超微分は二つある(本当はないはず)

超微分

超微分についてはこちら
7777777: 超微分の記事まとめ

$q$-類似

q-analogとも言いますが、世の中にはq-類似と呼ばれるものがあります。( Wikipedia )
詳しく知りたい方はWikipediaをさっさと見てください。
そこでの微分、q-微分やq-導関数というのは、
\begin{eqnarray} d_q\qty(f\qty(x)) = f(qx) - f(x) \end{eqnarray}
によって定義され、導関数は
\begin{eqnarray} D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx)-f(x)}{qx-x} \end{eqnarray}
となります。q-導関数は通常の導関数と極限をとると完全に一致するらしいです。

微分との比較

q-類似を微分と比較してみましょう。
えっとね
\begin{eqnarray} f'(x) &=& \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h\!\;\!\;\!\;-x\!\;\!\;\!\;} \\ &\downarrow& \\ D_q(f(x)) &=& \lim_{q\to 1} \frac{f(qx)-f(x)}{qx\!\;\!\;\!\;\!\:-x\!\;\!\;\!\;\!\;} \end{eqnarray}
これ覚えといて(覚えてなくてもまた書くけどね)

超微分を定義に戻って考えると、、、

超微分の定義は、7777777氏: 超微分の定義と定理 より、

こうでしたよね。
この定義の式を少し変形させると、、、
\begin{eqnarray} && \lim_{h\to1}\log_{h}\frac{f(hx)}{f(x)} \\&=& \lim_{h\to1}\frac{\log \frac{f(hx)}{f(x)}}{\log h} \quad\text{(底の変換公式)} \\&=& \lim_{h\to1}\frac{\log f(hx) - \log f(x)}{\log hx - \log x} \end{eqnarray}
底は$e$としています。
これ、見おぼえないですか？？(ていうかすぐ上にある)

超微分はすでにq-類似

\begin{eqnarray} D_q(f(x)) &=& \lim_{q\to 1} \frac{f(qx)-f(x)}{qx-x} \\ f^`(x) &=& \lim_{h\to1}\frac{\log f(hx) - \log f(x)}{\log hx - \log x} \end{eqnarray}
これ完全に何か別のもののq-類似ですね。
\begin{eqnarray} \text{何か} &=& \lim_{h\to 0}\frac{\log f(a+h)-\log f(x)}{\log(a+h)-\log x} \\ &\downarrow& \\ f^`(x) &=& \lim_{h\to1}\frac{\log f(hx) - \log f(x)}{\log hx - \log x} \end{eqnarray}
こういうことなんですよね。「何か」があるんですよね。

図を書いてみました
\begin{eqnarray} \xymatrix{ \underset{h\to 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}\ar[r]\ar[d]& \underset{h\to 0}{\lim} \frac{\log f(x+h)-\log f(x)}{\log(x+h)-\log \:x}\ar[d]& \text{超微分}2\ar[l]\\ \underset{q\to 1}{\lim} \frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}\ar[r]& \underset{q\to 1}{\lim}\frac{\log f(qx) - \log f(x)}{\log \:qx - \log \: x}&\text{超微分}\ar[l] } \end{eqnarray}
謎の右上の微分、予想ですが多分極限をとると超微分と全く同じになるはずです。(ていうかなってくれ)

超Taylor展開と超微分の定義の形

ここから記事のタイトルとは関係なくなってくるのですが、私のこの記事の一つ前の記事: 超Taylor展開を導出する(3次までできた) にある、1次と2次の超Taylor展開
\begin{eqnarray} &f(a) \exp(f^`\qty(a)\qty(\ln(x)-\ln(a)))& \\ &\downarrow&\\ &f(a)\exp(\frac{f^`(a)}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}\qty(x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}))& \end{eqnarray}
なのですが、2次に無理やり1次っぽい形を作りに行くと、
\begin{eqnarray} &&f(a)\exp(\frac{f^`(a)}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}\qty(x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)})) \\&=& f(a)\exp(\frac{f^`\qty(a)\qty(\ln(x)-\ln(a))}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}\frac{x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}) \\&=& f(a)\exp(f^`\qty(a)\qty(\ln(x)-\ln(a))\frac{1}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}\frac{x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}) \\&=& f(a)\exp(f^`\qty(a)\qty(\ln(x)-\ln(a)))^{\frac{1}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}\frac{x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}} \end{eqnarray}
こういうふうに無理やりできます。3次でもできます。
\begin{eqnarray} &&f(a) \exp( \frac{f^`\qty(a)}{f^{```}(a)} \exp( -\frac{f^{``}(a)}{f^{```}(a)} ) \qty( \mathrm{Ei}\qty( \frac{f^{``}(a)x^{f^{```}(a)}}{f^{```}(a)a^{f^{```}(a)}} ) - \mathrm{Ei}\qty( \frac{f^{``}(a)}{f^{```}(a)} ) ) ) \\&=& f(a) \exp(f^`\qty(a)\qty(\ln(x)-\ln(a)) \frac{1}{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}} \frac{x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}} {\qty(\ln(x)-\ln(a))} \frac{f^{``}(a)a^{f^{``}(a)}}{f^{```}(a)} \exp( -\frac{f^{``}(a)}{f^{```}(a)} ) \frac{\mathrm{Ei}\qty( \frac{f^{``}(a)x^{f^{```}(a)}}{f^{```}(a)a^{f^{```}(a)}} ) - \mathrm{Ei}\qty( \frac{f^{``}(a)}{f^{```}(a)} )}{x^{f^{``}(a)}-a^{f^{``}(a)}} ) \\\\ \end{eqnarray}
だからなんだよ。

一つ思ったこと

一つ思ったのですが、超微分でのTaylor展開の形って、なんというか不思議なんですよね。
普通のTaylor展開の形は、
\begin{eqnarray} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray}
のような、$f(x-a)$の形として出てくるのですが、
超微分ではどう考えても$f(x)-f(a)$の形をしています。
つまり、超Taylor展開はx軸方向の平行移動によって本質的に異なるものになるということです。