有理化するとうれしいこと（2次体の紹介）

本記事は 「日曜数学 Advent Calendar 2023」 の参加記事です。

私の記事は「ねこが書いたのか？」と思うほど、かなりお気楽な内容なんですが、アドベントカレンダーには力作が揃っていますので、ぜひご覧ください。

有理化すると、有利か！？

中学や高校で有理化を習いますよね。
$$ \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\times\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1 $$

といった計算をしますが、指示されるまま、機械的に行っている人が少なくないと思います。

私自身も、最初に習ったときは、あまり意味もわからず行っていた計算でしたが、代数学の知識を得ることにより、一気に見え方が変わりました。

今回は、そんな有理化の話からスタートしつつ、2次体というものを少しだけ紹介していきたいです。途中までは、高校数学の知識で（ある程度）読めるよう、書いていこうと思います。

本記事の内容は代数学の基本的なお話ではありますが、作図不能問題やガロア理論などにもつながっていくので、少しでも興味を持って頂けたら、とてもうれしいです。

閉じている・閉じていない

中高の数学を勉強しているとき、なかなか意識しないと思うことの一つに「（ある集合がある二項演算に関して）閉じているか？閉じていないか？を考える」という点があります。

厳密な話を省略しながら、ざっくりと紹介します。

まず、$\mathbb{Z}$を例として考えてみましょう。

任意の整数$a,b$に対して

$$ a+b \in \mathbb{Z},\ a-b \in \mathbb{Z},\ a\cdot b \in \mathbb{Z} $$

が成立しています。しかし、除法に関しては

$$ 1\div 2 \not\in \mathbb{Z} $$

となっており、演算の結果が必ずしも$\mathbb{Z}$に属するとは限りません。

こういった状況を「$\mathbb{Z}$は加法・減法・乗法に関して閉じているが、除法に関して閉じていない」といった表現をします。

一方で、$\mathbb{Q},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C}$は、加法・減法・乗法・除法に関して閉じています。

加法、（加法の逆演算である）減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす代数系で、環と呼ばれるものがあります。

本記事では、環の定義の記載を省略しますが、詳しくは以下を参考にしてみてください。

※参考： 環の定義とその具体例（高校数学の美しい物語）

やや抽象的なので、難しく感じる場合、いったんは、「環は、加法、減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす」と、とらえて、本記事を読みすすめてみると良いと思います（ただし、このとらえ方は、不正確だと思うので、本記事内に限るものとし、その他の文献を読む場合は、きちんと勉強をすることをおすすめします）。

集合$R$が環であり、任意の$a,b \in R$に対して、$a\cdot b=b\cdot a$を満たすとき、$R$は可換環であるといいます。

また、以下を満たすような可換環$K$は体と呼ばれています。

このような$b$は、$a$の乗法逆元と呼ばれ

$$b=a^{-1}$$

と表します。

$K$は環であることから、乗法に関して閉じているので、任意の$a,b(\not=0)\in K$に対して

$$ a\cdot b^{-1} \in K $$

が成り立ちます。

このように考えると、体は加法、減法、乗法、除法に関して閉じているといえます。

具体例を挙げると、$\mathbb{Z}$は可換環であり、$\mathbb{Q},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C}$は体です。

中高の数学では、実数や複素数を前提にして考えていることが多く、四則演算が問題なくできるため、「除法に関して閉じているか？」といったことを、あまり気にせずに話を進めていることが多いのかもしれません。

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$と$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

$\mathbb{Q}[X]$を有理数係数多項式全体の集合とします。

有理数係数多項式とは、$n$を$0$以上の整数として

$$ a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n \quad (a_0,a_1,a_2\cdots,a_{n-1},a_n \in \mathbb{Q}) $$

といった形の式で書けるもののことを言います。

ここで、$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$と$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$を以下のように定義します。

$$ \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{f(\sqrt{2})\ |\ f(X) \in \mathbb{Q}[X]\} $$
$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\Biggl\{\frac{f(\sqrt{2})}{g(\sqrt{2})}\ \Bigg|\ f(X),g(X) \in \mathbb{Q}[X],\ g(\sqrt{2})\not = 0\Biggr\} $$

