ZhouによるLegendre関数の3つの積の積分
前の記事
でGegenbauer多項式の線形化公式の特別な場合として, Legendre多項式の線形化公式
\begin{align}
P_m(x)P_n(x)=\sum_{0\leq k}\left(m+n-2k+\frac 12\right)\frac{\left(\frac 12\right)_k\left(\frac 12\right)_{m-k}\left(\frac 12\right)_{n-k}(m+n-k)!}{k!(m-k)!(n-k)!\left(\frac 12\right)_{m+n-k}}P_{m+n-2k}(x)
\end{align}
を示した. それは$2N=l+m+n$が偶数のときの積分
\begin{align}
\int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)P_n(x)\,dx&=\frac{\left(\frac 12\right)_{N-l}\left(\frac 12\right)_{N-m}\left(\frac 12\right)_{N-n}N!}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!\left(\frac 12\right)_{N+1}}
\end{align}
として表すことができる. Legendre多項式の$n$を連続変数に一般化したものは
\begin{align}
P_{\nu}(x):=\F21{-\nu,\nu+1}{1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
と定義され, Legendre関数と呼ばれている. 今回は, 上のLegendre多項式が3つ入った積分をLegendre関数に部分的に一般化したZhouによる以下の公式を示す.
$\mu,\nu\in\CC$に対し,
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\mu\sin\pi\nu}{\mu(\mu+1)}\left(\frac 1\nu\F43{1,\frac{1-\mu}2,\frac{\mu+2}2,-\nu}{\frac{2-\mu}2,\frac{\mu+3}2,1-\nu}1-\frac 1{\nu+1}\F43{1,\frac{1-\mu}2,\frac{\mu+2}2,\nu+1}{\frac{2-\mu}2,\frac{\mu+3}2,\nu+2}1\right)\\
&=\frac 2{\pi}\frac{\sin\pi\mu\cos\pi\nu}{2\nu+1}\left(\frac 1{\mu}\F54{\frac 12,\frac 12,-\frac{\mu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{2-\mu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1-\frac 1{\mu+1}\F54{\frac 12,\frac 12,\frac{1+\mu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{3+\mu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1\right)
\end{align}
が成り立つ.
$2N=l+m+n$が偶数のときに成り立つ積分
\begin{align}
\int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)P_n(x)\,dx&=\frac{\left(\frac 12\right)_{N-l}\left(\frac 12\right)_{N-m}\left(\frac 12\right)_{N-n}N!}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!\left(\frac 12\right)_{N+1}}
\end{align}
において, $l=2k, m=n$とすると,
\begin{align}
\int_{-1}^1P_{2k}(x)P_n(x)P_n(x)\,dx&=\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}\left(\frac 12\right)_k^2(n+k)!}{(n-k)!k!^2\left(\frac 12\right)_{n+k+1}}
\end{align}
$P_n(x)=(-1)^nP_n(x)$を用いて,
\begin{align}
\int_{-1}^1P_{2k}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx&=\frac{(-1)^n\left(\frac 12\right)_{n-k}\left(\frac 12\right)_k^2(n+k)!}{(n-k)!k!^2\left(\frac 12\right)_{n+k+1}}
\end{align}
を得る.
