Flexion unit16: AXI, GAXIの部分構造
前の記事 の記法を用いる.
$\AXI$の部分構造
$\ari,\ira$については既に扱っているので省略する.
\begin{align}
&\axi((A,B),(C,D))\\
&:=(\axit(C,D)(A)-\axit(A,B)(C)+\lu(A,C)\\
&\qquad\qquad,\axit(C,D)(B)-\axit(A,B)(D)-\lu(B,D))
\end{align}
と定義する. このとき, 以下が成り立つ.
\begin{align}
&\axit(C,D)\circ\axit(A,B)-\axit(A,B)\circ\axit(C,D)\\
&=\axit(\axi((A,B),(C,D)))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\gaxit(1+tA,1+tB)=1+t\axit(A,B)+t^2f(A,B)\pmod{t^3}
\end{align}
と展開すると,
\begin{align}
&\gaxit(1+tC,1+tD)\circ\gaxit(1+tA,1+tB)\\
&=(1+t\axit(C,D)+t^2f(C,D))\circ(1+t\axit(A,B)+t^2f(A,B))\pmod {t^3}\\
&=1+t(\axit(C,D)+\axit(A,B))+t^2(\axit(C,D)\circ\axit(A,B)+f(C,D)+f(A,B))\pmod {t^3}\\
\end{align}
一方,
\begin{align}
&\gaxit(1+tC,1+tD)\circ\gaxit(1+tA,1+tB)\\
&=\gaxit(\gaxit(1+tC,1+tD)(1+tA)\times(1+tC), (1+tD)\times\gaxit(1+tC,1+tD)(1+tB))\\
&=\gaxit(1+t(A+C)+t^2(\axit(C,D)(A)+A\times C),1+t(B+D)+t^2(D\times B+\axit(C,D)(B)))\pmod{t^3}\\
&=1+t\axit(A+C,B+D)+t^2(f(A+C,B+D)+\axit(\axit(C,D)(A)+A\times C,D\times B+\axit(C,D)(B)))\pmod{t^3}
\end{align}
となる. よって, $(A,B)$と$(C,D)$を入れ替えたものとの差の$t^2$の係数を比較すると,
\begin{align}
&\axit(C,D)\circ\axit(A,B)-\axit(A,B)\circ\axit(C,D)\\
&=\axit(\axit(C,D)(A)+A\times C-\axit(A,B)(C)-C\times A,\\
&\qquad\qquad\axit(C,D)(B)+D\times B-\axit(A,B)(D)-B\times D)\\
&=\axit(\axi((A,B),(C,D)))
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
\begin{align}
\preami(A,B)&:=\amit(B)(A)+A\times B\\
\preani(A,B)&:=\anit(B)(A)-A\times B\\
\ami(A,B)&:=\preami(A,B)-\preami(B,A)\\
&=\amit(B)(A)-\amit(A)(B)+\lu(A,B)\\
\ani(A,B)&:=\preani(A,B)-\preani(B,A)\\
&=\anit(B)(A)-\anit(A)(B)-\lu(A,B)
\end{align}
とする. 定義から
\begin{align}
\axi((A,1),(B,1))&=(\ami(A,B),1)\\
\axi((1,A),(1,B))&=(1,\ani(A,B))\\
\end{align}
であるから, 命題1の特別な場合として, 以下が得られる.
\begin{align} \amit(B)\circ\amit(A)-\amit(A)\circ\amit(B)&=\amit(\ami(A,B))\\ \anit(B)\circ\anit(A)-\anit(A)\circ\anit(B)&=\anit(\ani(A,B)) \end{align}
\begin{align}
\alit(A)&:=\axit(A,\pari(\anti(A)))\\
\awit(A)&:=\axit(A,\neg(\anti(A)))\\
\ilat(A)&:=\axit(A,(\neg\circ\pari\circ\anti)(A))\\
\iwat(A)&:=\axit(A,\anti(A))
\end{align}
として,
\begin{align}
\preali(A,B)&:=\alit(B)(A)+A\times B\\
\preawi(A,B)&:=\awit(B)(A)+A\times B\\
\preila(A,B)&:=\ilat(B)(A)+A\times B\\
\preiwa(A,B)&:=\iwat(B)(A)+A\times B\\
\ali(A,B)&:=\preali(A,B)-\preali(B,A)\\
\awi(A,B)&:=\preawi(A,B)-\preawi(B,A)\\
\ila(A,B)&:=\preila(A,B)-\preila(B,A)\\
\iwa(A,B)&:=\preiwa(A,B)-\preiwa(B,A)\\
\end{align}
とする.
\begin{align} \alit(B)\circ\alit(A)-\alit(A)\circ\alit(B)&=\alit(\ali(A,B))\\ \awit(B)\circ\awit(A)-\awit(A)\circ\awit(B)&=\awit(\awi(A,B))\\ \ilat(B)\circ\ilat(A)-\ilat(A)\circ\ilat(B)&=\ilat(\ila(A,B))\\ \iwat(B)\circ\iwat(A)-\iwat(A)\circ\iwat(B)&=\iwat(\iwa(A,B)) \end{align}
$f\in\{\pari\circ\anti,\neg\circ\anti,\neg\circ\pari\circ\anti,\anti\}$に対し, $C:=\axit(B,f(B))(A)-\axit(A,f(A))(B)+\lu(A,B)$として,
\begin{align}
\axi((A,f(A)),(B,f(B)))&=(C,f(C))
\end{align}
となることを示せばよい. それは,
\begin{align}
f(A\times B)&=f(B)\times f(A)\\
f\circ\axit(A,B)&=\axit(f(B),f(A))\circ f
\end{align}
となることから従う.
