Zhouの7F6和公式

前の記事 の定理1の2つ目の表示
\begin{align} &\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx\\ &=\frac{2}{\pi}\frac{\sin\pi\mu\cos\pi\nu}{(2\nu+1)\mu(\mu+1)}\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\mu}2,\frac{\mu+1}2,-\nu,\nu+1}{\frac 14,1,\frac{2-\mu}2,\frac{\mu+3}2,\frac 32+\nu,\frac 12-\nu}1 \end{align}
において, $\mu=\nu$とすると
\begin{align} &\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx\\ &=\frac{2}{\pi}\frac{\sin\pi\nu\cos\pi\nu}{(2\nu+1)\nu(\nu+1)}\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\nu}2,\frac{\nu+1}2,-\nu,\nu+1}{\frac 14,1,\frac{2-\nu}2,\frac{\nu+3}2,\frac 32+\nu,\frac 12-\nu}1 \end{align}
を得る. この左辺に 前の記事 の定理2を用いると,
\begin{align} &\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\nu}2,\frac{\nu+1}2,-\nu,\nu+1}{\frac 14,1,\frac{2-\nu}2,\frac{\nu+3}2,\frac 32+\nu,\frac 12-\nu}1\\ &=\frac{\pi}2\frac{(2\nu+1)\nu(\nu+1)}{\sin\pi\nu\cos\pi\nu}\frac{1+2\cos\pi\nu}3\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)} \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} 1+2\cos\pi\nu&=\frac{\sin\frac{3\pi\nu}2}{\sin\frac{\pi\nu}2}\\ \sin\pi\nu&=2\sin\frac{\pi\nu}2\cos\frac{\pi\nu}2 \end{align}
と書き換えて代入すると,
\begin{align} &\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\nu}2,\frac{\nu+1}2,-\nu,\nu+1}{\frac 14,1,\frac{2-\nu}2,\frac{\nu+3}2,\frac 32+\nu,\frac 12-\nu}1\\ &=\frac{1}{12}\frac{(2\nu+1)\nu(\nu+1)}{\sin\frac{\pi\nu}2\cos\frac{\pi\nu}2\cos\pi\nu}\frac{\sin\frac{3\pi\nu}2}{\sin\frac{\pi\nu} 2}\frac{\pi^2\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\\ &=-\frac{\nu(\nu+1)(2\nu+1)\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)^2\Gamma\left(-\frac{\nu}2\right)^2}{12\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)\Gamma\left(-\frac{3\nu}2\right)\cos\pi\nu} \end{align}
と書き換えられる. つまり, 以下を得る.

今回はこれに直接的な証明を与えたいと思う.

導出

$c=-\nu$とすると, 示すべき等式は
\begin{align} &\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac c2,\frac{1-c}2,c,1-c}{\frac 14,1,\frac{2+c}2,\frac{3-c}2,\frac 32-c,\frac 12+c}1\\ &=\frac{c(1-c)(1-2c)\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2\Gamma\left(\frac c2\right)^2}{12\Gamma\left(\frac{1+c}2\right)\Gamma\left(\frac{2-c}2\right)\Gamma\left(\frac{3-3c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\cos\pi c} \end{align}
となる. 左辺に, non-terminating Whippleの変換公式 において$a,b,c,d,e,f$を$\frac 12,\frac c2,c,\frac 12,\frac{1-c}2,1-c$として
\begin{align} &\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac c2,\frac{1-c}2,c,1-c}{\frac 14,1,\frac{2+c}2,\frac{3-c}2,\frac 32-c,\frac 12+c}1\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac{c}2\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)}{\Gamma\left(\frac 32\right)\Gamma\left(\frac{1+c}2\right)\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)}\F32{\frac 12,\frac{1-c}2,1-c}{\frac{3-c}2,\frac 32-c}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(\frac{3-c}2\right)\Gamma\left(\frac 32-c\right)\Gamma\left(1+\frac c2\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{1-3c}2\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)\Gamma\left(1-c\right)\Gamma\left(\frac 32\right)\Gamma\left(\frac{3-3c}2\right)\Gamma\left(c+1\right)\Gamma\left(1+\frac c2\right)}\F43{1,\frac{3c}2,c,\frac{c+1}2}{c+1,\frac c2+1,\frac{3c+1}2}1\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac{c}2\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)}{\Gamma\left(\frac 32\right)\Gamma\left(\frac{1+c}2\right)\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)}\F32{\frac 12,\frac{1-c}2,1-c}{\frac{3-c}2,\frac 32-c}1\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-2c)\sin\pi c}{\pi c(1-3c)\cos\pi c}\F43{1,\frac{3c}2,c,\frac{c+1}2}{c+1,\frac c2+1,\frac{3c+1}2}1\\ \end{align}

