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現代数学解説
文献あり

「超微分可能なら連続」と超微分における接線の考察

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この記事は7777777氏の以下の記事に関連しています.
7777777[ 微分を拡張したい【#1】 ][ 超微分の定義と定理【#2】 ] (2024/9/15)
超微分ってほんまに有用なんか?とかいう自分の邪悪な気持ちが出てきたので,自分自身で少し考えてみた結果を書く.

超微分可能性な関数の性質

関数f:[α,β]R[α,β]上でf>0を満たすとする.a[α,β]a0のとき,faで超微分可能性ならばfaで連続である.

ラグ / Lagu氏の記事 超微分で微分っぽいことをする の定理1を使うと
aで超微分可能aで微分可能aで連続
となるので直ちに分かるが,aで微分可能を経由せずにイプシロンデルタ論法で証明してみる.

任意にε>0を取る.このεに対してδ>0が存在して,|h1|<δならば|logh|<εかつ|log(f(ha)f(a))loghf(a)|<ε
である.三角不等式から|log(f(ha)f(a))|<(ε+|f(a)|)|logh|<(ε+|f(a)|)εとなる.すなわち|log(f(ha))log(f(a))|<εであることと同値.
よって0<δ=|a|δと置けば,|xa|<δのとき,|log(f(x))log(f(a))|<εであるのでfaで連続.

ラグ / Lagu氏の記事でも触れられていたがa=0のときのfの情報が全く出てこない(確証はあまりないが断言してみる).だが,ラグ / Lagu氏の記事の定理2,超・Lagrangeの平均値の定理を見てみると次のことが見えてくる.

超微分について思ふこと

(Lagrangeの)平均値の定理と超・Lagrangeの平均値の定理を表で見比べてみる:

(Lagrangeの)平均値の定理超・Lagrangeの平均値の定理
f(a)f(b)ab=f(c) a<c<blog(f(a))log(f(b))log(a)log(b)=f(c) a<c<b

記号の説明は大幅に省略し,超・Lagrangeの平均値の定理は少し変形した.
平均値の定理とはある区間における平均の傾きと、その区間内のどこか一点における接線の傾きが必ず一致するということであった.次のような変形を考えてみる,E:(x,y)R×R(ex,ey)R>0×R>0,ここでR>0:=(0,)Eは全単射な写像である.
関数f:[α,β]R[α,β]上でf>0を満たし,a[α,β]a0で狭義超微分可能とする.このとき,fのグラフΓ(f):={(x,y)R×R|y=f(x)}に対して逆象E1(Γ(f))を考える.F(x):=log(f(ex))とするとΓ(F)=E1(Γ(f))である.すると次のことが考えれる.

Γ(F)=E1(Γ(f))の平均の傾きは,ある点での超微分の値に一致する.

つまりFの接線lの写像Eによる像E(l)が超微分の接線に相当するものになるだろう.定式化は読者に任せたい.

あとがき

上記のことを踏まえるとa=0のときのfの情報というのは,無限点(正確な表現でない)での情報であると予想する.なのでFが有界になるようにfをとることで通常の微分とはひと味違う情報が出てきそうだ.節「超微分について思ふこと」では駆け足で書いてしまったので誤りがあるかもしれないが,指摘してくれると大変ありがたいです.
また,写像Eのおかげで超微分は通常の微分と同じような性質が成り立つ気がするが,テーラー展開の超微分バージョンは1次の時点で接線ではなくなるので定式化は困難を極めそう.

参考文献

投稿日:2024915
更新日:2024920
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「ツクツクボーシ、ツクツクボーシ」 ほら、カエルが鳴いてるよ 春の訪れを感じながら 落ち葉で黄色くなった道を歩いてく

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  1. 超微分可能性な関数の性質
  2. 超微分について思ふこと
  3. あとがき
  4. 参考文献