これらより,
前の記事
の命題2の類似も全く同様に成り立つことが分かる.
\begin{align}
\mathrm{ALI}&=(\LU,\ali)\\
\mathrm{AWI}&=(\LU,\awi)\\
\mathrm{ILA}&=(\LU,\ila)\\
\mathrm{IWA}&=(\LU,\iwa)
\end{align}
とするとこれらはLie代数になる.
\begin{align}
\swap(\preali(A,B))&=\preila(\swap(A),\swap(B))\\
\swap(\preawi(A,B))&=\preiwa(\swap(A),\swap(B))
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の定理2から,
\begin{align}
&\swap(\axit(A,B)(C)+C\times A)\\
&=\axit(\swap(A),\push(\swap(B)))(\swap(C))+\swap(C)\times\swap(A)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\push\circ\swap\circ\pari\circ\anti&=\neg\circ\pari\circ\anti\circ\swap\\
\push\circ\swap\circ\neg\circ\anti&=\anti\circ\swap
\end{align}
となることから示すべき等式を得る.
$\GAXI$の部分構造
$\gari,\gira$については 前の記事 で既に扱っているので省略する.
\begin{align}
\galit(A)&:=\gaxit(A,\pari(\anti(A)))\\
\gawit(A)&:=\gaxit(A,\neg(\anti(A)))\\
\gilat(A)&:=\gaxit(A,(\neg\circ\pari\circ\anti)(A))\\
\giwat(A)&:=\gaxit(A,\anti(A))
\end{align}
とする. この変数の中身はそれぞれ$\alit,\awit,\ilat,\iwat$と同じである.
\begin{align}
\gali(A,B)&:=\galit(B)(A)\times B\\
\gawi(A,B)&:=\gawit(B)(A)\times B\\
\gila(A,B)&:=\gilat(B)(A)\times B\\
\giwa(A,B)&:=\giwat(B)(A)\times B\\
\end{align}
とする.
\begin{align}
\galit(B)\circ\galit(A)&=\galit(\gali(A,B))\\
\gawit(B)\circ\gawit(A)&=\gawit(\gawi(A,B))\\
\gilat(B)\circ\gilat(A)&=\gilat(\gila(A,B))\\
\giwat(B)\circ\giwat(A)&=\giwat(\giwa(A,B))
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の命題2より, $f\in\{\pari\circ\anti,\neg\circ\anti,\neg\circ\pari\circ\anti,\anti\}$に対し,
\begin{align}
\gaxi((A,f(A)),(B,f(B)))=(\gaxit(B,f(B))(A)\times B,f(\gaxit(B,f(B))(A)\times B))
\end{align}
を示せばよい. これは
\begin{align}
f(A\times B)&=f(B)\times f(A)\\
f\circ\gaxit(A,B)&=\gaxit(f(B),f(A))\circ f
\end{align}
であることから従う.
\begin{align}
\mathrm{GALI}&=(\LU,\gali)\\
\mathrm{GAWI}&=(\LU,\gawi)\\
\mathrm{GILA}&=(\LU,\gila)\\
\mathrm{GIWA}&=(\LU,\giwa)
\end{align}
とすると, これらは群になる.
\begin{align}
\swap(\gali(A,B))&=\gila(\swap(A),\swap(B))\\
\swap(\gawi(A,B))&=\giwa(\swap(A),\swap(B))
\end{align}
が成り立つ.
前の記事 の命題3を用いれば, 命題2と全く同様に示される.
線形化について, $\varepsilon$を二重数とすれば,
\begin{align}
\galit(1+\varepsilon A)&=1+\varepsilon \alit(A)\\
\gali(A,1+\varepsilon B)&=A+\varepsilon \preali(A,B)\\
\end{align}
が成り立つ. よって,
前の記事
と同様に, $\preali(A):=A, \preali(A_1,\dots,A_n):=\preali(\preali(A_1,\dots,A_{n-1}),A_n)$によって定義し,
\begin{align}
\mathrm{expali}(A)&:=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\preali(A,\dots,A)
\end{align}
とすると, $\mathrm{expali}:\mathrm{ALI}\to\mathrm{GALI}$は指数写像を与える(つまり,
前の記事
の系3の類似が成り立つ)ことが分かる. 他も同様である.
一致する場合
$A$が$\mantar$不変ならば,
\begin{align}
\arit(A)=\alit(A)
\end{align}
であり, $A$が$\gantar$不変ならば,
\begin{align}
\garit(A)=\galit(A)
\end{align}
である.
$A$が$\mantar$不変であるとき, $(\pari\circ\anti)(A)=-A$であることから1つ目の等式が従う. $A$が$\gantar$不変であるとき, $\invmu(A)=(\pari\circ\anti)(A)$であるから2つ目の等式が従う.
$\swap$を考えると以下のように言い換えられる.
$\swap(A)$が$\mantar$不変ならば,
\begin{align}
\irat(A)=\ilat(A)
\end{align}
であり, $\swap(A)$が$\gantar$不変ならば,
\begin{align}
\girat(A)=\gilat(A)
\end{align}
である.
特に$\girat(A)=\gaxit(A,(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(A))$の2つ目の成分が, 上の場合は$(\neg\circ\pari\circ\anti)(A)$と簡潔に書けるという利点がある.
以下は定義から明らかである.
$A$が$\neg\circ\pari$不変ならば,
\begin{align}
\alit(A)&=\awit(A)\\
\ilat(A)&=\iwat(A)\\
\galit(A)&=\gawit(A)\\
\gilat(A)&=\gilat(A)
\end{align}
が成り立つ.
特にflexion unitから構成されるbimouldを扱う場合には, $\neg\circ\pari$不変であることから, $\ilat$や$\gilat$を$\iwat$や$\giwat$で書くことができる.
