現代数学議論

超微分のx→0での値の意味

オーダー,超微分

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超微分というのはこの記事を参照してください
7777777: 超微分
 ラグ / Lagu: 超微分で微分っぽいことをする
 vunu: 超微分の小ネタ、(モニックな、実係数)n次関数の超微分と解のm乗和

超微分の定理

さて、超微分には重要な定理があります

超微分の変換公式

$\begin{array}{r} f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \end{array}$

これをふんだんに使っていきます。

今回、

lim_{x \to 0}

の極限を考えていきたいのですが、
超微分を適用する関数として、

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}

つまり

\begin{array}{r} f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \end{array}

という多項式に対して考えていきたいと思います。

やってみる

じゃぁ実際に超微分してみましょう

\begin{array}{rcl} f^{‘} (x) & = & \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \\ = & \frac{x \frac{d}{d x} (\overset{n}{\sum_{k = 0}} a_{k} x^{k})}{\overset{n}{\sum_{k = 0}} a_{k} x^{k}} \\ = & \frac{\overset{n}{\sum_{k = 1}} k a_{k} x^{k}}{\overset{n}{\sum_{k = 0}} a_{k} x^{k}} \\ = & \frac{n a_{n} x^{n} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x}{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}} \end{array}

ここで

x \to 0

を考えます。ただし場合分けがいっぱいいりますね。

$a_{0} \neq 0$ の時

普通に

x = 0

を代入しましょう

\begin{array}{rcl} f^{‘} (0) & = & \frac{n a_{n} 0^{n} + (n - 1) a_{n - 1} 0^{n - 1} + \dots + a_{1} 0}{a_{n} 0^{n} + a_{n - 1} 0^{n - 1} + \dots + a_{1} 0 + a_{0}} \\ = & \frac{0}{a_{0}} \\ = & 0 \end{array}

$a_{0} = 0$ かつ $a_{1} \neq 0$ の時

不定形になっていますが1度

x

で割ることができます。割ってから

x = 0

を代入しましょう

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) & = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + 2 a_{2} x^{2} + a_{1} x}{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + 2 a_{2} x^{2} + a_{1} x}{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + 0} (不定形になっている) \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n - 1} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_{2} x + a_{1}}{a_{n} x^{n - 1} + a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x + a_{1}} \\ = & \frac{a_{1}}{a_{1}} \\ = & 1 \end{array}

何か見えてきましたか？

$a_{0} = 0$ かつ $a_{1} = 0$ かつ $a_{2} \neq 0$ の時

不定形になっていますが一度

x^{2}

で割ることができます。割ってから

x = 0

を代入しましょう

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) & = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + \dots + 2 a_{2} x^{2} + a_{1} x}{a_{n} x^{n} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + \dots + 2 a_{2} x^{2} + 0}{a_{n} x^{n} + \dots + a_{2} x^{2} + 0 + 0} (不定形になっている) \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n - 2} + \dots + 2 a_{2}}{a_{n} x^{n - 2} + \dots + a_{2}} \\ = & \frac{2 a_{2}}{a_{2}} \\ = & 2 \end{array}

もう分かってきましたね。

$a_{0} = 0$ かつ $a_{1} = 0$ かつ $a_{2} = 0$ かつ $a_{3} \neq 0$ の時

不定形になっていますが一度

x^{3}

で割ることができます。割ってから

x = 0

を代入しましょう

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) & = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + \dots + 3 a_{3} x^{3} + 2 a_{2} x^{2} + a_{1} x}{a_{n} x^{n} + \dots + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n} + \dots + 3 a_{3} x^{3} + 0 + 0}{a_{n} x^{n} + \dots + a_{3} x^{3} + 0 + 0 + 0} (不定形になっている) \\ = & lim_{x \to 0} \frac{n a_{n} x^{n - 2} + \dots + 3 a_{3}}{a_{n} x^{n - 2} + \dots + a_{3}} \\ = & \frac{3 a_{3}}{a_{3}} \\ = & 3 \end{array}

