多重ゼータ値 引数の左シフト、ζ(1,n)
$\bm f:1\to m$
$\beginend{alignat}{4
&G(\bm f) &\acoloneqq
\sum_{-1\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n) &&=
G(f_1)G\lr({\bm f_{[2\to]}}) &&- G\lr({\bm f_{[2\to]},f_1(\cdot-1)}) \\
&G^\star(\bm f) &\acoloneqq
\sum_{0\vbin\le\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n) &&=
G^\star(f_1)G^\star\lr({\bm f_{[2\to]}}) &&- G^\star\lr({\bm f_{[2\to]},f_1(\cdot+1)})
}$
$\beginend{align}{ \asupplement{-2.5em}{1行目:} \\ \sahen &= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\sum_{n_1\vbin<\bm n_{[2\to m]}} \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\lr({\sum_{-1\vbin<\bm n_{[2\to m]}}-\sum_{-1\vbin<\bm n_{[2\to m]}\le n_1}}) \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \uhen \\ \asupplement{-2.5em}{2行目:} \\ \sahen &= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\sum_{n_1\vbin\le\bm n_{[2\to m]}} \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\lr({\sum_{0\vbin\le\bm n_{[2\to m]}}-\sum_{0\vbin\le\bm n_{[2\to m]}< n_1}}) \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \uhen }$
$\bm s:1\to m$
$\beginend{alignat}{4
&\zeta(\bm s) &&+ \zeta\lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) &&=
\zeta(s_1)\zeta\lr({\bm s_{[2\to]}}) &&-
\zeta\lr({\bm s_{[2\to m-1]},s_1+s_m}) \\
&\zeta^\star(\bm s) &&+ \zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) &&=
\zeta(s_1)\zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to]}}) &&+
\zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to m-1]},s_1+s_m})
}$
左辺第2項の引数$ \lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) = (\range s2m,s_1)$は、$(\bm s)$を$1$回左シフトしたもの相当します。
$\bm f(n) = n^{-\bm s}$を補題1に代入する。
$\beginend{alignat}{2 &\zeta\lr({\{s\}^m}) &&= \frac{\zeta(s)\zeta\lr({\{s\}^{m-1}}) - \zeta\lr({\{s\}^{m-2},2s})}2 \\ &\zeta^\star\lr({\{s\}^m}) &&= \frac{\zeta(s)\zeta^\star\lr({\{s\}^{m-1}}) + \zeta^\star\lr({\{s\}^{m-2},2s})}2 }$
引数が全て同じであるならシフトに対して不変です。
$s\in\Z_{\ge2}$
$\beginend{alignat}{2
&\zeta(1,s) &&= \frac s2\zeta(s+1) &-
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k) \\
&\zeta^\star(1,s) &&= \lr({\frac s2+1})\zeta(s+1) &-
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k)
}$
1行目:
和公式より、
$\beginend{align}{
\zeta(s+1) &=
\sum_{k=1}^{s-1} \zeta(k,s+1-k) \\&=
\zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1}
(\zeta(k,s+1-k)+\zeta(s+1-k,k)) \\&=
\zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1}
(\zeta(k)\zeta(s+1-k)-\zeta(s+1))
\quad\because \textsf{定理2} \\&=
\zeta(1,s) - \lr({\frac s2-1})\zeta(s+1) +
\frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k)
}$
2行目:
$\displaystyle \because \zeta^\star(s,t) = \zeta(s,t) + \zeta(s+t)$
多重ゼータスター値の和公式を1行目と同様に用いても同じ結果になる。