多重ゼータ値　多変数×1変数の調和積、ζ(1,n)

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本題

\begin{array}{l} s : 1 \to m \\ \begin{aligned} ζ (s) ζ (t) & = \sum_{k = 0}^{m} ζ (s_{[\to k]}, t, s_{[k + 1 \to]}) & + \sum_{k = 1}^{m} ζ (s + δ_{k} t) \\ ζ^{⋆} (s) ζ (t) & = \sum_{k = 0}^{m} ζ^{⋆} (s_{[\to k]}, t, s_{[k + 1 \to]}) & - \sum_{k = 1}^{m} ζ^{⋆} (s + δ_{k} t) \end{aligned} \end{array}

定義


$δ_{a, b}$	クロネッカーのデルタ
$ζ (s)$	多重ゼータ値
$ζ^{⋆} (s)$	多重ゼータスター値

< |

等

$s : 1 \to m \overset{def}{\Leftrightarrow} s : = (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m})$
$a < | x_{[1 \to m]} \overset{def}{\Leftrightarrow} a < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{m}$
\mathbin{{#1}\!\llap|\ }で表示できる。
$\prod_{1 \to m} n^{- s} : = \prod_{k = 1}^{m} n_{k}^{- s_{k}}$

定理

$f : 1 \to m$
$\begin{aligned} G (f) & : = \sum_{- 1 < | n_{[1 \to m]}} \prod f (n) \\ G^{⋆} (f) & : = \sum_{0 \leq | n_{[1 \to m]}} \prod f (n) \end{aligned}$
$\begin{aligned} G (f) G (g) & = \sum_{k = 0}^{m} G (f_{[\to k]}, g, f_{[k + 1 \to]}) & + \sum_{k = 1}^{m} G (f g^{δ_{k}}) \\ G^{⋆} (f) G^{⋆} (g) & = \sum_{k = 0}^{m} G^{⋆} (f_{[\to k]}, g, f_{[k + 1 \to]}) & - \sum_{k = 1}^{m} G^{⋆} (f g^{δ_{k}}) \end{aligned}$

1行目
$(左辺) = (\sum_{- 1 < | n_{[1 \to m]}} \prod f (n)) (\sum_{0 \leq l} g (l))$
$a < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{m}$
に $l (> a)$ を挿入するパターンを被り無く網羅すると以下の様になる。
$\begin{matrix} a < l < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{m} \\ a < l = n_{1} < n_{2} < \dots < n_{m} \\ a < n_{1} < l < n_{2} < \dots < n_{m} \\ a < n_{1} < l = n_{2} < \dots < n_{m} \\ ⋮ \\ a < n_{1} < n_{2} < \dots < l = n_{m} \\ a < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{m} < l \end{matrix}$
これらの内 $=$ を含まない方が $(右辺)$ の第1項、含む方が第2項に対応する。

2行目
上記の議論で $<$ を $\leq$ に置き換えて考える。
$=$ を含むパターンは不足ではなくむしろ過剰である為、
第2項の符号は負になる。

$s : 1 \to m$
$\begin{aligned} ζ (s) ζ (t) & = \sum_{k = 0}^{m} ζ (s_{[\to k]}, t, s_{[k + 1 \to]}) & + \sum_{k = 1}^{m} ζ (s + δ_{k} t) \\ ζ^{⋆} (s) ζ (t) & = \sum_{k = 0}^{m} ζ^{⋆} (s_{[\to k]}, t, s_{[k + 1 \to]}) & - \sum_{k = 1}^{m} ζ^{⋆} (s + δ_{k} t) \end{aligned}$

補題1に $f (n) = (n + 1)^{- s}, g (n) = (n + 1)^{- t}$ を代入する。

系

$\begin{aligned} S_{m} (s, t) & : = \sum_{k = 0}^{m} ζ ({s}^{k}, t, {s}^{m - k}) \\ S_{m}^{⋆} (s, t) & : = \sum_{k = 0}^{m} ζ^{⋆} ({s}^{k}, t, {s}^{m - k}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{m} (s, t) = ζ ({s}^{m}) ζ (t) & - S_{m - 1} (s, s + t) \\ S_{m}^{⋆} (s, t) = ζ^{⋆} ({s}^{m}) ζ (t) & + S_{m - 1}^{⋆} (s, s + t) \end{aligned}$

$ζ ({s}^{m}) = \frac{S_{m - 1} (s, s)}{m}, ζ^{⋆} ({s}^{m}) = \frac{S_{m - 1}^{⋆} (s, s)}{m}$ を使えば $ζ ({s}^{m}), ζ^{⋆} ({s}^{m})$ の一般項が得られます。

定理2と和公式の

$s \in Z_{\geq 2}$
$\begin{aligned} ζ (1, s) & = \frac{s}{2} ζ (s + 1) & - \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{s - 1} ζ (k) ζ (s + 1 - k) \\ ζ^{⋆} (1, s) & = (\frac{s}{2} + 1) ζ (s + 1) & - \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{s - 1} ζ (k) ζ (s + 1 - k) \end{aligned}$

1行目:
定理2に $m = 1$ を代入すると、
$ζ (s, t) + ζ (t, s) = ζ (s) ζ (t) - ζ (s + t)$
和公式より、
$\begin{aligned} ζ (s + 1) & = \sum_{k = 1}^{s - 1} ζ (k, s + 1 - k) \\ = ζ (1, s) + \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{s - 1} (ζ (k, s + 1 - k) + ζ (s + 1 - k, k)) \\ = ζ (1, s) + \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{s - 1} (ζ (k) ζ (s + 1 - k) - ζ (s + 1)) ∵ 定理2 \\ = ζ (1, s) - (\frac{s}{2} - 1) ζ (s + 1) + \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{s - 1} ζ (k) ζ (s + 1 - k) \end{aligned}$
2行目:
$∵ ζ^{⋆} (s, t) = ζ (s, t) + ζ (s + t)$
多重ゼータスター値の和公式を1行目と同様に用いても同じ結果になる。