雑記：関数項級数に関する定理まとめ

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はじめに

　この記事では関数項級数に関する定理について雑にまとめていきます。
　なお通常の級数に関する収束判定法についてはこの記事を参照してください。

一様収束判定法

優級数定理

　 $| f_{n} (x) | \leq g_{n} (x)$ かつ $\sum_{n = 0}^{\infty} g_{n} (x)$ が一様収束するような関数列 $g_{n} (x)$ が存在するとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)$
は一様収束する。

証明

$| \sum_{k = m}^{n} f_{k} (x) | \leq \sum_{k = m}^{n} g_{k} (x) \to 0 (m, n \to \infty)$
とわかる。

WierstrassのM判定法

　 $| f_{n} (x) | \leq M_{n}$ かつ $\sum_{n = 0}^{\infty} M_{n}$ が収束するような数列 $M_{n}$ が存在するとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)$
は一様収束する。

Dirichletの一様収束定理

　 $n$ について一様かつ単調に $0$ に収束する関数列 $a_{n} (x)$ と部分和 $\sum_{k = 0}^{n} b_{k} (x)$ が $n, x$ について有界な関数列 $b_{n} (x)$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x) b_{n} (x)$
は一様収束する。

証明

　ディリクレの判定法と同様にして
$| \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k} (x) b_{k} (x) | \leq 2 K b_{m} (x) \to 0 (m, n \to 0)$
がわかる。

　一様かつ単調に $0$ に収束する関数列 $a_{n} (x)$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x) e^{2 π i n x}$
は $0 < x < 2 π$ において広義一様収束する。

Abelの一様収束定理

　一様有界かつ $n$ について単調な関数列 $a_{n} (x)$ と一様収束する関数項級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x)$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x) b_{n} (x)$
は一様収束する。

証明

　 $| a_{n} (x) | < A$ なる $A > 0$ をとる。いま
$B_{n} (x) = \sum_{k = m}^{n} b_{k} (x)$
とおくと十分大きい任意の $m, n$ に対し $| B_{n} (x) | < ε$ が成り立つので部分和分により
$\begin{aligned} | \sum_{k = m}^{n} a_{k} (x) b_{k} (x) | & = | a_{n} (x) B_{n} (x) + \sum_{k = m}^{n - 1} B_{k} (x) (a_{k} (x) - a_{k + 1} (x)) | \\ < ε (| a_{n} (x) | + | \sum_{k = m}^{n - 1} (a_{k} (x) - a_{k + 1} (x)) |) \\ = ε (| a_{n} (x) | + | a_{m} (x) - a_{n} (x) |) \\ < 3 A ε \end{aligned}$
がわかる。

ディリクレ級数の収束判定法

　以下 $λ_{n}$ を非有界単調増加数列とし、 $s$ についての関数
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{- λ_{n} s}$
の収束性について考える。
　本節で紹介する定理はこの記事にて証明しているので本記事では特に解説しない。

収束軸

$\begin{aligned} σ_{c} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\log | \sum_{k = 1}^{n} a_{k} |}{λ_{n}} & (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} が発散するとき) \\ σ_{c} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\log | \sum_{k = n}^{\infty} a_{k} |}{λ_{n}} & (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} が収束するとき) \end{aligned}$
とおくと
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{- λ_{n} s}$
は $Re (s) > σ_{c}$ において(広義一様)収束し、 $Re (s) < σ_{c}$ において発散する。

絶対収束軸

$\begin{aligned} σ_{a} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\log \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |}{λ_{n}} & (\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | が発散するとき) \\ σ_{a} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\log \sum_{k = n}^{\infty} | a_{k} |}{λ_{n}} & (\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | が収束するとき) \end{aligned}$
とおくと
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{- λ_{n} s}$
は $Re (s) > σ_{c}$ において絶対収束し、 $Re (s) < σ_{c}$ において絶対収束しない。

冪級数の収束半径

　ある $r \geq 0$ が存在して冪級数
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$
は $| z | < r$ において(絶対)収束し、 $| z | > r$ において発散する。またこの $r$ は
$\frac{1}{r} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |}$
や
$\frac{1}{r} = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$
のように求まる。

冪級数の極限

Abelの連続性定理

　 $| z | < 1$ において定まる関数
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$
について、 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ が収束すれば
$lim_{x \to 1 - 0} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$
が成り立つ。

