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解説大学数学以上
文献あり

多重ゼータ値 引数の左シフト、ζ(1,n)

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$$\newcommand{acoloneqq}[0]{\ &\hspace-2pt\coloneqq} \newcommand{ar}[0]{\textrm{\ ar\!}} \newcommand{asupplement}[1]{&\hspace{#1}\textsf} \newcommand{beginend}[2]{{\begin{#1}#2\end{#1}}} \newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{Defarrow}[0]{\xLeftrightarrow{\textrm{def}}} \newcommand{hen}[1]{{(\textrm{{#1}辺})}} \newcommand{hygeo}[6]{{{}_{#1}{#2}_{#3}\lr[{\beginend{matrix}{{#4}\\ {#5}}\ ;{#6}}]}} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\Large\raise-1.8pt{\textrm K}}} \newcommand{Kfrac}[0]{\mathop{\huge\raise-2.2pt{\textrm K}}} \newcommand{kome}[0]{\text※} \newcommand{lr}[3]{{\left#1{#2}\right#3}} \newcommand{lvvr}[3]{\lr{#1}{\negmedspace\lr|{#2}|\negmedspace}{#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{P}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{range}[1]{\rangeex{}{#1}{}} \newcommand{Range}[1]{\Rangeex{}{#1}{}} \newcommand{rangeex}[5]{\Rangeex{#1}{#2}{#3}{#4}{#5},} \newcommand{Rangeex}[6]{{#1{#2}_{#4}#3#6\cdots#6#1{#2}_{#5}#3}} \newcommand{rprod}[0]{\mathop{\prod\!\llap\coprod}} \newcommand{sahen}[0]{\hen左} \newcommand{slfrac}[2]{{{}^{#1}\hspace-4pt\diagup\hspace-4pt_{#2}}} \newcommand{stirling}[3]{\lr[{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}]} \newcommand{Stirling}[3]{\lr\{{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}\}} \newcommand{uhen}[0]{\hen右} \newcommand{vbin}[1]{\mathbin{{#1}\!\llap|\ }} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\bm f:1\to m$
$\beginend{alignat}{4 &G(\bm f) &\acoloneqq \sum_{-1\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n) &&= G(f_1)G\lr({\bm f_{[2\to]}}) &&- G\lr({\bm f_{[2\to]},f_1(\cdot-1)}) \\ &G^\star(\bm f) &\acoloneqq \sum_{0\vbin\le\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n) &&= G^\star(f_1)G^\star\lr({\bm f_{[2\to]}}) &&- G^\star\lr({\bm f_{[2\to]},f_1(\cdot+1)}) }$

$\beginend{align}{ \asupplement{-2.5em}{1行目:} \\ \sahen &= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\sum_{n_1\vbin<\bm n_{[2\to m]}} \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\lr({\sum_{-1\vbin<\bm n_{[2\to m]}}-\sum_{-1\vbin<\bm n_{[2\to m]}\le n_1}}) \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \uhen \\ \asupplement{-2.5em}{2行目:} \\ \sahen &= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\sum_{n_1\vbin\le\bm n_{[2\to m]}} \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \sum_{0\le n_1} f_1(n_1)\lr({\sum_{0\vbin\le\bm n_{[2\to m]}}-\sum_{0\vbin\le\bm n_{[2\to m]}< n_1}}) \prod_{2\to} \bm f(\bm n) \\&= \uhen }$

$\bm s:1\to m$
$\beginend{alignat}{4 &\zeta(\bm s) &&+ \zeta\lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) &&= \zeta(s_1)\zeta\lr({\bm s_{[2\to]}}) &&- \zeta\lr({\bm s_{[2\to m-1]},s_1+s_m}) \\ &\zeta^\star(\bm s) &&+ \zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) &&= \zeta(s_1)\zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to]}}) &&+ \zeta^\star\lr({\bm s_{[2\to m-1]},s_1+s_m}) }$

左辺第2項の引数$ \lr({\bm s_{[2\to]},s_1}) = (\range s2m,s_1)$は、$(\bm s)$$1$回左シフトしたもの相当します。

$\bm f(n) = n^{-\bm s}$を補題1に代入する。

$\beginend{alignat}{2 &\zeta\lr({\{s\}^m}) &&= \frac{\zeta(s)\zeta\lr({\{s\}^{m-1}}) - \zeta\lr({\{s\}^{m-2},2s})}2 \\ &\zeta^\star\lr({\{s\}^m}) &&= \frac{\zeta(s)\zeta^\star\lr({\{s\}^{m-1}}) + \zeta^\star\lr({\{s\}^{m-2},2s})}2 }$

引数が全て同じであるならシフトに対して不変です。

定理2と和公式の

$s\in\Z_{\ge2}$
$\beginend{alignat}{2 &\zeta(1,s) &&= \frac s2\zeta(s+1) &- \frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k) \\ &\zeta^\star(1,s) &&= \lr({\frac s2+1})\zeta(s+1) &- \frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k) }$

1行目:
和公式より、
$\beginend{align}{ \zeta(s+1) &= \sum_{k=1}^{s-1} \zeta(k,s+1-k) \\&= \zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1} (\zeta(k,s+1-k)+\zeta(s+1-k,k)) \\&= \zeta(1,s) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1} (\zeta(k)\zeta(s+1-k)-\zeta(s+1)) \quad\because \textsf{定理2} \\&= \zeta(1,s) - \lr({\frac s2-1})\zeta(s+1) + \frac12\sum_{k=2}^{s-1} \zeta(k)\zeta(s+1-k) }$
2行目:
$\displaystyle \because \zeta^\star(s,t) = \zeta(s,t) + \zeta(s+t)$
多重ゼータスター値の和公式を1行目と同様に用いても同じ結果になる。

参考文献

投稿日:9日前
更新日:8日前

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https://mathlog.info/articles/u8RbpIp5SDhTq1E2wmx3

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