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大学数学基礎解説
文献あり

有理化するとうれしいこと(2次体の紹介)

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本記事は 「日曜数学 Advent Calendar 2023」 の参加記事です。

私の記事は「ねこが書いたのか?」と思うほど、かなりお気楽な内容なんですが、アドベントカレンダーには力作が揃っていますので、ぜひご覧ください。

有理化すると、有利か!?

中学や高校で有理化を習いますよね。
121=121×2+12+1=2+121=2+1

といった計算をしますが、指示されるまま、機械的に行っている人が少なくないと思います。

私自身も、最初に習ったときは、あまり意味もわからず行っていた計算でしたが、代数学の知識を得ることにより、一気に見え方が変わりました。

今回は、そんな有理化の話からスタートしつつ、2次体というものを少しだけ紹介していきたいです。途中までは、高校数学の知識で(ある程度)読めるよう、書いていこうと思います。

本記事の内容は代数学の基本的なお話ではありますが、作図不能問題やガロア理論などにもつながっていくので、少しでも興味を持って頂けたら、とてもうれしいです。

閉じている・閉じていない

中高の数学を勉強しているとき、なかなか意識しないと思うことの一つに「(ある集合がある二項演算に関して)閉じているか?閉じていないか?を考える」という点があります。

厳密な話を省略しながら、ざっくりと紹介します。

まず、Zを例として考えてみましょう。

任意の整数a,bに対して

a+bZ, abZ, abZ

が成立しています。しかし、除法に関しては

12Z

となっており、演算の結果が必ずしもZに属するとは限りません。

こういった状況を「Zは加法・減法・乗法に関して閉じているが、除法に関して閉じていない」といった表現をします。

一方で、Q, R, Cは、加法・減法・乗法・除法に関して閉じています。

加法、(加法の逆演算である)減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす代数系で、環と呼ばれるものがあります。

本記事では、環の定義の記載を省略しますが、詳しくは以下を参考にしてみてください。

※参考: 環の定義とその具体例(高校数学の美しい物語)

やや抽象的なので、難しく感じる場合、いったんは、「環は、加法、減法、乗法に関して閉じていて、その他、いくつかの条件を満たす」と、とらえて、本記事を読みすすめてみると良いと思います(ただし、このとらえ方は、不正確だと思うので、本記事内に限るものとし、その他の文献を読む場合は、きちんと勉強をすることをおすすめします)。

集合Rが環であり、任意のa,bRに対して、ab=baを満たすとき、Rは可換環であるといいます。

また、以下を満たすような可換環Kは体と呼ばれています。

Kに属する0でない任意の元aに対し、ab=1を満たすようなbが存在する。

このようなbは、aの乗法逆元と呼ばれ

b=a1

と表します。

Kは環であることから、乗法に関して閉じているので、任意のa,b(0)Kに対して

ab1K

が成り立ちます。

このように考えると、体は加法、減法、乗法、除法に関して閉じているといえます。

具体例を挙げると、Zは可換環であり、Q, R, Cは体です。

中高の数学では、実数や複素数を前提にして考えていることが多く、四則演算が問題なくできるため、「除法に関して閉じているか?」といったことを、あまり気にせずに話を進めていることが多いのかもしれません。

Q[2]Q(2)

Q[X]を有理数係数多項式全体の集合とします。

有理数係数多項式とは、n0以上の整数として

a0+a1X+a2X2++an1Xn1+anXn(a0,a1,a2,an1,anQ)

といった形の式で書けるもののことを言います。

ここで、Q[2]Q(2)を以下のように定義します。

Q[2]={f(2) | f(X)Q[X]}
Q(2)={f(2)g(2) | f(X),g(X)Q[X], g(2)0}

例えば

32+432+54(2)2+65(2)3Q[2]

32+432+54(2)2+65(2)387+982+109(2)3+1110(2)5Q(2)

となっています。

Q[2]f(2)=f(2)1と考えれば

Q[2]Q(2)

