多重ゼータ値 多変数×1変数の調和積、ζ(1,n)
定義
| $\delta_{a,b}$ | クロネッカーのデルタ |
| $\zeta(\bm s)$ | 多重ゼータ値 |
| $\zeta^\star(\bm s)$ | 多重ゼータスター値 |
$\bm s:1\to m \Defarrow \bm s \coloneqq
(s_1,\range s2m)$
$a\vbin<\bm x_{[1\to m]} \Defarrow a< x_1< x_2<\cdots< x_m$\mathbin{{#1}\!\llap|\ }で表示できる。
$\displaystyle \prod_{1\to m} \bm n^{-\bm s} \coloneqq
\prod_{k=1}^m n_k^{-s_k}$
定理
$\bm f:1\to m$
$\beginend{alignat}{3
&G(\bm f) &\acoloneqq
\sum_{-1\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n)\\
&G^\star(\bm f) &\acoloneqq
\sum_{0\vbin\le\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n)
}$
$\beginend{alignat}{3
&G(\bm f)G(g) &&=
\sum_{k=0}^m G{\qty(\bm f_{[\to k]},g,\bm f_{[k+1\to]})} &&+
\sum_{k=1}^m G{\qty(\bm f g^{\bm\delta_k})} \\
&G^\star(\bm f)G^\star(g) &&=
\sum_{k=0}^m G^\star{\qty(\bm f_{[\to k]},g,\bm f_{[k+1\to]})} &&-
\sum_{k=1}^m G^\star{\qty(\bm f g^{\bm\delta_k})}
}$
1行目
$\displaystyle \sahen =
\qty(\sum_{-1\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f{(\bm n)})
{\qty(\sum_{0\le l} g{(l)})}$
$a< n_1<\Range n2m<$
に$l(>a)$を挿入するパターンを被り無く網羅すると以下の様になる。
$\beginend{array}{c
a<{\color{red}l}< n_1<\Range n2m< \\
a<{\color{red}l}=n_1<\Range n2m< \\
a< n_1<{\color{red}l}<\Range n2m< \\
a< n_1<{\color{red}l}=\Range n2m< \\
\vdots \\
a< n_1< n_2<\cdots<{\color{red}l}=n_m \\
a< n_1<\Range n2m<<{\color{red}l}
}$
これらの内$=$を含まない方が$\uhen$の第1項、含む方が第2項に対応する。
2行目
上記の議論で$<$を$\le$に置き換えて考える。
$=$を含むパターンは不足ではなくむしろ過剰である為、
第2項の符号は負になる。
$\bm s:1\to m$
$\beginend{alignat}{4
&\zeta(\bm s)\zeta(t) &&=
\sum_{k=0}^m \zeta{\qty(\bm s_{[\to k]},t,\bm s_{[k+1\to]})} &&+
\sum_{k=1}^m \zeta{\qty(\bm s+\bm\delta_kt)} \\
&\zeta^\star(\bm s)\zeta(t) &&=
\sum_{k=0}^m \zeta^\star{\qty(\bm s_{[\to k]},t,\bm s_{[k+1\to]})} &&-
\sum_{k=1}^m \zeta^\star{\qty(\bm s+\bm\delta_kt)}
}$
補題1に$\bm f(n) = (n+1)^{-\bm s}, g(n) = (n+1)^{-t}$を代入する。
系
$\beginend{align}{ S_m(s,t) \acoloneqq \sum_{k=0}^m \zeta{\qty(\{s\}^k,t,\{s\}^{m-k})} \\ S^\star_m(s,t) \acoloneqq \sum_{k=0}^m \zeta^\star{\qty(\{s\}^k,t,\{s\}^{m-k})} }$
$\beginend{alignat}{2 &S_m(s,t) = \zeta{\qty(\{s\}^m)}\zeta(t) &&- S_{m-1}(s,s+t) \\ &S^\star_m(s,t) = \zeta^\star{\qty(\{s\}^m)}\zeta(t) &&+ S^\star_{m-1}(s,s+t) }$
$\zeta{\qty(\{s\}^m)}=\frac{S_{m-1}(s,s)}m, \zeta^\star{\qty(\{s\}^m)}=\frac{S^\star_{m-1}(s,s)}m $を使えば$\zeta{\qty(\{s\}^m)},\zeta^\star{\qty(\{s\}^m)}$の一般項が 得られます 。
$s\in\Z_{\ge2}$
$\beginend{alignat}{2
&\zeta(1,s) &&= \frac s2\zeta(s+1) &-
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k) \\
&\zeta^\star(1,s) &&= \lr({\frac s2+1})\zeta(s+1) &-
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k)
}$
1行目:
定理2に$m=1$を代入すると、
$\zeta(s,t)+\zeta(t,s)=\zeta(s)\zeta(t)-\zeta(s+t)$
和公式より、
$\beginend{align}{
\zeta(s+1) &=
\sum_{k=1}^{s-1} \zeta(k,s+1-k) \\&=
\zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1}
(\zeta(k,s+1-k)+\zeta(s+1-k,k)) \\&=
\zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1}
(\zeta(k)\zeta(s+1-k)-\zeta(s+1))
\quad\because \textsf{定理2} \\&=
\zeta(1,s) - \lr({\frac s2-1})\zeta(s+1) +
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k)
}$
2行目:
$\displaystyle \because \zeta^\star(s,t) = \zeta(s,t) + \zeta(s+t)$
多重ゼータスター値の和公式を1行目と同様に用いても同じ結果になる。