大学数学基礎解説

級数botⅡの問題

多重ゼータ値,級数

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はじめに

$\sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + \frac{1}{2})^{3}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n}} = \frac{7}{27} π^{3}$

とある人に、この問題について書いて🥺と言われたので書いていく。
(級数botⅡでは両辺 $\frac{1}{8}$ 倍されていたが、個人的な好みでこのような形にしておく)

本題

輸送関係式

$\frac{1}{m + x - 1} C (n_{0}, m) = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{n + x - 1} C (n, m) (C (n, m) := \frac{(x)_{n} (x)_{m}}{(2 x)_{n + m - 1}})$
$(x)_{n}$ はポッホハマー記号

$\begin{aligned} C (n - 1, m) - C (n, m) & = C (n, m) (\frac{(n + x - 1) + (m + x - 1)}{n + x - 1} - 1) \\ = \frac{m + x - 1}{n + x - 1} C (n, m) \end{aligned}$
両辺 $m + x - 1$ で割り、 $n_{0} < n$ の範囲で和を取れば
$\frac{1}{m + x - 1} C (n_{0}, m) = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{n + x - 1} C (n, m) ◼$

$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + x - 1)^{2} (n_{2} + x - 1)^{2}} \frac{(x)_{n_{2}}}{(2 x)_{n_{2} - 1}} = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{4}} \frac{(x)_{n}^{2}}{(2 x)_{2 n - 1}} + 6 \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} \frac{(x)_{m}^{2}}{(2 x)_{2 m - 1}}$

$\begin{aligned} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + x - 1)^{2} (n_{2} + x - 1)^{2}} C (n_{2}, 0) & = \sum_{0 < n, m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2}} \frac{1}{(m + x - 1)^{2}} C (n, m) (∵ 輸送関係式) \\ = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{4}} C (n, n) + 2 \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} C (n, m) \dots ⓵ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} C (n, m) & = \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)} \sum_{n < k} \frac{1}{(k + x - 1)} C (k, m) \\ = \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} C (m, m) + 2 \sum_{0 < n < m < k} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1) (k + x - 1)} C (k, m) \\ = 3 \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} C (m, m) \dots ⓶ (第2項目に輸送関係式を適用) \end{aligned}$
⓵⓶から
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + x - 1)^{2} (n_{2} + x - 1)^{2}} \frac{(x)_{n_{2}}}{(2 x)_{n_{2} - 1}} = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{4}} \frac{(x)_{n}^{2}}{(2 x)_{2 n - 1}} + 6 \sum_{0 < n < m} \frac{1}{(n + x - 1)^{2} (m + x - 1)^{2}} \frac{(x)_{m}^{2}}{(2 x)_{2 m - 1}}$

\arcsin

の奇数乗の冪級数展開

$\frac{(2 \arcsin x)^{2 r - 1}}{(2 r - 1)!} = \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{2} \dots (n_{r - 1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{r} + \frac{1}{2})} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}} x^{2 n_{r} + 1}$

シャッフル積より
$\begin{aligned} \frac{(\arcsin x)^{2 r - 1}}{(2 r - 1)!} & = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{2 r - 1} < x} \frac{d t_{1}}{\sqrt{1 - t_{1}^{2}}} \frac{d t_{2}}{\sqrt{1 - t_{2}^{2}}} \dots \frac{d t_{2 r - 1}}{\sqrt{1 - t_{2 r - 1}^{2}}} \end{aligned}$
となるので、 $\frac{1}{\sqrt{1 - t_{1}^{2}}}$ を冪級数展開して参考文献[2]の反復ベータ積分を適用することにより示される。

再掲

$\sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + \frac{1}{2})^{3}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n}} = \frac{7}{27} π^{3}$

定理2において、特に $x = \frac{1}{2}$ として少し整理すると
$\sum_{0 \leq n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{2} + \frac{1}{2})} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{2^{2 n_{2}}} = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + \frac{1}{2})^{3}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n}} + 3 \sum_{0 \leq n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{2} + \frac{1}{2})} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{2^{4 n_{2}}}$
のようになる。定理3より
$\sum_{0 \leq n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{2} + \frac{1}{2})} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{2^{2 n_{2}}} = \frac{(2 \arcsin 1)^{3}}{3!} = \frac{π^{3}}{6}$
$\sum_{0 \leq n_{1} < n_{2}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{2} + \frac{1}{2})} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{2^{4 n_{2}}} = 2 \cdot \frac{(2 \arcsin \frac{1}{2})^{3}}{3!} = \frac{π^{3}}{81}$
がそれぞれ成り立つため、これらを用いることにより
$\frac{π^{3}}{6} = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + \frac{1}{2})^{3}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n}} + 3 \cdot \frac{π^{3}}{81}$
$\sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + \frac{1}{2})^{3}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n}} = 2 (\frac{π^{3}}{6} - \frac{π^{3}}{27}) = \frac{7}{27} π^{3} ◼$

おまけ

\arcsin

の偶数乗の冪級数展開

$\frac{(2 \arcsin x)^{2 r}}{(2 r)!} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} \dots n_{r}^{2} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} x^{2 n_{r}}$

$\begin{aligned} \frac{(\arcsin x)^{2 r}}{(2 r)!} & = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{2 r} < x} \frac{d t_{1}}{\sqrt{1 - t_{1}^{2}}} \frac{d t_{2}}{\sqrt{1 - t_{2}^{2}}} \dots \frac{d t_{2 r}}{\sqrt{1 - t_{2 r}^{2}}} \end{aligned}$
となるので、 $t_{1}$ から順に参考文献[2]の反復ベータ積分を適用することにより示される。

$\begin{array}{r} \frac{π^{2 r}}{(2 r + 1)!} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} \dots n_{r}^{2}} \end{array}$

定理4で $x = \sin θ$ とおくと
$\frac{2^{2 r}}{(2 r)!} θ^{2 r} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} \dots n_{r}^{2} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} \sin^{2 n_{r}} θ$
となるので、両辺 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の範囲で積分すると
$\frac{π^{2 r + 1}}{2 \cdot (2 r + 1)!} = \frac{π}{2} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} \dots n_{r}^{2}}$
$\frac{π^{2 r}}{(2 r + 1)!} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} \dots n_{r}^{2}} ◼$

$\sum_{0 < n} \frac{1}{n^{4} (\binom{2 n}{n})} = \frac{17}{3240} π^{4}$

定理2において、 $x = 1$ とすれば
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2}} = \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{4} (\binom{2 n}{n})} + 6 \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}$
となって、
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2}} = \frac{π^{4}}{120}$
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} = \frac{(2 \arcsin \frac{1}{2})^{4}}{4!} = \frac{π^{4}}{1944}$
などの特殊値を用いることにより
$\sum_{0 < n} \frac{1}{n^{4} (\binom{2 n}{n})} = \frac{17}{3240} π^{4} となる$