前の記事
で示したDougall展開
\begin{align}
P_{\mu}(x)&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\sum_{0\leq k}(-1)^k\left(\frac 1{\mu-k}-\frac 1{\mu+k+1}\right)P_k(x)
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\sum_{0\leq k}\left(\frac 1{\mu-2k}-\frac 1{\mu+2k+1}\right)\int_{-1}^1P_{2k}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\sum_{0\leq k}\left(\frac 1{\mu-2k}-\frac 1{\mu+2k+1}\right)\frac{(-1)^n\left(\frac 12\right)_{n-k}\left(\frac 12\right)_k^2(n+k)!}{(n-k)!k!^2\left(\frac 12\right)_{n+k+1}}\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\frac{(-1)^n}{\left(n+\frac 12\right)\mu(\mu+1)}\sum_{0\leq k}\frac{(4k+1)(-\mu)(\mu+1)}{(2k-\mu)(\mu+1+2k)}\frac{\left(\frac 12,\frac 12,n+1,-n\right)_k}{k!\left(1,\frac 12-n,\frac 32+n\right)_k}\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\frac{(-1)^n}{\left(n+\frac 12\right)\mu(\mu+1)}\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\mu}2,\frac{\mu+1}2,n+1,-n}{\frac 14,1,\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2,\frac 12-n,\frac 32+n}1
\end{align}
ここで, Dougallの${}_7F_6$和公式より,
\begin{align}
&\F76{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac{\mu}2,\frac{\mu+1}2,n+1,-n}{\frac 14,1,\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2,\frac 12-n,\frac 32+n}1\\
&=\frac{\left(\frac 32,\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2,\frac 12\right)_n}\\
&=\frac{(2n+1)\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
\end{align}
であるから(これは$\mu$に関する部分分数分解として示すこともできる),
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\sum_{0\leq k}\left(\frac 1{\mu-2k}-\frac 1{\mu+2k+1}\right)\int_{-1}^1P_{2k}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx\\
&=\frac{\sin\pi\mu}{\pi}\frac{(-1)^n}{\left(n+\frac 12\right)\mu(\mu+1)}\frac{(2n+1)\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
&=\frac{2\sin\pi\mu}{\pi}\frac{(-1)^n}{\mu(\mu+1)}\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}
\end{align}
を得る. さらに,
前の記事
で示したDougall展開の類似
\begin{align}
P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{\nu+n+1}\right)P_n(x)P_n(-x)
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx\\
&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{\nu+n+1}\right)\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\mu\sin\pi\nu}{\mu(\mu+1)}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{\nu+n+1}\right)\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\mu\sin\pi\nu}{\mu(\mu+1)}\left(\frac 1{\nu}\F43{1,\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}2,-\nu}{\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2,1-\nu}1-\frac 1{\nu+1}\F43{1,\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}2,\nu+1}{\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2,\nu+2}1\right)
\end{align}
となって1つ目の等式が示される. $m$を非負整数として, 上の2つ目の表示で$\mu\to 2m$とするとDougallの${}_5F_4$和公式を用いて,
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{2m}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\nu}{2m+1}\lim_{\mu\to 2m}\frac{\sin\pi\mu}{\mu}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{\nu+n+1}\right)\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\nu}{2m+1}\lim_{\mu\to 2m}\frac{\sin\pi\mu}{\mu}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\nu-n-m}-\frac 1{\nu+n+m+1}\right)\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_{n+m}}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_{n+m}}\\
&=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin\pi\nu}{2m+1}\lim_{\mu\to 2m}\frac{\sin\pi\mu}{\mu}\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}2\right)_m}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_m}\sum_{0\leq n}\frac{2n+2m+1}{(\nu-n-m)(\nu+n+m+1)}\frac{\left(2m+1,\frac 12\right)_n}{n!\left(2m+\frac 32\right)_n}\\
&=\frac{2\sin\pi\nu}{\pi}\frac{\left(1+m,\frac{1}2-m\right)_m}{\left(\frac{3}2+m,-m\right)_m}\frac 1{(\nu-m)(\nu+m+1)}\F54{2m+1,m+\frac 32,\frac 12,m-\nu,\nu+m+1}{m+\frac 12,2m+\frac 32,\nu+m+2,m-\nu+1}1\\
&=-\frac{2\sin\pi\nu}{\pi}\frac{\left(1+m,\frac 12\right)_m}{\left(\frac{3}2+m,1\right)_m}\frac{\Gamma\left(2m+\frac 32\right)\Gamma(\nu+m+1)\Gamma(m-\nu)\Gamma\left(\frac 12\right)}{\Gamma(2m+2)\Gamma\left(\nu+m+\frac32\right)\Gamma\left(\frac 12-\nu+m\right)}\\
&=\frac{2\cos\pi\nu}{2\nu+1}\frac{\left(\frac 12\right)_m^2}{m!^2}\frac{(\nu+1,-\nu)_m}{\left(\nu+\frac 32,\frac 12-\nu\right)_m}
\end{align}
を得る. よって, Dougall展開を用いて,
\begin{align}
&\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx\\
&=\frac{2}{\pi}\frac{\sin\pi\mu\cos\pi\nu}{2\nu+1}\sum_{0\leq m}\left(\frac 1{\mu-2m}-\frac 1{\mu+2m+1}\right)\frac{\left(\frac 12\right)_m^2}{m!^2}\frac{(\nu+1,-\nu)_m}{\left(\nu+\frac 32,\frac 12-\nu\right)_m}\\
&=\frac 2{\pi}\frac{\sin\pi\mu\cos\pi\nu}{2\nu+1}\left(\frac 1{\mu}\F54{\frac 12,\frac 12,-\frac{\mu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{2-\mu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1-\frac 1{\mu+1}\F54{\frac 12,\frac 12,\frac{1+\mu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{3+\mu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1\right)
\end{align}
となって2つ目の式が示される.
