xy平面上の関数をX(x)Y(y)平面に写す操作である再スケールの定義とX(x)Y(y)平面上の微積分の定義

$X:A_X\to B_X,\,Y:A_Y\to B_Y$は定義域内で連続かつ全単射な2関数とする.
関数$f: C\to D\times F\subseteq B_X\times B_Y,\,t\mapsto(x(t),\,y(t))$に対して, 関数$g$を次のように置く.
$$ g(t)=f_{\rsc(X,\,Y)} (t)=\left\{\begin{array}{l} X^{-1}(x(t))\\ Y^{-1}(y(t)) \end{array}\right. $$

このとき, $g_{\rsc(X^{-1},\,Y^{-1})} (t)$を定義より計算すると
$$ g_{\rsc(X^{-1},\,Y^{-1})} (t)=\left\{\begin{array}{l} X(X^{-1}(x(t)))\\ Y(Y^{-1}(y(t))) \end{array}\right. =\left\{\begin{array}{l} x(t)\\ y(t) \end{array}\right. =f(t) $$

• $\!X$軸対称
  $$ Y_1(x)=Y_2(-x)\Leftrightarrow x=Y_2(-Y_1^{-1}(x))\Leftrightarrow Y_1^{-1}(x)=-Y_2^{-1}(x) $$
  より
  $$ f_{\rsc(X_1,\,Y_1)}(x)=Y_1^{-1}(f(X_1(x)))=-Y_2^{-1}(f(X_1(x)))=-f_{\rsc(X_1,\,Y_2)}(x) $$
  である.

  
  

• $\!Y$軸対称
  $$ f_{\rsc(X_1,\,Y_1)}(x)=Y_1^{-1}(f(X_1(x)))=Y_1^{-1}(f(X_2(-x)))=-f_{\rsc(X_2,\,Y_1)}(-x) $$
  である.

  
  

• 原点対称
  $\!X$軸対称と$\!Y$軸対称の変形を順に使えば求める関係式が得られる.

再スケール微分の定義は
$$ f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(Y^{-1}\circ f\,\circ X)(X^{-1}(x)+h)-(Y^{-1}\circ f\,\circ X)(X^{-1}(x))}{h} $$
である.
$$ f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=\frac{d}{dt}(Y^{-1}\circ f\,\circ X)(t)\Bigg|_{t=X^{-1}(x)} $$
$$ =\left\{\left(\frac{dY^{-1}}{dt}\circ f\,\circ X\right)(t)\cdot\left(\frac{df}{dt}\,\circ X\right)(t)\cdot\frac{dX}{dt}\right\}\Bigg|_{t=X^{-1}(x)} $$
$$ =\left(\frac{dY^{-1}}{dx}\circ f\right)(x)\cdot\frac{df}{dx}\cdot\left(\frac{dX}{dx}\circ X^{-1}\right)(x) $$

合成関数の微分より, $X(X^{-1}(x))=x$を微分して
$$ \frac{dX}{dx}(X^{-1}(x))\cdot\frac{dX^{-1}}{dx}=1\Leftrightarrow\frac{dX}{dx}(X^{-1}(x))=\frac{1}{\frac{dX^{-1}}{dx}} $$
となるので
$$ f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=\frac{f'(x)(\frac{d}{dx}Y^{-1}\circ f)(x)}{\frac{d}{dx}X^{-1}(x)} $$

$I=[a,\,b]$とし, $I$の分割を$I_k=[a_{k-1},\,a_k],\,J_l=[b_{l-1},\,b_l],\,\Delta:=\{I_k\}_{1\leq k\leq n},\,\Delta':=\{J_l\}_{1\leq l\leq m}$とする.