であることがわかります。

また、Q[2]Q(2)の関係性は、ZQの関係性に似ています。

Q={ab | a,bZ, b0}

と書くと、似ていると感じられると思います。

Q[2]={a+b2 | a,bQ}

R={a+b2 | a,bQ}
とする。

任意の有理数a,bに対して、a+bXQ[X]なので、Q[2]の定義より

a+b2Q[2]

である。

よって、RQ[2]である。

したがって、RQ[2]を示せばよい。

任意のf(X)Q[X]について

f(X)=(X22)q(X)+r(X)

を満たすq(X),r(X)Q[X]が存在する。ただし、r(X)の次数は0次または1次であり

r(X)=a+bX(a,bQ)

と表せる。

よって
f(2)=r(2)=a+b2

となるので、f(2)Rであることが示された。

以上より、R=Q[2]である。

Q(2)={a+b2c+d2 | a,b,c,dQ, c+d20}

※先の命題とほぼ同様に示せるので、省略。

Q[2]は、加法、減法、乗法に関して閉じている。

Q[2]a+b2, c+d2(a,b,c,dQ)
について
(a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2Q[2]
(a+b2)(c+d2)=(ac)+(bd)2Q[2]
(a+b2)(c+d2)=(ac+2bd)+(bc+ad)2Q[2]

より、Q[2]は加法、減法、乗法で閉じていることがわかる。

Q(2)は、加法、減法、乗法に関して閉じている。

Q(2)a+b2c+d2, p+q2r+s2(a,b,c,d,p,q,r,sQ, c+d20, r+s20)

について

(a+b2c+d2)+(p+q2r+s2)=(ar+2bs+cp+2dq)+(as+br+cq+dp)2(cr+2ds)+(cs+dr)2Q(2)

(a+b2c+d2)(p+q2r+s2)=(ar+2bscp2dq)+(as+brcqdp)2(cr+2ds)+(cs+dr)2Q(2)

(a+b2c+d2)(p+q2r+s2)=(ap+2bq)+(aq+bp)2(cr+2ds)+(cs+dr)2Q(2)

より、Q(2)は、加法、減法、乗法に関して閉じている。

Q[2]は可換環である。

※証明は省略。

Q(2)は体である。

Q(2)が可換環であることの証明は省略。

Q(2)a+b2c+d2(a,b,c,dQ, a+b20, c+d20)

に対して

(a+b2c+d2)(c+d2a+b2)=1

が成り立つ。

したがって

(a+b2c+d2)1Q(2)

であることから、Q(2)は体である。

以上より、Q[2]Q(2)で、Q[2]は可換環であり、Q(2)は体であることがわかりました。

Q(2)Q[2]の商体と呼ばれるものです。ちなみに、QZの商体です。

※詳細は以下を参考にしてください:
【商体への招待】整域から「分数」をつくる

このように見ていくと、Q[2]Q(2)はかなり違ったもののように見えますが、実は以下が成り立ちます。そして、ここで有理化が良い仕事をしてくれます。

Q[2]=Q(2)

Q[2]Q(2)であることは、すでに示しているので、Q[2]Q(2)を示せばよい。

Q(2)a+b2c+d2(a,b,c,dQ, c+d20)

に対して

a+b2c+d2=(a+b2c+d2)(cd2cd2)=ac2bdc22d2+bcadc22d22

が成り立つので

a+b2c+d2Q[2]

である。

よって

Q[2]Q(2)

であることがわかった。

したがって

Q[2]=Q(2)

が成り立つ。

c+d20より、cd20を示すことができます。1,2Q上1次独立であることは、後で述べています。

「環だと思っていたものが、実は体だった」ということが、有理化によって示せました。

今回はQ[2], Q(2)をテーマとしましたが、Q[3], Q(3)Q[i], Q(i)などでも、同様のことができます。

また、R[i], R(i)についても、同様にして

R[i]=R(i)

を示すことができます。

R[i]={a+bi | a,bR}

なので、R[i]Cであり、Cが体であることを、改めて実感できます。

2次体Q(2)

ここからは、線形代数の知識を使います。

※必要な知識は以下を参考にしてください:
ベクトル空間と次元(高校数学の美しい物語)