定理1の証明の過程で, 以下の2つの公式を示した.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx&=\frac{2\sin\pi\mu}{\pi}\frac{(-1)^n}{\mu(\mu+1)}\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
\int_{-1}^1P_{2n}(x)P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)\,dx&=\frac{2\cos\pi\nu}{2\nu+1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\frac{(\nu+1,-\nu)_n}{\left(\nu+\frac 32,\frac 12-\nu\right)_n}
\end{align}
が成り立つ.
この1つ目の式は
\begin{align}
\int_{-1}^1P_{\mu}(x)P_n(x)^2\,dx&=\frac{2\sin\pi\mu}{\pi}\frac{1}{\mu(\mu+1)}\frac{\left(\frac{\mu+2}2,\frac{1-\mu}{2}\right)_n}{\left(\frac{\mu+3}2,\frac{2-\mu}2\right)_n}\\
\end{align}
と書き換えることもできる.
特に, 2つ目の等式から以下のFourier-Legendre展開が得られる.
\begin{align} P_{\nu}(x)P_{\nu}(-x)&=\frac{\cos\pi\nu}{2\nu+1}\sum_{0\leq n}(4n+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\frac{(\nu+1,-\nu)_n}{\left(\nu+\frac 32,\frac 12-\nu\right)_n}P_{2n}(x) \end{align}
$\mu=\nu$の場合
定理1の$\mu=\nu$の場合に関して以下の驚くべき公式がZhouによって示されている.
\begin{align} \int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx&=\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)} \end{align}
Zhouの証明を少し簡略化したものである.
まず, ある定数$C$があって,
\begin{align}
|P_{\nu}(\cos\theta)|\leq Ce^{|\theta||\nu|}\qquad \nu=x+iy
\end{align}
とおさえられることが知られている. これはHilbの公式と呼ばれるものの系である. これを用いると, $|\theta|\leq \pi$に対して,
\begin{align}
|P_{\nu}(\cos\theta)^2P_{\nu}(-\cos\theta)|\leq C^3e^{2\pi|y|}\qquad \nu=x+iy
\end{align}
と評価できる. よって, 左辺はある定数$C_1>0$があって,
\begin{align}
\left|\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,d\theta\right|^2\leq C_1e^{2\pi |y|}\qquad \nu=x+iy
\end{align}
とおさえられる. 右辺はStirlingの公式を用いることで, ある定数$C_2>0$によって
\begin{align}
\left|\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\right|\leq C_2e^{2\pi|y|}\qquad \nu=x+iy
\end{align}
と評価できる. よって, 両辺の差を$\sin^2\pi\nu$で割ったものを
\begin{align}
f(\nu)=\frac 1{\sin^2\pi\nu}\left(\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx-\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\right)
\end{align}
とすると, ある定数$C_3>0$があって,
\begin{align}
\left|f(\nu)\right|\leq C_3
\end{align}
とおさえられる. つまり, $f(\nu)$は有界な$\CC$上の有理型関数である. 任意の整数$n$に対して, $\nu\to n$において
\begin{align}
\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx-\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}=O((\nu-n)^2)
\end{align}
であることを示す. それには
\begin{align}
&\left.\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx\right|_{\nu=n}=\left.\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\right|_{\nu=n}\\
&\left.\frac{\partial}{\partial \nu}\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx\right|_{\nu=n}=\left.\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\right|_{\nu=n}\\
\end{align}
を示せばよい. 1つ目の式は
