級数botⅡの問題

\begin{align} C(n-1,m)-C(n,m) &=C(n,m)\Bigg(\frac{(n+x-1)+(m+x-1)}{n+x-1}-1\Bigg)\\ &=\frac{m+x-1}{n+x-1}C(n,m) \end{align}
両辺$m+x-1$で割り、$n_0\lt n$の範囲で和を取れば
$$\frac{1}{m+x-1}C(n_0,m)=\sum_{n_0\lt n}\frac{1}{n+x-1}C(n,m)\blacksquare$$

\begin{align} \sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+x-1)^2(n_2+x-1)^2}C(n_2,0) &=\sum_{0\lt n,m}\frac{1}{(n+x-1)^2}\frac{1}{(m+x-1)^2}C(n,m) \quad(\because\text{輸送関係式})\\ &=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^4}C(n,n)+2\sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)^2}C(n,m)\cdots⓵ \\ \end{align}

\begin{align} \sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)^2}C(n,m) &=\sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)}\sum_{n\lt k}\frac{1}{(k+x-1)}C(k,m)\\ &=\sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)^2}C(m,m)+2\sum_{0\lt n\lt m\lt k}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)(k+x-1)}C(k,m)\\ &=3\sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)^2}C(m,m)\cdots⓶(\text{第2項目に輸送関係式を適用}) \\ \end{align}
⓵⓶から
$$\sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+x-1)^2(n_2+x-1)^2}\frac{(x)_{n_2}}{(2x)_{n_2-1}}=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^4}\frac{(x)_{n}^2}{(2x)_{2n-1}}+6\sum_{0\lt n\lt m}\frac{1}{(n+x-1)^2(m+x-1)^2}\frac{(x)_{m}^2}{(2x)_{2m-1}} $$

シャッフル積より
\begin{align} \frac{(\arcsin x)^{2r-1}}{(2r-1)!} &=\int_{0\lt t_1\lt\cdots \lt t_{2r-1}\lt x}\frac{dt_1}{\sqrt{1-t^2_1}}\frac{dt_2}{\sqrt{1-t^2_2}}\cdots\frac{dt_{2r-1}}{\sqrt{1-t^2_{2r-1}}}\\ \end{align}
となるので、$\frac{1}{\sqrt{1-t^2_1}}$を冪級数展開して参考文献[2]の反復ベータ積分を適用することにより示される。

定理2において、特に$x=\frac{1}{2}$として少し整理すると
$$\sum_{0\leq n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^2(n_2+\frac{1}{2})}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{2^{2n_2}}=\frac{1}{2}\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^3}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{4n}}+3\sum_{0\leq n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^2(n_2+\frac{1}{2})}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{2^{4n_2}}$$
のようになる。定理3より
$$\sum_{0\leq n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^2(n_2+\frac{1}{2})}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{2^{2n_2}}=\frac{(2\arcsin 1)^{3}}{3!}=\frac{\pi^3}{6}$$
$$\sum_{0\leq n_1\lt n_2}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^2(n_2+\frac{1}{2})}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{2^{4n_2}}=2\cdot\frac{(2\arcsin \frac{1}{2})^{3}}{3!}=\frac{\pi^3}{81}$$
がそれぞれ成り立つため、これらを用いることにより
$$\frac{\pi^3}{6}=\frac{1}{2}\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^3}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{4n}}+3\cdot \frac{\pi^3}{81}$$
$$\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^3}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{4n}}=2\Big(\frac{\pi^3}{6}-\frac{\pi^3}{27}\Big)=\frac{7}{27}\pi^3\blacksquare$$

\begin{align} \frac{(\arcsin x)^{2r}}{(2r)!} &=\int_{0\lt t_1\lt\cdots \lt t_{2r}\lt x}\frac{dt_1}{\sqrt{1-t^2_1}}\frac{dt_2}{\sqrt{1-t^2_2}}\cdots\frac{dt_{2r}}{\sqrt{1-t^2_{2r}}}\\ \end{align}
となるので、$t_1$から順に参考文献[2]の反復ベータ積分を適用することにより示される。

定理4で$x=\sin\theta$とおくと
$$\frac{2^{2r}}{(2r)!}\theta^{2r}=\sum_{0\lt n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{2^{2n_r}}{n_1^2 n_2^2\cdots n_r^2\binom{2n_r}{n_r}}\sin^{2n_r}\theta$$
となるので、両辺$0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$の範囲で積分すると
$$\frac{\pi^{2r+1}}{2\cdot(2r+1)!}=\frac{\pi}{2}\sum_{0\lt n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{1}{n_1^2 n_2^2\cdots n_r^2}$$
$$\frac{\pi^{2r}}{(2r+1)!}=\sum_{0\lt n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{1}{n_1^2 n_2^2\cdots n_r^2}\blacksquare$$

定理2において、$x=1$とすれば
$$\sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{n^2_1n^2_2}=\sum_{0\lt n}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}+6\sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{n^2_1n^2_2\binom{2n_2}{n_2}}$$
となって、
$$\sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{n^2_1n^2_2}=\frac{\pi^4}{120}$$
$$\sum_{0\lt n_1\lt n_2}\frac{1}{n^2_1n^2_2\binom{2n_2}{n_2}}=\frac{(2\arcsin \frac{1}{2})^{4}}{4!}=\frac{\pi^4}{1944}$$
などの特殊値を用いることにより
$$\sum_{0\lt n}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17}{3240}\pi^4\text{となる}$$