【相対論】Newman-Penrose formalism 1
Newman-Penrose formalismについて説明します。NP formalismとは4次元時空の計量的性質を12個の関数$\gamma,\nu,\epsilon,\pi,\beta,\mu,\alpha,\lambda,\tau,\kappa,\sigma,\rho$を使って計算する技法です。Maxwell方程式やEinstein方程式などもこれらの関数で書くことができますが、汚いです。しかしNP技法の考え方は単純です。
時空$(M,g)$は4次元かつSpin多様体とします。
この記事で使うfactとconvention
Weylスピノルとnullベクトル
Dirac spinorが作るベクトル
の知識を使うので以下のまとめます。
$\sigma_i:$Pauli行列
$\sigma_0=I_2$
$\gamma_\mu:$Gamma行列(chiral表現)
$S=S^+\oplus S^-:$4次元Lorentzのスピノル空間
Weylスピノル:$S^\pm$の元
$(V,g):(1,3)$型の擬Euclid空間
$g={\rm diag}(-1,1,1,1)$(添え字の上げ下げはすべて$g$で行う)
Majorana form
$ (\psi,\phi):={}^t\psi C\phi,\ C=\begin{pmatrix}-i\sigma_2 & 0 \\ 0 & i\sigma_2\end{pmatrix},\ i\sigma_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$
charge conjugate
$ \psi^c=B\psi^*$
$ B=\begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_2 \\ i\sigma_2 & 0 \end{pmatrix}$
\begin{align} &(X\psi,\phi)=-(\psi,X\phi),\ (\psi,\phi)=-(\phi,\psi)\\ &(\psi,\phi)^*=-(\psi^c,\phi^c)\\ &(\phi,M\psi)(\alpha,N\beta)=(\phi,e_A\beta)(\alpha,Ne^AM\psi),\ \phi,\psi,\alpha,\beta\in S,\ M,N\in \mathbb{C}l(4) \end{align}
$u\in S^\pm$に対して、$k=\sum_a(u^c,\gamma^a u)e_a$はnullベクトルである。
$(u^c,\gamma^au)(v^c,\gamma_av)=-8|(u,v)|^2,\ u,v\in S^+$
Weylスピノルとnull tetrad
4次元時空$(M,g)$の独立なWeylスピノル$u,v$で$(u,v)$が定数となるものを一組選び固定します。このとき次の4つのベクトル場を定義します。
\begin{align}
k&=(u^c,\gamma^au)e_a\\
l&=(v^c,\gamma^av)e_a\\
m&=(v^c,\gamma^au)e_a\\
\bar m&=(u^c,\gamma^av)e_a
\end{align}
このとき$\{k,l,m,\bar m\}$はnull tetradとなります。すなわち次が成り立ちます。
$\{k,l,m,\bar m\}$は、$(u,v)$を適当に選べば
$$
g(k,l)=-1,g(m,\bar m)=1, g({\rm else})=0
$$
となる。
$ g(k,l)=(u^c,\gamma^au)(v^c,\gamma_av)=-8|(u,v)|^2$なので、$ g(k,l)=-1$となるようにrescaleすればよい。
さらにこのとき
\begin{align}
g(m,\bar m)&=(v^c,\gamma^au)(u^c,\gamma_av)=(v^c,\gamma^au)(v,\gamma_au^c)\\
&=(v^c,e_Au^c)(v,\gamma_ae^A\gamma^au)\ (\because\ \gamma_ae^{bc}\gamma^a=0)\\
&=(v^c,u^c)(v,\gamma_a\gamma^au)-(v^c,zu^c)(v,\gamma_az\gamma^au)\\
&=4(v,u)^*(v,u)+(v^c,zu^c)(v,\gamma_a\gamma^azu)\\
&=4|(v,u)|^2-4(v^c,-iu^c)(v,iu)\\
&=4|(v,u)|^2-4(v^c,u^c)(v,u)\\
&=4|(v,u)|^2+4(v,u)^*(v,u)\\
&=8|(v,u)|^2=1
\end{align}
となる。
また
\begin{align}
g(k,m)&=(u^c,\gamma^au)(v,\gamma_au^c)=(u^c,e_Au^c)(v^c,\gamma_ae^A\gamma^au)=0\\
g(m, m)&=(v^c,\gamma^au)(v^c,\gamma_au)=(v^c,\gamma^au)(u,\gamma_av^c)\\
&=(v^c,e_Av^c)(u,\gamma_ae^A\gamma^au)\ (\because\ \gamma_ae^{bc}\gamma^a=0)\\
&=(v^c,v^c)(v,\gamma_a\gamma^au)+(v^c,zv^c)(u,\gamma_az\gamma^au)=0
\end{align}
となる。
Weylスピノルと共変微分
$u,v$の$\{k,l,m,\bar m\}$に関する共変微分を以下のように定義します。
\begin{align} &\nabla_lv=\gamma v-\nu u \ ,\nabla_kv=\epsilon v-\pi u \\ &\nabla_mv=\beta v-\mu u \ , \nabla_{\bar m}v=\alpha v-\lambda u \\ &\nabla_lu=\tau v-\gamma u \ , \nabla_ku=\kappa v-\epsilon u \\ &\nabla_mu=\sigma v-\beta u \ , \nabla_{\bar m}u=\rho v-\alpha u \end{align}
これら12個の関数$\gamma,\nu,\epsilon,\pi,\beta,\mu,\alpha,\lambda,\tau,\kappa,\sigma,\rho$により$u,v$の微分幾何学的性質は原理的には決定されます。
null tetradの共変微分
さらに$u,v$から作られたnull tetrad$\{k,l,m,\bar m\}$の微分幾何学的性質も原理的には12個の関数で記述できます。null tetradと12個の関数との関係は以下で与えられます。
\begin{align} \kappa&=-g(\nabla_kk,m) \\ \nu&=-g(\nabla_ll,\bar m) \\ \rho&=g(\nabla_{\bar m}k,m) \\ \mu&=-g(\nabla_ml,\bar m) \\ \sigma&=g(\nabla_mk,m) \\ \lambda&=-g(\nabla_{\bar m}l,\bar m) \\ \tau&=g(\nabla_lk,m) \\ \pi&=-g(\nabla_kl,\bar m) \\ 2\epsilon&=g(\nabla_kk,l)-g(\nabla_km,\bar m) \\ 2\gamma&=-g(\nabla_ll,k)+g(\nabla_l\bar m,m) \\ 2\beta&=g(\nabla_mk,l)-g(\nabla_mm,\bar m) \\ 2\alpha&=g(\nabla_{\bar m}l,k)+g(\nabla_{\bar m}\bar m,m) \end{align}