任意の$1\leq k\leq n$に対して, $\inf\{f(x)\mid x\in I_k\}\leq\sup\{f(x)\,|\,x\in I_k\}$である.
$$ \inf\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|\leq\sup\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})| $$
$$ \sum_{k=1}^n \inf\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|\leq\sum_{k=1}^n \sup\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})| $$
$Y$は広義単調増加なので, 順序を保ち, 次が成り立つ.
$$ r(f,\,\Delta)\leq R(f,\,\Delta)\cdots\cdots(1) $$
次に各$k$に対して, $J_l\subset I_k$を満たす任意の$l$を取れば, $r(f,\,I_k)\leq r(f,\,J_l),\,R(f,\,J_l)\leq R(f,\,I_k)$が成り立つ.
$$ \sum_{k=1}^n r(f,\,I_k)|X^{-1}(a_k)-X^{-1}(a_{k-1})| \leq\sum_{k=1}^n \sum_{l:J_l\subset I_k} r(f,\,J_l)|X^{-1}(b_l)-X^{-1}(b_{l-1})| =\sum_{l=1}^m r(f,\,J_l)|X^{-1}(b_l)-X^{-1}(b_{l-1})| $$
$$ \sum_{k=1}^n R(f,\,I_k)|X^{-1}(a_k)-X^{-1}(a_{k-1})| \geq\sum_{k=1}^n \sum_{l:J_l\subset I_k} R(f,\,J_l)|X^{-1}(b_l)-X^{-1}(b_{l-1})| =\sum_{l=1}^m R(f,\,J_l)|X^{-1}(b_l)-X^{-1}(b_{l-1})| $$
よって, 次が成り立つ.
$$ r(f,\,\Delta)\leq r(f,\,\Delta'),\,R(f,\,\Delta')\leq R(f,\,\Delta)\cdots\cdots(2) $$
$\Delta''=\Delta\cup\Delta'$なる$I$の分割を取ることができ, $(1),\,(2)$より
$$ r(f,\,\Delta)\leq r(f,\,\Delta'')\leq R(f,\,\Delta'')\leq R(f,\,\Delta') $$
$$ \therefore r(f,\,\Delta)\leq R(f,\,\Delta') $$

$\Delta'$を固定して, $\Delta$の分割$I_k (1\leq k\leq n)$全体を任意に動かすと
$$ r(f,\,\Delta)\leq\overline{\rscint_a^b} f(x)\,d_{\rsc(X,\,Y)}x\leq R(f,\,\Delta') $$
ここから$\Delta'$の分割$I_l (1\leq l\leq m)$全体を任意に動かすと
$$ r(f,\,\Delta)\leq\underline{\rscint_a^b} f(x)\,d_{\rsc(X,\,Y)}x\leq\overline{\rscint_a^b} f(x)\,d_{\rsc(X,\,Y)}x\leq R(f,\,\Delta') $$
となり, 有界性と不等式を得られた.

関数$f:C_f\to D_f,\,g:C_g\to D_g\quad(C_f,\,C_g\subseteq B_X,\,D_f\subseteq A_Y,\,D_g\subseteq B_Y)$は定義域内の端点を除いた任意の点で微分可能とする.

このとき, 次の式を$g(x)$について解きます.
$$ f(x)=g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=\frac{d}{dt}(Y^{-1}\circ g\,\circ X)(t)\bigg|_{t=X^{-1}(x)} $$
$x$に$X(x)$を代入して
$$ f(X(x))=\frac{d}{dx}(Y^{-1}\circ g\,\circ X)(x) $$
両辺を積分して
$$ (Y^{-1}\circ g\,\circ X)(x)=\int f(X(x))\,dx $$
$$ g(x)=Y\left(\int^{X^{-1}(x)} (f\,\circ X)(t)\,dt\right) $$
さらに$u=X(t)$と置くと, $t=X^{-1}(x)\to u=x$になるので, $u$を$x$の積分に変えて
$$ g(x)=Y\left(\int \frac{f(x)}{X'(X^{-1}(x))}\,dx\right)=Y\left(\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx\right) $$
を得る.

再スケール積分の変換公式より
$$ \rscint f(x)\,d_{\rsc(X,\,Y)}x=Y\left(\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx\right) $$
再スケール微分の定義式から
$$ \frac{d}{d_{\rsc(X,\,Y)}x}\rscint f(x)\,d_{\rsc(X,\,Y)}x=\frac{d}{dt} Y^{-1}\left(Y\left(\int^{X(t)} (X^{-1})'(s)f(s)\,ds\right)\right)\Bigg|_{t=X^{-1}(x)} $$
$$ =\frac{d}{dt} \int^{X(t)} (X^{-1})'(s)f(s)\,ds\Bigg|_{t=X^{-1}(x)} $$
$u=X^{-1}(s)$と置換すると, $s=X(u)$より$ds=X'(u)\,du$となるから
$$ =\frac{d}{dt} \int^t f(X(u))\,du\Bigg|_{t=X^{-1}(x)} =f(X(t))\bigg|_{t=X^{-1}(x)} =f(x) $$