Q(2)Q上の2次元ベクトル空間である。

Q上のベクトル空間であることの証明は省略。

Q(2)=Q[2]より、Q(2)の任意の元は

a+b2(a,bQ)

と表せる。

また、c,dQとして

c+d2=0

とすると

d2=c

が成り立つ。

d=0ならば、c=0である。

d0であると仮定すると

2=cd

となるが、2が有理数ではないことに矛盾する。

したがって

c+d2=0

を満たすような、c,dQc=d=0に限られる。

よって、1,2Q上1次独立であることがわかる。

ゆえに、{1,2}Q(2)の基底である。

以上より、Q(2)Q上の2次元ベクトル空間であることが示された。

このことから、Q(2)2次体と呼ばれています。

また、同様にして、Q(3)Q(i)なども、Q上の2次元ベクトル空間であることが示せます。

剰余環との対応

ここからは、剰余環や準同型定理などの知識を使います。

Q[X]/(X22)Q(2)

Q[X]は可換環である(※証明は省略)。

Q[X]f(X)に対して

ϕ(f(X))=f(2)

として、写像ϕ:Q[X]Q(2)を定める。

任意の有理数a,bに対して

ϕ(a+bX)=a+b2

であることから

Imϕ=Q(2)

である。

ϕが環準同型写像であることの証明については、後述。

以下

Kerϕ=(X22)

を示す。

(X22)Kerϕは明らか。

(X22)Kerϕを示す。

f(2)=0(f(X)Q(X))とする。

このとき

f(X)=(X22)q(X)+r(X)

を満たすq(X),r(X)Q[X]が存在する。ただし、r(X)の次数は0次または1次であり

r(X)=a+bX(a,bQ)

と表せる。

f(2)=r(2)=a+b2=0

であることと、1,2Q上1次独立であることにより

a=b=0

であることがわかる。

したがって

f(X)=(X22)q(X)(X22)

であり、(X22)Kerϕである。

したがって

Kerϕ=(X22)

が示された。

準同型定理より

Q[X]/KerϕImϕ

より

Q[X]/(X22)Q(2)

が成り立つ。

ϕが準同型写像であること

以前書いた「ϕが準同型写像であること」の証明は、私の不勉強で、不正確でした。コメントにて、以下の記事が参考になると教えて頂きました。(かなり先になってしまうと思いますが、)多項式環について、勉強しようと思います。

参考:
代入写像が準同型であること

また、命題1の証明におけるf(2)=r(2)においても、暗に、ϕが準同型写像であることが使用されています。

同様にして

Q[X]/(X23)Q(3)

Q[X]/(X2+1)Q(i)

なども示せます。

個人的な感想ですが、同型の左側だけ見ると、剰余環ではあるものの、有理数と不定元Xしか出てこないのですが、右側を見ると、2,3iが出てくるのが面白いと思っています。

また

R[X]/(X2+1)R(i)

も示すことができます。

R(i)=Cであり、これが複素数の構成の一つとして知られています。

多項式環や剰余環は、Juliaというプログラミング言語のAbstractAlgebra.jlというパッケージを使って簡単に実装できるので、ぜひ遊んでみてください。Q[X]/(X22)などの手触りを感じられるかもしれません。

※参考:
【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ② ~剰余環を使って√2やiをつくろう~

【AbstractAlgebra.jl】Juliaで代数学をやってみたいんじゃ③ ~-1の平方根をたくさんつくろう~

さいごに

2次体は、比較的性質が調べやすいので、あれこれ探求しやすく、楽しいです。

私事ですが、今年はとても忙しく、数学をする機会はほとんどありませんでした。素朴な内容ではありますが、2023年の最後に、少しだけ数学に触れることでき、よかったです。

参考文献

投稿日:20231212
更新日:20231214
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みぽ
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今日もねこがかわいい。

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  1. 有理化すると、有利か!?
  2. 閉じている・閉じていない
  3. Q[2]Q(2)
  4. 2次体Q(2)
  5. 剰余環との対応
  6. さいごに
  7. 参考文献