例えば

$$ \frac{3}{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{5}{4}(\sqrt{2})^2+\frac{6}{5}(\sqrt{2})^3 \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] $$

$$ \frac{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{5}{4}(\sqrt{2})^2+\frac{6}{5}(\sqrt{2})^3 }{\frac{8}{7}+\frac{9}{8}\sqrt{2}+\frac{10}{9}(\sqrt{2})^3+\frac{11}{10}(\sqrt{2})^5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $$

となっています。

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \ni f(\sqrt{2})=\frac{f(\sqrt{2})}{1}$と考えれば

$$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$$

であることがわかります。

また、$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$と$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$の関係性は、$\mathbb{Z}$と$\mathbb{Q}$の関係性に似ています。

$$ \mathbb{Q}=\Biggl\{\frac{a}{b}\ \Bigg|\ a,b\in \mathbb{Z},\ b\not=0\Biggr\} $$

と書くと、似ていると感じられると思います。

以上より、$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$で、$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$は可換環であり、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$は体であることがわかりました。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$は$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$の商体と呼ばれるものです。ちなみに、$\mathbb{Q}$は$\mathbb{Z}$の商体です。

※詳細は以下を参考にしてください：
【商体への招待】整域から「分数」をつくる

このように見ていくと、$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$と$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$はかなり違ったもののように見えますが、実は以下が成り立ちます。そして、ここで有理化が良い仕事をしてくれます。

「環だと思っていたものが、実は体だった」ということが、有理化によって示せました。

今回は$\mathbb{Q}[\sqrt{2}],\ \mathbb{Q}(\sqrt{2})$をテーマとしましたが、$\mathbb{Q}[\sqrt{3}],\ \mathbb{Q}(\sqrt{3})$や$\mathbb{Q}[i],\ \mathbb{Q}(i)$などでも、同様のことができます。

また、$\mathbb{R}[i],\ \mathbb{R}(i)$についても、同様にして

$$ \mathbb{R}[i]=\mathbb{R}(i) $$

を示すことができます。

$$ \mathbb{R}[i]=\{a+bi\ |\ a,b\in \mathbb{R} \} $$

なので、$\mathbb{R}[i]$は$\mathbb{C}$であり、$\mathbb{C}$が体であることを、改めて実感できます。

2次体$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

ここからは、線形代数の知識を使います。

※必要な知識は以下を参考にしてください：
ベクトル空間と次元（高校数学の美しい物語）

このことから、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$は$2$次体と呼ばれています。

また、同様にして、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$や$\mathbb{Q}(i)$なども、$\mathbb{Q}$上の$2$次元ベクトル空間であることが示せます。

剰余環との対応

ここからは、剰余環や準同型定理などの知識を使います。

同様にして

$$ \mathbb{Q}[X]/(X^2-3)\cong\mathbb{Q}(\sqrt{3}) $$

$$ \mathbb{Q}[X]/(X^2+1)\cong\mathbb{Q}(i) $$

なども示せます。

個人的な感想ですが、同型の左側だけ見ると、剰余環ではあるものの、有理数と不定元$X$しか出てこないのですが、右側を見ると、$\sqrt{2},\sqrt{3}$や$i$が出てくるのが面白いと思っています。

また

$$ \mathbb{R}[X]/(X^2+1)\cong\mathbb{R}(i) $$

も示すことができます。

$\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$であり、これが複素数の構成の一つとして知られています。

多項式環や剰余環は、Juliaというプログラミング言語のAbstractAlgebra.jlというパッケージを使って簡単に実装できるので、ぜひ遊んでみてください。$\mathbb{Q}[X]/(X^2-2)$などの手触りを感じられるかもしれません。

※参考：
【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ② ～剰余環を使って√2やiをつくろう～

【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ③ ～-1の平方根をたくさんつくろう～

さいごに

2次体は、比較的性質が調べやすいので、あれこれ探求しやすく、楽しいです。

私事ですが、今年はとても忙しく、数学をする機会はほとんどありませんでした。素朴な内容ではありますが、2023年の最後に、少しだけ数学に触れることでき、よかったです。