1& -1& -1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{0,2}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})\end{array}$$

一般化と公式

${\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})$を更に拡張しても、同じ構造が繰り返されます。

$$\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccccc}\mathrm{Cl}& e_1& e_2& e_3& e_4\\ \text{計量}& 1& 1& -1& -1\end{array}& \stackrel{\otimes \mathbb{H}}{\to }& \begin{array}{ccccccc}\mathrm{Cl}& e_1& e_2& e_3& e_4& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ \mathbb{H}& i& i& i& i& j& ij\\ \text{計量}& -1& -1& 1& 1& -1& -1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{2,4}(\mathbb{R})\end{array}$$

この構造を一般化します。

この結果を公式の形にまとめます。wiki-clif

分解型四元数

四元数を一部変更して、$j$を$j^2=1$となる実数ではない虚数単位としたものが分解型四元数です。wiki-sq

この定義から$k^2=1$が導かれます：

分解型四元数全体の集合を${\mathbb{H}}^{\prime }$と表記します。

クリフォード代数

虚数単位によって2乗の値が変わるため、どれをクリフォード代数の生成元として使うかで符号数が変わります。

1. ${\mathrm{Cl}}_{1,1}(\mathbb{R})$: $\{i,j\},\{i,k\}$
2. ${\mathrm{Cl}}_{2,0}(\mathbb{R})$: $\{j,k\}$

クリフォード代数としての性質は符号数にのみ依存するため、${\mathrm{Cl}}_{1,1}(\mathbb{R})$の生成元としては$\{i,j\}$のみを使用します。

${\mathbb{H}}^{\prime }\otimes {\mathbb{H}}^{\prime }$

2×2=4種類の組み合わせを確認します。

$$\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& i& j\\ \text{計量}& -1& 1\end{array}& \stackrel{\otimes \{i,j\}}{\to }& \begin{array}{ccccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& i& j& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ {\mathbb{H}}^{\prime }& i& i& j& ij\\ \text{計量}& 1& -1& 1& 1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{1,1}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{3,1}(\mathbb{R})\\ \\ \begin{array}{ccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& j& k\\ \text{計量}& 1& 1\end{array}& \stackrel{\otimes \{i,j\}}{\to }& \begin{array}{ccccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& j& k& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ {\mathbb{H}}^{\prime }& i& i& j& ij\\ \text{計量}& -1& -1& 1& 1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{2,0}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})\\ \\ \begin{array}{ccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& i& j\\ \text{計量}& -1& 1\end{array}& \stackrel{\otimes \{j,k\}}{\to }& \begin{array}{ccccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& i& j& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ {\mathbb{H}}^{\prime }& j& j& k& jk\\ \text{計量}& -1& 1& 1& -1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{1,1}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})\\ \\ \begin{array}{ccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& j& k\\ \text{計量}& 1& 1\end{array}& \stackrel{\otimes \{j,k\}}{\to }& \begin{array}{ccccc}{\mathbb{H}}^{\prime }& j& k& 1& 1\\ & \otimes & \otimes & \otimes & \otimes \\ {\mathbb{H}}^{\prime }& j& j& k& jk\\ \text{計量}& 1& 1& 1& -1\end{array}\\ {\mathrm{Cl}}_{2,0}(\mathbb{R})& & {\mathrm{Cl}}_{3,1}(\mathbb{R})\end{array}$$

結果をまとめます。

$${\mathbb{H}}^{\prime }\otimes {\mathbb{H}}^{\prime }\cong {\mathrm{Cl}}_{3,1}(\mathbb{R})\cong {\mathrm{Cl}}_{2,2}(\mathbb{R})$$

この結果から、以下の関係が分かります。

一般化と公式

この構造を一般化します。

この結果を公式の形にまとめます。wiki-clif

${\mathbb{H}}^{\prime }\otimes \mathbb{H},\mathbb{H}\otimes {\mathbb{H}}^{\prime }$

公式1より：

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{H}}^{\prime }\otimes \mathbb{H}& \cong {\mathrm{Cl}}_{2,0}(\mathbb{R})\otimes \mathbb{H}\cong {\mathrm{Cl}}_{0,4}(\mathbb{R})\\ & \cong {\mathrm{Cl}}_{1,1}(\mathbb{R})\otimes \mathbb{H}\cong {\mathrm{Cl}}_{1,3}(\mathbb{R})\end{array}$$

公式2より：

$$\mathbb{H}\otimes {\mathbb{H}}^{\prime }\cong {\mathrm{Cl}}_{0,2}(\mathbb{R})\otimes {\mathbb{H}}^{\prime }\cong {\mathrm{Cl}}_{4,0}(\mathbb{R})\cong {\mathrm{Cl}}_{1,3}(\mathbb{R})$$

この結果から、以下の関係が分かります。

まとめ

本記事では、$\mathbb{H}$と${\mathbb{H}}^{\prime }$とそれらのテンソル積によって構成されるクリフォード代数の構造を分析しました。

テンソル積によって$\mathbb{H},{\mathbb{H}}^{\prime }$を付加することで、クリフォード代数としての生成元は2個増えます：