多重T値の反復積分表示の一般化を考えてみた

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はじめに

どうも、色々やる数学徒です。
今回は前回に引き続き反復積分で遊んでいきます。(中学卒業までは反復積分をやる予定)
余余余さんに教わったことから得られた結果なんかを羅列していきます。

復習

前回の記事で以下のような結果を得られたのでした。

$- ζ (\bar{2}) = \frac{1}{2} ζ (2) = \frac{π^{2}}{12} = \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 + t_{1}}$
$ζ (1, \bar{2}) = \frac{1}{8} ζ (3) = \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{d t_{2}}{1 + t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 + t_{1}}$
$t (2) = \frac{π^{2}}{8} = \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 - t^{2}}$
$β (2) = \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 + t_{1}^{2}}$
$ζ (3) = - \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{\ln (1 - t_{1})}{t_{1}} d t_{1}$

ここで $t$ 値の反復積分と考えていたものは余余余さんによると実は多重 $T$ 値(以下MTV)というものの反復積分表示になっているそうなので今回はそれについて深掘りしていきます。

MTV

$T (k) := 2^{r} \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ n_{i} \equiv i mod 2 \end{matrix}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$

このようなものをMTVというみたい
そして前回の結果や余余余さんの記事から次のような積分表示ができることがわかります。

反復積分表示

$T (k) = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, \dots, 0, {1}^{k_{r} - 1})$

詳細は上記の記事を参照

一般化

なんか一般化できそうですね。
やりましょう。
まずはMTVを一般化してみます。

多重O値(MOV)

$O (k; l) = l^{r} \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ n_{i} \equiv i mod l \end{matrix}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$

定義するだけなら簡単です。大事なのはこのMOVがどのような性質を持っているのか、ですね。

反復積分表示

$Ω_{0} (t; l) = \frac{d t}{t}, Ω_{1} (t; l) = \frac{l d t}{1 - t^{l}}$ とおく
$\begin{aligned} I (ε_{1}, \dots, ε_{r}; l) & = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{r}} \prod_{i = 1}^{r} Ω_{ε_{i}} (t_{i}; l) \\ O (k; l) & = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{r} - 1}; l) \end{aligned}$

右から順番に級数展開するだけですね。

と、ここまでは確証を持って言えるのですが次がまだ示せていません。

双対性

$O (k; l) = O (k^{†}; l)$

成り立つはずなんですよ！💦
$l = 1, 2$ の場合は変数変換により示せますがそれ以上はわからないです。。。
この前チラッとNKSさんがMTVのコネクターは多重ポリログの $z = - 1$ を考えれば与えられる的なこと(記憶が定かではないが)を言っていたので同じようにコネクターが存在するのですかね？