&&&bg-primary <div class="text-center">本題</div>
<div class="text-center">$
\large\beginend{alignat}{2
    &\zeta{\qty(\{s\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m (-1)^{m-j} &&\sum_{0=\Range k0j<=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{\zeta((k_l-k_{l-1})s)}{k_l} \\
    &\zeta^\star{\qty(\{s\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m &&\sum_{0=\Range k0j<=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{\zeta((k_l-k_{l-1})s)}{k_l}
}$</div>
&&&

#定義
&&&def
|||
|:-|:-|
|$\zeta(\bm s)$|[多重ゼータ値](https://math.jp/wiki/多重ゼータ値)|
|$\zeta^\star(\bm s)$|[多重ゼータスター値](https://math.jp/wiki/多重ゼータスター値)|
$\zeta(\varnothing) \coloneqq
    \zeta^\star(\varnothing) \coloneqq
    1$
&&&
&&&ex $\vbin<$等
$\bm s:1\to m \Defarrow \bm s \coloneqq
    (s_1,\range s2m)$
$a\vbin<\bm x_{[1\to m]} \Defarrow a<x_1<x_2<\cdots<x_m$
`\mathbin{{#1}\!\llap|\ }`で表示できる。
$\displaystyle \prod_{1\to m} \bm n^{-\bm s} \coloneqq
    \prod_{k=1}^m n_k^{-s_k}$
&&&

&&&def
$\beginend{align}{
    S_m(s,t) \acoloneqq
        \sum_{k=0}^m \zeta{\qty(\{s\}^k,t,\{s\}^{m-k})} \\
    S^\star_m(s,t) \acoloneqq
        \sum_{k=0}^m \zeta^\star{\qty(\{s\}^k,t,\{s\}^{m-k})}
}$
&&&

#定理
&&&lem
$\beginend{alignat}{2
    &S_m(s,t) = \zeta{\qty(\{s\}^m)}\zeta(t) &&-
        S_{m-1}(s,s+t) \\
    &S^\star_m(s,t) = \zeta^\star{\qty(\{s\}^m)}\zeta(t) &&+
        S^\star_{m-1}(s,s+t)
}$

&&&
&&&border 参考
[定理2系 | 多重ゼータ値　多変数×1変数の調和積、ζ(1,n)](/articles/UDF1ohru6Bgfj92EmbJ1#系)
&&&

&&&thm 本題
$\beginend{alignat}{2
    &\zeta{\qty(\{s\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m (-1)^{m-j} &&\sum_{0=\vbin<\bm k_{[0\to j]}=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{\zeta((k_l-k_{l-1})s)}{k_l} \\
    &\zeta^\star{\qty(\{s\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m &&\sum_{0=\vbin<\bm k_{[0\to j]}=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{\zeta((k_l-k_{l-1})s)}{k_l}
}$
&&&
&&&prf
####1行目
$\beginend{align}{
    \sahen &=
        \frac{S_{m-1}(s,s)}m \\&=
        \frac1m\sum_{n=1}^m (-1)^{n-1}\zeta(ns)\zeta{\qty(\{s\}^{m-n})}
            \quad\because\textsf{補題1} \\&=
        \frac1m\sum_{n=0}^{m-1} (-1)^{m-1-n}\zeta((m-n)s)\zeta{\qty(\{s\}^n)} \\&=
        \frac{(-1)^{m-1}}m\qty[\zeta(ms) +
            \sum_{0<n<m} (-1)^n\zeta((m-n)s)\zeta{\qty(\{s\}^n)}] \\&=
        \frac{(-1)^{m-1}}m\qty(\zeta{(ms)} -
            \sum_{0<n_1<m} \frac{\zeta((m-n_1)s)}{n_1}\qty(\zeta{(n_1s)} -
            \sum_{0<n_2<n_1} \frac{\zeta((n_1-n_2)s)}{n_2}\qty(\zeta{(n_2s)} -
            \sum_{0<n_3<n_2} \frac{\zeta((n_2-n_3)s)}{n_3}\Bigg(\cdots\Bigg)))) \\&=
        \uhen
        
}$
####2行目
$S^\star_m(s,t)$の漸化式は$S_m(s,t)
$のものと比較して第2項の符号が$+$である為、
$-$が生じず、それ以外は1行目と同じである。
&&&

#一般化
&&&thm
$\bm f:1\to m$
$\beginend{alignat}{3
    &G(\bm f) &\acoloneqq
        \sum_{-1\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n)\\
    &G^\star(\bm f) &\acoloneqq
        \sum_{0\vbin\le\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm f(\bm n)
}$
$\beginend{alignat}{2
    &G{\qty(\{f\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m (-1)^{m-j} &&\sum_{0=\vbin<\bm k_{[0\to j]}=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{G{\qty(f^{k_l-k_{l-1}})}}{k_l} \\
    &G^\star{\qty(\{f\}^m)} &&=
        \sum_{j=1}^m &&\sum_{0=\vbin<\bm k_{[0\to j]}=m}
            \prod_{l=1}^j \frac{G{\qty(f^{k_l-k_{l-1}})}}{k_l}
}$
&&&
これは本題の左辺を交項級数等の類似物に置き換えても展開できることを意味します。

#表
$\displaystyle H^\pm_m(f) \coloneqq
    \sum_{j=1}^m (\pm1)^{m-j} \sum_{0=\vbin<\bm k_{[0\to j]}=m}
        \prod_{l=1}^j \frac{G{\qty(f^{k_l-k_{l-1}})}}{k_l}$
$G{\qty(\{f\}^m)}=H^-_m(f),
G^\star{\qty(\{f\}^m)}=H^+_m(f)$
|$m$|$m!H^\pm_m(f)$|
|-|:-|
|$1$|$G(f)$|$G^\star(f)$|
|$2$|$G(f)^2 \pm G{\qty(f^2)}$|
|$3$|$G(f)^3 \pm3G(f)G{\qty(f^2)} +2G{\qty(f^3)}$|
|$4$|$G(f)^4 \pm6G(f)^2G{\qty(f^2)} +
8G(f)G{\qty(f^3)} +3G{\qty(f^2)}^2 \pm6G{\qty(f^4)}$|


ζ(s,∙∙∙,s)の一般項

定義

定理

1行目

2行目

一般化

表

参考文献

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$ζ (s)$	多重ゼータ値
$ζ^{⋆} (s)$	多重ゼータスター値

$m$	$m! H_{m}^{\pm} (f)$
$1$	$G (f)$
$2$	$G (f)^{2} \pm G (f^{2})$
$3$	$G (f)^{3} \pm 3 G (f) G (f^{2}) + 2 G (f^{3})$
$4$	$G (f)^{4} \pm 6 G (f)^{2} G (f^{2}) + 8 G (f) G (f^{3}) + 3 G {(f^{2})}^{2} \pm 6 G (f^{4})$