\begin{align}
\int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)P_n(x)\,dx&=\frac{\left(\frac 12\right)_{N-l}\left(\frac 12\right)_{N-m}\left(\frac 12\right)_{N-n}N!}{(N-l)!(N-m)!(N-n)!\left(\frac 12\right)_{N+1}}\qquad N=l+m+n
\end{align}
において$l=m=n$とすれば従う. 2つ目の式は
\begin{align}
&\left.\frac{\partial}{\partial \nu}\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx\right|_{\nu=n}\\
&=2\int_{-1}^1\left.\frac{\partial}{\partial \nu}P_{\nu}(x)\right|_{\nu=n}P_n(x)P_n(-x)\,dx+\int_{-1}^1\left.\frac{\partial}{\partial \nu}P_{\nu}(-x)\right|_{\nu=n}P_n(x)^2\,dx\\
&=(2+(-1)^n)\frac{\partial}{\partial \nu}\int_{-1}^1P_{\nu}(x)P_n(x)P_n(-x)\,dx
\end{align}
であるから系1を用いることによって示される. これより, $f(\nu)$は有界な整関数となり, Liouvilleの定理より$f$は定数である. 最後に$\nu$が実数のとき, $\nu\to\infty$に関して,
\begin{align}
|P_{\nu}(x)|=O(\nu^{-\frac 12})
\end{align}
とおさえられることが示されるから, $\nu=n+\frac 12$として$n\to\infty$とすると, Stirlingの公式も用いれば,
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}f\left(n+\frac 12\right)&=\lim_{n\to\infty}\left.\left(\int_{-1}^1P_{\nu}(x)^2P_{\nu}(-x)\,dx-\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\right)\right|_{\nu=n+\frac 12}\\
&=0
\end{align}
となるから, $f$は恒等的に$0$であることが示された.
定理1と合わせると, 以下の系を得る.
\begin{align} &\frac{1+2\cos\pi\nu}{3}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{\nu+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3\nu+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)^2\Gamma\left(\frac{\nu+2}2\right)^3\Gamma\left(\frac{3\nu+3}2\right)}\\ &=\frac{2}{\pi^2}\frac{\sin^2\pi\nu}{\nu(\nu+1)}\left(\frac 1\nu\F43{1,\frac{1-\nu}2,\frac{\nu+2}2,-\nu}{\frac{2-\nu}2,\frac{\nu+3}2,1-\nu}1-\frac 1{\nu+1}\F43{1,\frac{1-\nu}2,\frac{\nu+2}2,\nu+1}{\frac{2-\nu}2,\frac{\nu+3}2,\nu+2}1\right)\\ &=\frac 1{\pi}\frac{\sin 2\pi\nu}{2\nu+1}\left(\frac 1{\nu}\F54{\frac 12,\frac 12,-\frac{\nu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{2-\nu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1-\frac 1{\nu+1}\F54{\frac 12,\frac 12,\frac{1+\nu}2,-\nu,1+\nu}{1,\frac{3+\nu}2,\frac 12-\nu,\frac 32+\nu}1\right) \end{align}
驚くべきことに, これは超幾何級数の和公式としても新しい公式を与えていると思われる. 2つ目の式において, 特に$\nu\to-\frac 12$とすると
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}(4n+1)}&=\frac{\pi^3}{6\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align}
を得る. これは
前の記事
でも証明を与えたものであるが, このような超幾何級数の和公式に拡張されるのは興味深いと思う.
3つの楕円積分の積の積分
定理2において$\nu=-\frac 12$とすると第一種完全楕円積分を
\begin{align}
K(x)&:=\frac{\pi}2\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{x^2}\\
K'(x)&:=K(\sqrt{1-x^2})
\end{align}
として,
\begin{align}
\int_0^1xK(x)^2K'(x)\,dx&=\frac{\pi^6}{48\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align}
を得ることができる. これは
らららさんの記事
でも示されているものである.
