直積集合 ⑨

Prop & Proof

$A\cap C=\varnothing\ \lor\ B\cap D=\varnothing$と仮定する。
$ $
背理法により示す。そこで、
$$ (A\times B)\cap(C\times D)\neq\varnothing $$
と仮定する。
すると、非空であることの定義より、ある順序対 $(x,y)$ が存在して
$$ (x,y)\in (A\times B)\cap(C\times D) $$
が成り立つ。
共通部分の定義より
$$ (x,y)\in A\times B\ \land\ (x,y)\in C\times D $$
である。
さらに直積集合の定義より
$$ x\in A\ \land\ y\in B $$
かつ
$$ x\in C\ \land\ y\in D $$
が成り立つ。したがって
$$ x\in A\cap C\ \land\ y\in B\cap D $$
である。ここで場合分けを行う。

1. $A\cap C=\varnothing$ の場合。
   既に得られた
   $$ x\in A\cap C $$
   は
   $$ x\in\varnothing $$
   を意味するが、これは空集合の定義に反する。
   $ $
2. $B\cap D=\varnothing$ の場合。
   上で得た
   $$ y\in B\cap D $$
   は
   $$ y\in\varnothing $$
   を意味するが、これは空集合の定義に反する。
   $ $

-いずれの場合にも矛盾が生じる。したがって
$$ (A\times B)\cap(C\times D)\neq\varnothing $$
という仮定は誤りである。ゆえに
$$ (A\times B)\cap(C\times D)=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ A\times B=C\times D $$
   と仮定する。このとき、集合の相等より
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   かつ
   $$ C\times D\subseteq A\times B $$
   が成り立つ。
   ここで、既知の命題( 証明はコチラ )より
   $$ P\neq\varnothing\ \land\ Q\neq\varnothing \ \Rightarrow\ \bigl(P\times Q\subseteq R\times S\ \Leftrightarrow\ P\subseteq R\land Q\subseteq S\bigr) $$
   を用いる。
   まず、$A\neq\varnothing$ かつ $B\neq\varnothing$ であり、
   $$ A\times B\subseteq C\times D $$
   であるから
   $$ A\subseteq C\land B\subseteq D $$
   が従う。
   次に、$C\neq\varnothing$ かつ $D\neq\varnothing$ であり、
   $$ C\times D\subseteq A\times B $$
   であるから
   $$ C\subseteq A\land D\subseteq B $$
   が従う。
   したがって
   $$ A\subseteq C\land C\subseteq A $$
   および
   $$ B\subseteq D\land D\subseteq B $$
   が成り立つ。ゆえに、集合の相等より
   $$ A=C\land B=D $$
   が従う。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ A=C\land B=D $$
   と仮定する。
   このとき
   $$ A=C,\qquad B=D $$
   であるから、等号の性質より
   $$ A\times B=C\times D $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\times B=C\times D \ \Leftrightarrow\ A=C\land B=D $$
が成り立つ。
$$ \Box$$