集合系 ⑥

いずれ取り上げる「順序集合」における最小元の定義に従うと、$\bigcup\mathcal{F}$ が$$\mathcal{S}:=\{B\subseteq X\mid \forall A\in\mathcal{F}\ (A\subseteq B)\}$$の中で最小であるとは、次の $2$ 条件が成り立つことを意味する。
$$ \begin{align} &(1)\quad \bigcup\mathcal{F}\in\mathcal{S}\\ &(2)\quad \text{任意の}\ B\in\mathcal{S}\ \text{に対して}\ \bigcup\mathcal{F}\subseteq B \end{align} $$
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つまり、$\bigcup\mathcal{F}$ が $\mathcal{S}$ の最小元であるとは、まず $\bigcup\mathcal{F}$ 自身が $\mathcal{S}$ の元であり、
しかも $\mathcal{S}$ に属する任意の集合 $B$ に対して $\bigcup\mathcal{F}\subseteq B$ が成り立つこと、
すなわち $\mathcal{S}$ の中のどの集合の部分集合にもなっている(最も小さい集合である)ことを意味する。
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1. ここで、和集合の定義を振り返ると。
   $$ \bigcup\mathcal{F}=\{x\in X\mid \exists A\in\mathcal{F}\ (x\in A)\} $$
   であった。これは「$\bigcup\mathcal{F}$ は、$x\in X$ であって、さらに $\exists A\in\mathcal{F}\ (x\in A)$ を満たすような $x$ 全体の集合」
   という意味である。したがって、$\bigcup\mathcal{F}$ の元は、定義の最初から必ず $X$ の元に限られている。
   つまり、任意の $x$ について
   $$ x\in\bigcup\mathcal{F}\ \Rightarrow\ x\in X $$
   が成り立ち、これはそのまま部分集合の定義より
   $$ \bigcup\mathcal{F}\subseteq X\cdots① $$
   が成り立つ。また、既に示したように、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して
   $$ A\subseteq\bigcup\mathcal{F}\cdots➁ $$
   が成り立つ( 証明はこちら )。したがって、①と➁より
   $$ \bigcup\mathcal{F}\in\mathcal{S} $$
   である。
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2. また、本命題より $\mathcal{F}$ に属する全ての集合を含む任意の $X$ の部分集合 $B$ に対して
   $$ \bigcup\mathcal{F}\subseteq B $$
   が成り立つ。
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-したがって、$\bigcup\mathcal{F}$ は、$\mathcal{F}$ に属する全ての集合を含む $X$ の部分集合のうち、包含関係に関して最小のものである。

いずれ取り上げる「順序集合」における最大元の定義に従うと、$\bigcap\mathcal{F}$ が
$$ \mathcal{T}:=\{B\subseteq X\mid \forall A\in\mathcal{F}\ (B\subseteq A)\} $$
の中で最大であるとは、次の $2$ 条件が成り立つことを意味する。
$$ \begin{align} &(1)\quad \bigcap\mathcal{F}\in\mathcal{T}\\ &(2)\quad \text{任意の}\ B\in\mathcal{T}\ \text{に対して}\ B\subseteq\bigcap\mathcal{F} \end{align} $$
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つまり、$\bigcap\mathcal{F}$ が $\mathcal{T}$ の最大元であるとは、まず $\bigcap\mathcal{F}$ 自身が $\mathcal{T}$ の元であり、
しかも $\mathcal{T}$ に属する任意の集合 $B$ に対して $B\subseteq\bigcap\mathcal{F}$ が成り立つこと、
すなわち $\mathcal{T}$ の中のどの集合をも部分集合として含んでいる(最も大きい集合である)ことを意味する。
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1. ここで、共通部分の定義を振り返ると
   $$ \bigcap\mathcal{F}=\{x\in X\mid \forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A)\} $$
   であった。これは「$\bigcap\mathcal{F}$ は、$x\in X$ であって、さらに $\forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A)$ を満たすような $x$ 全体の集合」という意味である。したがって、$\bigcap\mathcal{F}$ の元は、定義の最初から必ず $X$ の元に限られている。
   つまり、任意の $x$ について
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F}\ \Rightarrow\ x\in X $$
   が成り立ち、これはそのまま部分集合の定義より
   $$ \bigcap\mathcal{F}\subseteq X\cdots① $$
   が成り立つ。
   また、既に示したように、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して
   $$ \bigcap\mathcal{F}\subseteq A\cdots② $$
   が成り立つ( 証明はこちら )。したがって、①と②より
   $$ \bigcap\mathcal{F}\in\mathcal{T} $$
   である。
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2. また、本命題より、$\mathcal{F}$ に属する全ての集合に含まれる任意の $X$ の部分集合 $B$ に対して
   $$ B\subseteq\bigcap\mathcal{F} $$
   が成り立つ。
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-したがって、$\bigcap\mathcal{F}$ は、$\mathcal{F}$ に属する全ての集合に含まれる $X$ の部分集合のうち、包含関係に関して最大のものである。