本記事は 「日曜数学 Advent Calendar 2023」 の参加記事です。
私の記事は「ねこが書いたのか?」と思うほど、かなりお気楽な内容なんですが、アドベントカレンダーには力作が揃っていますので、ぜひご覧ください。
中学や高校で有理化を習いますよね。
といった計算をしますが、指示されるまま、機械的に行っている人が少なくないと思います。
私自身も、最初に習ったときは、あまり意味もわからず行っていた計算でしたが、代数学の知識を得ることにより、一気に見え方が変わりました。
今回は、そんな有理化の話からスタートしつつ、2次体というものを少しだけ紹介していきたいです。途中までは、高校数学の知識で(ある程度)読めるよう、書いていこうと思います。
本記事の内容は代数学の基本的なお話ではありますが、作図不能問題やガロア理論などにもつながっていくので、少しでも興味を持って頂けたら、とてもうれしいです。
中高の数学を勉強しているとき、なかなか意識しないと思うことの一つに「(ある集合がある二項演算に関して)閉じているか?閉じていないか?を考える」という点があります。
厳密な話を省略しながら、ざっくりと紹介します。
まず、
任意の整数
が成立しています。しかし、除法に関しては
となっており、演算の結果が必ずしも
こういった状況を「
一方で、
加法、(加法の逆演算である)減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす代数系で、環と呼ばれるものがあります。
本記事では、環の定義の記載を省略しますが、詳しくは以下を参考にしてみてください。
やや抽象的なので、難しく感じる場合、いったんは、「環は、加法、減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす」と、とらえて、本記事を読みすすめてみると良いと思います(ただし、このとらえ方は、不正確だと思うので、本記事内に限るものとし、その他の文献を読む場合は、きちんと勉強をすることをおすすめします)。
集合
また、以下を満たすような可換環
このような
と表します。
が成り立ちます。
このように考えると、体は加法、減法、乗法、除法に関して閉じているといえます。
具体例を挙げると、
中高の数学では、実数や複素数を前提にして考えていることが多く、四則演算が問題なくできるため、「除法に関して閉じているか?」といったことを、あまり気にせずに話を進めていることが多いのかもしれません。
有理数係数多項式とは、
といった形の式で書けるもののことを言います。
ここで、
例えば
となっています。
であることがわかります。
また、
と書くと、似ていると感じられると思います。
とする。
任意の有理数
である。
よって、
したがって、
任意の
を満たす
と表せる。
よって
となるので、
以上より、
※先の命題とほぼ同様に示せるので、省略。
について
より、
について
より、
※証明は省略。
※
に対して
が成り立つ。
したがって
であることから、
以上より、
※詳細は以下を参考にしてください:
【商体への招待】整域から「分数」をつくる
このように見ていくと、
に対して
が成り立つので
である。
よって
であることがわかった。
したがって
が成り立つ。
※
「環だと思っていたものが、実は体だった」ということが、有理化によって示せました。
今回は
また、
を示すことができます。
なので、
ここからは、線形代数の知識を使います。
※必要な知識は以下を参考にしてください:
ベクトル空間と次元(高校数学の美しい物語)
※
と表せる。
また、
とすると
が成り立つ。
となるが、
したがって
を満たすような、
よって、
ゆえに、
以上より、
このことから、
また、同様にして、
ここからは、剰余環や準同型定理などの知識を使います。
として、写像
任意の有理数
であることから
である。
※
以下
を示す。
このとき
を満たす
と表せる。
であることと、
であることがわかる。
したがって
であり、
したがって
が示された。
準同型定理より
より
が成り立つ。
以前書いた「
参考:
代入写像が準同型であること
また、命題1の証明における
同様にして
なども示せます。
個人的な感想ですが、同型の左側だけ見ると、剰余環ではあるものの、有理数と不定元
また
も示すことができます。
多項式環や剰余環は、Juliaというプログラミング言語のAbstractAlgebra.jlというパッケージを使って簡単に実装できるので、ぜひ遊んでみてください。
※参考:
【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ② ~剰余環を使って√2やiをつくろう~
【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ③ ~-1の平方根をたくさんつくろう~
2次体は、比較的性質が調べやすいので、あれこれ探求しやすく、楽しいです。
私事ですが、今年はとても忙しく、数学をする機会はほとんどありませんでした。素朴な内容ではありますが、2023年の最後に、少しだけ数学に触れることでき、よかったです。