証明

　 $a_{0}$ の値を適当に取り換えることで
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = 0$
としてよい。つまり $A_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ とおいたとき十分大きい任意の $n$ に対し $| A_{n} | < ε$ が成り立つことに注意すると、部分和分により $0 < x < 1$ において
$\begin{aligned} | f (x) | & = | \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} (x^{n} - x^{n + 1}) | \\ \leq (1 - x) \cdot | \sum_{n = 0}^{N} A_{n} x^{n} | + (1 - x) \sum_{n = N + 1}^{\infty} ε x^{n} \\ = (1 - x) \cdot | \sum_{n = 0}^{N} A_{n} x^{n} | + ε x^{N + 1} \end{aligned}$
と評価できる。したがって
$lim_{x \to 1 - 0} f (x) = 0 = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$
を得る。

Tauber型定理

　 $| z | < 1$ において定まる関数
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$
に対し $lim_{x \to 1 - 0} f (x)$ が存在し、また
$lim_{n \to \infty} n a_{n} = 0$
であれば
$lim_{x \to 1 - 0} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$
が成り立つ。

証明

　 $a_{0}$ を適当に取り換えることによって
$lim_{x \to 1 - 0} f (x) = 0$
としてよい。いま仮定およびStolz-Cesàroの定理より
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n} k | a_{k} | = 0$
が成り立つことに注意すると十分大きい $N$ に対し $1 - \frac{1}{N} \leq x < 1, n \geq N$ において
$| \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k} |, n | a_{n} |, \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n} k | a_{k} | < ε$
とできる。
　このとき $X = 1 - \frac{1}{N}$ とおくと
$\begin{aligned} | \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} X^{n} | & = | \sum_{n = N + 1}^{\infty} n a_{n} \frac{X^{n}}{n} | \\ \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} ε \frac{X^{n}}{N + 1} \\ \leq \frac{ε}{N + 1} \sum_{n = 0}^{\infty} X^{n} = \frac{ε}{N + 1} \frac{1}{1 - X} = ε \frac{N}{N + 1} < ε \\ | \sum_{n = 0}^{N} a_{n} (1 - X^{n}) | & = (1 - X) | \sum_{n = 0}^{N} a_{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} X^{k} | \\ \leq \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N} n a_{n} < ε \end{aligned}$
と評価できるので
$| \sum_{n = 0}^{N} a_{n} | \leq | \sum_{n = 0}^{N} a_{n} (1 - X^{n}) | + | \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} X^{n} | + | \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} X^{n} | < 3 ε$
つまり
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = 0 = lim_{x \to 1 - 0} f (x)$
を得る。

項別の極限・微分・積分

　連続関数の列 $f_{n} (x)$ が $f$ に一様収束するとき
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} f_{n} (a) & = lim_{x \to a} f (x) \\ lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x & = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{aligned}$
が成り立つ。また $f_{n}^{'} (x)$ が一様収束するとき
$lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = f^{'} (x)$
も成り立つ。

証明

　雑に証明する。
　連続性については
$| f (x) - f (a) | < | f (x) - f_{n} (x) | + | f_{n} (x) - f_{n} (a) | + | f_{n} (a) - f (a) | < 3 ε$
とわかる。
　積分については
$| \int_{a}^{b} (f (x) - f_{n} (x)) d x | < (b - a) ε$
とわかる。
　微分については $f_{n}^{'} \to g$ とおくと
$\int_{a}^{x} g (x) d x = lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n}^{'} (x) d x = f (x) - f (a)$
とわかる。

　 $\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x), \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{'} (x)$ が一様収束するとき
$\begin{aligned} lim_{x \to a} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (a) \\ \int_{a}^{b} (\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)) d x & = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x \\ \frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{'} (x) \end{aligned}$
が成り立つ。

　下の定理については適当なルベーグ積分のテキストを参照されたい。

Fubiniの定理

$\int_{X} (\int_{Y} | f (x, y) | d ν (y)) μ (x) = \int_{Y} (\int_{X} | f (x, y) | d μ (x)) ν (y)$
が成り立つ。特にこれが有限値を取るとき
$\int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) μ (x) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x)) ν (y)$
が成り立つ。

　これにおいて $X = R, Y = N_{0}$ とすることで以下を得る。

広義積分と級数の交換

$\int_{- \infty}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} | f_{n} (x) |) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} | f_{n} (x) | d x$
が成り立つ。特にこれが有限値を取るとき
$\int_{- \infty}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{n} (x) d x$
が成り立つ。

　ちなみに $X = Y = N_{0}$ とすることで下のような主張も得られる。

二重級数の順序交換

$\sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} | a_{m, n} | = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} | a_{m, n} |$
が成り立つ。特にこれが有限値を取るとき
$\sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m, n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m, n}$
が成り立つ。