一般化

一般化して書いてみましょう

$a_{0} \sim a_{i - 1}$ がすべて $0$ かつ $a_{i} \neq 0$ の時

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) & = & lim_{x \to 0} \frac{\overset{n}{\sum_{k = 1}} k a_{k} x^{k}}{\overset{n}{\sum_{k = 0}} a_{k} x^{k}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{\overset{n}{\sum_{k = i}} k a_{k} x^{k}}{\overset{n}{\sum_{k = i}} a_{k} x^{k}} (不定形になっている) \\ = & lim_{x \to 0} \frac{\overset{n}{\sum_{k = i}} k a_{k} x^{k - i}}{\overset{n}{\sum_{k = i}} a_{k} x^{k - i}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{i a_{i} + x \overset{n}{\sum_{k = i + 1}} k a_{k} x^{k - i - 1}}{a_{i} + x \overset{n}{\sum_{k = i + 1}} a_{k} x^{k - i - 1}} (k = i の時を取り出して、残ったシグマを x でくくった) \\ = & \frac{i a_{i}}{a_{i}} \\ = & i \end{array}

そういうことで、次の定理が言えるでしょう。

$\begin{array}{r} f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \end{array}$
とするとき、
$\begin{array}{r} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) \end{array}$
の値は自然数であり、それは係数が $0$ でない最小の $x$ の次数を表す。

なるほどおもしろい結果ですね。
なぜなら、こちらの記事 7777777: 超微分の意味の考察の定理3の証明の後にこう書かれています。

よって、以上の定理より、ある $x$ の多項式 $f (x)$ において、 $c = lim_{x \to \infty} f^{‘} (x)$ とした時にその関数のオーダーは $O (x^{c})$ となるということがわかりました。

そう、 $lim_{x \to \infty}$ つまり $x$ を無限大に飛ばした時の値はその多項式のオーダー、いいかえると最大次数(つまり次数)を与えるのでした。
しかし、そのあとにこういうことが書かれています。

ここまでで、難点の一つ目は解決したのですが、解決できていない二つ目があります。
それは、多項式ではなくなった時のことです。
例を挙げるとすると $f (x) = e^{x}$ の時。
$f^{‘} (x) = x$ より $c = \infty$ となりますが、 $O (x^{\infty})$ というオーダーはありません。
(確かに、 $x^{n}$ の指数部分がいくら大きくても、 $e^{x}$ の発散速度はそれより早いという意味では的を得ていますが。)
これに対する解決策はいくつかあると思いますが、ここでは自分の思いついたものを提示しておきます。

まず、 $c = lim_{x \to \infty} f^{‘} (x)$ が収束するときは、 $O (x^{c})$ はオーダーと一致する。
しかし、 $c$ が収束しない場合はオーダーと一致しない、別の指標と考えます。

これについて、今回の定理で

x \to 0

としたときに、
それは係数が

0

でない最小の

x

の次数(最小次数と呼ぶことにします。)を与えることが分かりました。
しかし、多項式でない関数に対してはどうなるのかわかっていないので、実際にやってみることにしました。
じゃぁまずは

f (x) = e^{x}

から

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} (e^{x})^{‘} & = & lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{e^{x}} \\ = & lim_{x \to 0} x \\ = & 0 \end{array}

0になりました。これは何を意味するのでしょうか。
私はひょっとしてと思い、今度は

f (x) = e^{x} - 1

でやってみました。

\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} (e^{x} - 1)^{‘} & = & lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} \\ = & lim_{x \to 0} (x + \frac{x}{e^{x} - 1}) \\ = & lim_{x \to 0} (x + \frac{1}{\frac{e^{x} - e^{0}}{x - 0}}) \\ = & 0 + \frac{1}{{\frac{d}{d x} (e^{x}) |}_{x = 0}} \\ = & 1 \end{array}

ビンゴ。1になりました。
ここから、こういう予想が立ちます。

(不連続とか微分不可能とかややこしい関数は無しで)
マクローリン展開可能な関数 $f (x)$ に対して、
$\begin{array}{r} lim_{x \to 0} f^{‘} (x) \end{array}$ は $f (x)$ をマクローリン展開した時の最低次数を表し、
$\begin{array}{r} lim_{x \to \infty} f^{‘} (x) \end{array}$ は $f (x)$ をマクローリン展開した時の最大次数を表す。
ただし最低次数とは係数が $0$ でない最小の $x$ の次数を表し、最大次数とは係数が $0$ でない最大の $x$ の次数を表す。ただし、いくらでも大きな係数が $0$ でない $x$ の次数を持ってくることができる場合、最大次数は $\infty$ とする。

これでどうでしょう。
いい感じに意味を見出せていますね。
つまり、
$x \to 0$ で一番下の次数、 $x \to \infty$ で一番上の次数を出してくれるのですね。

投稿日：2024年11月2日

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