ここで, Dixonの和公式と前の記事( Non-terminating Whippleの変換公式の片方の4F3がDixonの和公式で総和できる場合について )の命題9より,
\begin{align} \F32{1-c,\frac{1-c}2,\frac 12}{\frac{3-c}2,\frac 32-c}1&=\frac{\Gamma\left(\frac{3-c}2\right)^2\Gamma\left(\frac 32-c\right)\Gamma\left(\frac 12\right)}{\Gamma\left(2-c\right)\Gamma\left(1-\frac c2\right)^2}\\ \F43{1,\frac{3c}2,c,\frac{c+1}2}{c+1,\frac c2+1,\frac{3c+1}2}1&=\frac{\pi c^2}{12}\frac{\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^3} \end{align}
であるから, これらを代入して,
\begin{align} &\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac c2,\frac{1-c}2,c,1-c}{\frac 14,1,\frac{2+c}2,\frac{3-c}2,\frac 32-c,\frac 12+c}1\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac{c}2\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)}{\Gamma\left(\frac 32\right)\Gamma\left(\frac{1+c}2\right)\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)}\frac{\Gamma\left(\frac{3-c}2\right)^2\Gamma\left(\frac 32-c\right)\Gamma\left(\frac 12\right)}{\Gamma\left(2-c\right)\Gamma\left(1-\frac c2\right)^2}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-2c)\sin\pi c}{\pi c(1-3c)\cos\pi c}\frac{\pi c^2}{12}\frac{\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^3}\\ &=\frac{c(1-c)(1-2c)\sin\pi c}{8\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2\Gamma\left(\frac{c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)}{\Gamma\left(1-\frac c2\right)^2\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)}\\ &\qquad+\frac{c(c-1)(1-2c)\sin\pi c}{24\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^3}\\ &=\frac{c(c-1)(1-2c)\sin\pi c}{24\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)\pi^2}\\ &\qquad\cdot\left(\cos^2\frac{\pi c}2-3\sin^2\frac{\pi c}2\right)\\ &=\frac{c(c-1)(1-2c)\sin\frac{\pi c}2}{12\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)\pi^2}\\ &\qquad\cdot\left(4\cos^3\frac{\pi c}2-3\cos\frac{\pi c}2\right)\\ &=\frac{c(c-1)(1-2c)\sin\frac{\pi c}2\cos\frac{3\pi c}2}{12\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac{3c-1}2\right)\Gamma\left(\frac c2\right)^3\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)\pi^2}\\ &=\frac{c(1-c)(1-2c)}{12\cos\pi c}\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)^2\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^2}{\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)\Gamma\left(\frac{2-c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{3-3c}2\right)} \end{align}
となって示すべき等式を得る. この表示は, ガンマ関数の倍角公式や相反公式を用いるとより簡潔に
\begin{align} \F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac c2,\frac{1-c}2,c,1-c}{\frac 14,1,\frac{2+c}2,\frac{3-c}2,\frac 32-c,\frac 12+c}1=\frac{c(1-c)(1-2c)\tan\pi c}{24\pi^2}\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)^3\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)^3}{\Gamma\left(\frac{3c}2\right)\Gamma\left(\frac{3-3c}2\right)} \end{align}
と表すことができる.

別の表示

定理1に ${}_7F_6$の二項変換公式 を適用して得られる表示を以下にまとめておく.

前の記事( Non-terminating Whippleの変換公式の片方の4F3がDixonの和公式で総和できる場合について )の命題9に ${}_7F_6$の二項変換公式 を適用して得られるものも以下にまとめておく.