Atakishiyeva-Atakishiyevによる連続双対q-Hahn多項式の母関数
連続双対$q$-Hahn多項式を
\begin{align}
p_n(\cos\theta;a,b,c|q):=a^{-n}(ab,ac;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac}q
\end{align}
とする. これは
Askey-Wilson多項式
\begin{align}
p_n(\cos\theta;a,b,c,d):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
の$d=0$の場合である. 以下の美しい母関数が知られている.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{p_n(\cos\theta;a,b,c|q)t^n}{(abct,q;q)_n}&=\frac{(at,bt,ct;q)_{\infty}}{(abct,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
以下, $x=\cos\theta$とする. 証明の前に2つ補題を用意する. Al-Salam-Chihara多項式を
\begin{align}
Q_n(x;a,b|q):=p_n(x;a,b,0|q)&=a^{-n}(ab;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,0}q
\end{align}
と定義する.
\begin{align} p_n(x;a,b,c|q)&=(bc;q)_n(-a)^nq^{\binom n2}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q/a)^k}{(bc,q;q)_k}Q_k(x;b,c|q) \end{align}
$q$二項定理より,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q/a)^k}{(bc,q;q)_k}Q_k(x;b,c|q)\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q/ab)^k}{(q;q)_k}\sum_{j=0}^k\frac{(q^{-k},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_j}{(q,bc;q)_j}q^j\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_j}{(q,bc;q)_j}(-1)^jq^{\binom{j+1}2}\sum_{k=j}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q^{1-j}/ab)^k}{(q;q)_{k-j}}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta},q^{-n};q)_j}{(q,bc;q)_j}(-q/ab)^jq^{-\binom j2}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(q^{j-n};q)_k(q^{1-j}/ab)^k}{(q;q)_{k}}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta},q^{-n};q)_j}{(q,bc;q)_j}(-q/ab)^jq^{-\binom j2}(q^{1-n}/ab;q)_{n-j}\\
&=(q^{1-n}/ab;q)_n\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta},q^{-n};q)_j}{(q,ab,bc;q)_j}q^j
\end{align}
よって,
\begin{align}
&(bc;q)_n(-a)^nq^{\binom n2}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q/a)^k}{(bc,q;q)_k}Q_k(x;b,c|q)\\
&=(bc;q)_n(-a)^nq^{\binom n2}(q^{1-n}/ab;q)_n\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta},q^{-n};q)_j}{(q,ab,bc;q)_j}q^j\\
&=b^{-n}(ab,bc;q)_n\sum_{j=0}^n\frac{(be^{i\theta},be^{-i\theta},q^{-n};q)_j}{(q,ab,bc;q)_j}q^j\\
&=p_n(x;b,a,c|q)\\
&=p_n(x;a,b,c|q)
\end{align}
を得る. ここで最後の等号は連続双対$q$-Hahn多項式の対称性であり,
Askey-Wilson多項式の対称性
の特別な場合である.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q;q)_n}Q_n(x;b,c|q)&=\frac{(bt,ct;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
Ismail-WilsonによるAskey-Wilson多項式の母関数
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{t^np_n(x;a,b,c,d|q)}{(ab,cd,q;q)_n}&=\Q21{ae^{-i\theta},be^{-i\theta}}{ab}{te^{i\theta}}\Q21{ce^{i\theta},de^{i\theta}}{cd}{te^{-i\theta}}
\end{align}
において, $b=d=0$とすると, $q$二項定理より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q;q)_n}Q_n(x;a,c|q)&=\Q10{ae^{-i\theta}}{-}{te^{i\theta}}\Q10{ce^{i\theta}}{-}{te^{-i\theta}}\\
&=\frac{(at,ct;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
となる. $a\mapsto b$として示すべき等式を得る.
補題2より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{p_n(x;a,b,c|q)t^n}{(abct,q;q)_n}&=\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(abct,q;q)_n}(bc;q)_n(-a)^nq^{\binom n2}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k(q/a)^k}{(bc,q;q)_k}Q_k(x;b,c|q)\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(q/a)^k}{(bc,q;q)_k}(-1)^kq^{\binom k2}Q_k(x;b,c|q)\sum_{k\leq n}\frac{(bc;q)_n}{(abct;q)_n(q;q)_{n-k}}(-atq^{-k})^nq^{\binom n2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{t^k}{(abct,q;q)_k}Q_k(x;b,c|q)\sum_{0\leq n}\frac{(bcq^k;q)_n}{(abctq^k,q;q)_{n}}(-at)^nq^{\binom n2}
\end{align}
ここで,
Heineの和公式
のlimitting case
\begin{align}
\Q11{a}b{\frac ba}&=\frac{(b/a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}
\end{align}
より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(bcq^k;q)_n}{(abctq^k,q;q)_{n}}(-at)^nq^{\binom n2}&=\Q11{bcq^k}{abctq^k}{at}\\
&=\frac{(at;q)_{\infty}}{(abctq^k;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{p_n(x;a,b,c|q)t^n}{(abct,q;q)_n}&=\frac{(at;q)_{\infty}}{(abct;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{t^k}{(q;q)_k}Q_k(x;b,c|q)
\end{align}
を得る. この右辺に補題2を適用して定理を得る.
