Non-terminating q-Saalschützの和公式の直接的な証明

$q$-Vandermondeの恒等式 より,
\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}q\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(d,q;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(e/c,q^{-n};q)_k}{(e,q;q)_k}\left(cq^n\right)^k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(e/c;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(-c\right)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(d;q)_n(q;q)_{n-k}}q^n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,e/c;q)_k}{(d,e,q;q)_k}\left(-cq\right)^kq^{\binom k2}\Q21{aq^k,bq^k}{dq^k}q \end{align}
ここで, non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式 より
\begin{align} \Q21{aq^k,bq^k}{dq^k}q&=\frac{(q^{1-k}/d,abq^{k+1}/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}-\frac{(q^{1-k}/d,aq^k,bq^k;q)_{\infty}}{(dq^{k-1},aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\Q21{aq/d,bq/d}{q^{2-k}/d}q\\ &=\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}(-d)^{-k}q^{-\binom k2}\frac{(d;q)_k}{(abq/d;q)_k}\\ &\qquad-\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}(-d)^{-k}q^{-\binom k2}\frac{(d,d/q;q)_k}{(a,b;q)_k}\Q21{aq/d,bq/d}{q^{2-k}/d}q \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,e/c;q)_k}{(d,e,q;q)_k}\left(-cq\right)^kq^{\binom k2}\Q21{aq^k,bq^k}{dq^k}q\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,e/c;q)_k}{(d,e,q;q)_k}\left(-cq\right)^kq^{\binom k2}\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}(-d)^{-k}q^{-\binom k2}\frac{(d;q)_k}{(abq/d;q)_k}\\ &\qquad-\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,e/c;q)_k}{(d,e,q;q)_k}\left(-cq\right)^kq^{\binom k2}\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot(-d)^{-k}q^{-\binom k2}\frac{(d,d/q;q)_k}{(a,b;q)_k}\Q21{aq/d,bq/d}{q^{2-k}/d}q\\ &=\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\Q21{a,b}e{\frac{cq}d}\\ &\qquad-\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(e/c,d/q;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{cq}d\right)^k\Q21{aq/d,bq/d}{q^{2-k}/d}q \end{align}
ここで, 第一項は Heineの和公式 より,
\begin{align} \frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\Q21{a,b}e{\frac{cq}d}=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}} \end{align}
であり, 第二項もHeineの和公式より,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(e/c,d/q;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{cq}d\right)^k\Q21{aq/d,bq/d}{q^{2-k}/d}q\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(e/c,d/q;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{cq}d\right)^k\sum_{0\leq j}\frac{(aq/d,bq/d;q)_j}{(q^{2-k}/d,q;q)_j}q^j\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(aq/d,bq/d;q)_j}{(q^2/d,q;q)_j}q^j\sum_{0\leq k}\frac{(e/c,dq^{-j-1};q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{cq^{j+1}}d\right)^k\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(aq/d,bq/d;q)_j}{(q^2/d,q;q)_j}q^j\frac{(c,eq^{j+1}/d;q)_{\infty}}{(e,cq^{j+1}/d;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(c,eq/d;q)_{\infty}}{(cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q \end{align}
であるから, これを代入すれば,
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}q&=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\\ &\qquad-\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q \end{align}
となって示すべき等式を得る.