以下の計算から従う。
\begin{align}
\nabla_kk_a&=(\nabla_ku^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a\nabla_ku)=(\bar\kappa v^c-\bar\epsilon u^c,\gamma_au)+(u^c,\kappa \gamma_av-\epsilon \gamma_au)\\
&=\bar\kappa( v^c,\gamma_au)-\bar\epsilon( u^c,\gamma_au)+\kappa(u^c, \gamma_av)-\epsilon(u^c, \gamma_au)\\
&=\bar\kappa m_a-\bar\epsilon k_a-\kappa\bar m_a-\epsilon k_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_km&=(\nabla_kv^c,\gamma_au)+(v^c,\gamma_a\nabla_ku)=(\bar\epsilon v^c-\bar\pi u^c,\gamma_au)+(v^c,\gamma_a(\kappa v-\epsilon u))\\
&=\bar\epsilon m-\bar\pi k+\kappa l-\epsilon m\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_ll_a&=(\nabla_lv^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a\nabla_lv)=(\bar\gamma v^c-\bar\nu u^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma v-\nu u)\\
&=\bar\gamma l_a-\bar\nu\bar m+\gamma l-\nu m\\
\nabla_l\bar m&=(\nabla_lu^c,\gamma_av)+(u^c,\gamma_a\nabla_lv)=(\bar\tau v^c-\bar\gamma u^c,\gamma_av)+(u^c,\gamma_a(\gamma v-\nu u))\\
&=\bar\tau l_a-\bar\gamma\bar m+\gamma \bar m-\nu k_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_{\bar m}k&=(\nabla_{\bar m}u^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a\nabla_{\bar m}u)=(\bar\rho v^c-\bar\alpha u^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a(\rho v-\alpha u))\\
&=\bar\rho m_a-\bar\alpha k_a+\rho\bar m_a-\alpha k_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_ml_a&=(\nabla_mv^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a\nabla_mv)=(\bar\beta v^c-\bar\mu u^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a(\beta v-\mu u))\\
=&\bar\beta l-\bar\mu\bar m+\beta l_a-\mu m_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_mk_a&=(\nabla_mu^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a\nabla_mu)=(\bar\sigma v^c-\bar\beta u^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a(\sigma v-\beta u))\\
&=\bar\sigma m_a-\bar\beta k_a+\sigma\bar m_a-\beta k\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_mm&=(\nabla_mv^c,\gamma_au)+(v^c,\gamma_a\nabla_mu)=(\bar\beta v^c-\bar\mu u^c,\gamma_au)+(v^c,\gamma_a(\sigma v-\beta u))\\
&=\bar\beta m-\bar\mu k+\sigma l-\beta m\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_{\bar m}l_a&=(\nabla_{\bar m}v^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a\nabla_{\bar m}v)=(\bar\alpha v^c-\bar\lambda u^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a(\alpha v-\lambda u))\\
&=\bar\alpha l_a-\bar\lambda\bar m+\alpha l_a-\lambda m_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_{\bar m}\bar m&=(\nabla_{\bar m}u^c,\gamma_av)+(u^c,\gamma_a\nabla_{\bar m}v)=(\bar\rho v^c-\bar\alpha u^c,\gamma_av)+(u^c,\gamma_a(\alpha v-\lambda u))\\
&=\bar\rho l-\bar\alpha \bar m+\alpha \bar m-\lambda k\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_lk_a&=(\nabla_lu^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a\nabla_lu)=(\bar\tau v^c-\bar\gamma u^c,\gamma_au)+(u^c,\gamma_a(\tau v-\gamma u))\\
&=\bar\tau m-\bar\gamma k_a+\tau\bar m-\gamma k_a\\
\end{align}
\begin{align}
\nabla_kl&=(\nabla_kv^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a\nabla_kv)=(\bar\epsilon v^c-\bar\pi u^c,\gamma_av)+(v^c,\gamma_a(\epsilon v-\pi u))\\
&=\bar\epsilon l_a-\bar\pi\bar m+\epsilon l_a-\pi m_a
\end{align}
これにより時空の接バンドル、余接バンドルやそのテンソル積バンドルに関するいろいろな量を計算することができます。