xy平面上の関数をX(x)Y(y)平面に写す操作である再スケールの定義とX(x)Y(y)平面上の微積分の定義

はじめに

この記事は私が再スケールについて書いた2個目の記事です. 1個目から読みたい人は
超微分の図形的意味から平面上の「再スケール」を定義を考える
を読んでください.

この記事の目的は再スケールという操作と再スケールした平面上における微積分を定義することです.

マクロ

$\mathrm{Rsc}$: \rsc$\to$\mathrm{Rsc}
${\displaystyle \mathcal{S}\int }$: \rscint$\to$\displaystyle\hspace{0.28em}\mathcal{S}\hspace{-0.95em}\int

再スケールの着想の元: 超微分とは

超微分は7777777氏による微分の定義式のハイパー演算子(足し算$\to$掛け算$\to$冪乗$\to$テトレーション$\to \cdots$)を上げた式によって定義される分野です.

微分導関数の定義式
$$\frac{d}{dx}f(x):=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
のハイパー演算子を上げた超微分の定義式は
$$f^{‘}(x):=\underset{h\to 1}{lim}{\log }_h\frac{f(hx)}{f(x)}=\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}$$
となります.

同氏の記事 超微分に関する先行研究 では, 超微分の図形的意味として両対数グラフの接線であることが述べられています. この両対数グラフは平面の各軸に$e^x,e^y=\cdots ,1/e^2,1/e,0,e,e^2,\cdots$を均等に取った平面上に写された関数です.

再スケール微分は
$$f(x)=\cdots ,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),\cdots$$
$$g(x)=\cdots ,g(-2),g(-1),g(0),g(1),g(2),\cdots$$
を各軸に均等に取った平面に$xy$平面上で表される関数を写し, 写した関数を微分する操作を意味します.

超微分に興味のある方はここのリンクから相関図が見られます.
超微分の記事まとめ , 7777777

再スケール

定義

陽関数の再スケールの定義は媒介変数表示の再スケールを変形して求められる.

グラフの書き方

$f_{\mathrm{Rsc}(X,Y)}$の定義の見た目通り, $x,y$の方向にそれぞれ$X,Y$の逆関数を加えて, 圧縮または伸張してしています. 再スケール後の関数がどうなったか見るために必要なグラフの書き方を教えます.

軸の書き方

$(X,Y)=(f,g)$としたとき,
横の軸は右から左に$\cdots ,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),\cdots$
縦の軸は下から上に$\cdots ,g(-2),g(-1),g(0),g(1),g(2),\cdots$
を等間隔で刻み, 原点を$(f(0),g(0))$とします.

f(x)g(y)平面

関数の書き込み方

関数$h$を再スケールして, $h_{\mathrm{Rsc}(f,g)}$を計算する.
このとき, $h_{\mathrm{Rsc}(f,g)}$の書き方は簡単です. $h_{\mathrm{Rsc}(f,g)}$を$xy$平面と同じときのようにそのまま書いてください.

例題

$X:\mathbb{R}\to \mathbb{R},Y:\mathbb{R}\to (0,\mathrm{\infty }),f:\mathbb{R}\to (0,\mathrm{\infty })$より, 定義に沿って計算すると
$$f_{\mathrm{Rsc}(X,Y)}=\log f(x)=ax+\log c$$

定理

再スケール微分

再スケール微分の変換公式

変換公式から分かる通り, 関数の和や積についての再スケール微分は関数$Y$の性質によって簡単にできるかどうかが変わります.

変換公式にそのまま代入して
$$f_{\mathrm{\nabla }\mathrm{Rsc}(X,Y)}(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)(\frac{d}{dx}\frac{1}{q}(\log x-\log p)\circ f)(x)}{\frac{d}{dx}\frac{1}{b}(\log x-\log a)}}={\displaystyle \frac{bx{f}^{\prime }(x)}{qf(x)}}$$

再スケール積分

定義

基本は合成関数の積分なのですが, 一応定義しときましょう.

定義域内連続かつ全単射な2関数を$X:A_X\to B_X,Y:A_Y\to B_Y$とする.
$f:C\to D,x\mapsto f(x)(C\subseteq B_X,D\subseteq B_Y)$は定義域内で連続とする.

方針

$xy$平面の$f$を$XY$平面に写した$f_{\mathrm{Rsc}(X,Y)}$を通常の積分の定義と同様にRiemann和で上下で面積を挟むことで定義する.

閉区間$I=[a,b]\subseteq C$の分割$\mathrm{\Delta }=\{I_k{\}}_{1\le k\le n}$を
$$\mathrm{\Delta }:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,I_k=[x_{k-1},x_k{]}_{1\le k\le n}$$
とする.

$Y$が広義単調増加の場合

$Y$は全単射なので, 単調性が言える. まず, $Y$が広義単調増加の場合で定義を考える.

2の補題4.1, 系4.2の証明を参考に有界性の証明と不等式の証明をする.

$Y$が広義単調減少の場合

$Y$全単射より$Y_{+}(y)=Y(-y)$なる$Y_{+}$が1つ取れる. $Y,Y_{+}$は$xy$平面上の$x$軸で線対称であるから, $Y_{+}$は広義単調増加である.

$I=[a,b]$の分割$\mathrm{\Delta }:=\{I_k\}(1\le k\le n)$を取ると, 各$k$に対して
$inf\{f(x)\mid x\in I_k\}=-sup\{-f(x)\mid x\in I_k\},sup\{f(x)\mid x\in I_k\}=-inf\{-f(x)\mid x\in I_k\}$が成り立つ.

$$R(f,\mathrm{\Delta }):=Y(\sum _{k=1}^{n}inf\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|)=Y_{+}(\sum _{k=1}^{n}sup\{-f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|)$$
$$r(f,\mathrm{\Delta }):=Y(\sum _{k=1}^{n}sup\{f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|)=Y_{+}(\sum _{k=1}^{n}inf\{-f(x)\mid x\in I_k\}|X^{-1}(x_k)-X^{-1}(x_{k-1})|)$$
とおけば, 広義単調増加の再スケール積分を定義しているので, 広義単調減少の再スケール積分を定義できる.

再スケール積分の変換公式

再スケール微分の変換公式と同じく再スケール積分の変換公式も, 関数の和や積についての再スケール積分は関数$Y$の性質によって簡単にできるかどうかが変わります.

再スケール微積分の基本定理

おわりに

再スケール微分の変換公式, 再スケール積分の変換公式から関数の和や積の再スケール微積分などの性質は$Y$がどんな関数かによって変わり, 関数方程式$f(x+y)=f(x)+f(y)$などを満たす性質がある関数を考える必要があるので, そのことについては次の記事で書きたいと思います.

おまけ

$y=x^2$を$\mathrm{Rsc}(ax+(1-a)e^x,ay+(1-a)e^y)(0\le a\le 1)$で再スケールした関数を見れるグラフを作ったのでここに置いておく.
グラフ$y=x^2$

URLをクリックして飛んだ先のサイトの入力を実行して出たURL先にさらに飛ぶと, グラフが見られます. さらにコマンドをコピーして$h$をいじくることで, 初期値$h:y=x^2$で設定されていますが, ほかの関数を代入できます.

更新履歴

2024年12月27日: 記事投稿